1、专题四几何变换综合题类型一 涉及一个动点的几何问题 (2018长春中考)如图，在RtABC中，C90，A30，AB4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动过点P作PDAC于点D(点P不与点A，B重合)，作DPQ60，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，直接写出t的值【分析】 (1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；(2)利用ADDQAC，即可得出结论；(3
2、)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论【自主解答】 1(2018江西中考)在菱形ABCD中，ABC60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是_，CE与AD的位置关系是_；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB2，BE2，求四边形ADP
3、E的面积类型二 涉及两个动点的几何问题 (2018青岛中考)已知：如图，四边形ABCD，ABDC，CBAB，AB 16 cm，BC6 cm，CD8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0t5.根据题意解答下列问题：(1)用含t的代数式表示AP；(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)当QPBD时，求t的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【
4、分析】 (1)作DHAB于点H，则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；(2)作PNAB于N，连接PB，根据SSPQBSBCP计算即可；(3)当QPBD时，PQNDBA90，QPNPQN90，推出QPNDBA，由此利用三角函数即可解决问题；(4)连接BE交DH于点K，作KMBD于点M.当BE平分ABD时，KBHKBM，推出KHKM.作EFAB于点F，则AEFQPN，推出EFPN，AFQN，由KHEF可得，由此构建方程即可解决问题【自主解答】 2(2018黄冈中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，C120，边长OA8.
5、点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动(1)当t2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围类型三 图形的平移变换 (2017扬州中考)如图，将ABC沿着射线BC方向平移至ABC，使点A落在ACB的外角平分线CD上，连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC中，B90，
6、AB24，cosBAC，求CB的长【分析】 (1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACCA是菱形(2)通过解直角ABC得到AC，BC的长度，由(1)中菱形ACCA的性质推知ACAA，由平移的性质得四边形ABBA是平行四边形，则AABB，所以CBBBBC.【自主解答】 平移变换命题的呈现形式主要有：(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题；(2)涉及基本图形平移的几何问题；(3)利用平移变换作为工具解题其解题思路：(1)特殊点法：解题的关键是学会运用转化的思想，如坐标系中图象的平移问题，一
7、般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移；(2)集中条件法：通过平移变换添加辅助线，集中条件，使问题获得解决；(3)综合法：已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时，要注意找准对应点，看清对应边，注意变换性质的理解和运用3(2018安徽中考)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN1.正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )4如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点O
8、为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，1)，点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE.(1)线段OC的长为_；(2)求证：CBDCOE；(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为(a，0)，其中a2，CD1E1的面积为S.当1a2时，请直接写出S与a之间的函数解析式；在平移过程中，当S时，请直接写出a的值类型四 图形的旋转变换 (2017潍坊中考)边长为6的等边ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DEAB，EC2.(
9、1)如图1，将DEC沿射线EC方向平移，得到DEC，边DE与AC的交点为M，边CD与ACC的角平分线交于点N.当CC多大时，四边形MCND为菱形？并说明理由(2)如图2，将DEC绕点C旋转(0AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由(3)深入探究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE.其他条件不变，试判断GMN的形状，并给予证明【分析】 (1)利用SAS判断出AEBACD，得出EBCD，AEBACD，进而判断出EBCD，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出MG
10、NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【自主解答】 8(2018日照中考)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中，ACB90，ABC30，则ACAB.探究结论：小明同学对以上结论作了进一步探究(1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CEAB，易得结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为_；(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；(3)当点D为边
11、CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论_；拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC.当C点在第一象限内，且B(2，0)时，求C点的坐标参考答案类型一【例1】 (1)在RtABC中，A30，AB4，AC2.PDAC，ADPCDP90.在RtADP中，AP2t，DPt，ADt，CDACAD2t(0t2)(2)在RtPDQ中，DPQ60，PQD30A，PAPQ.PDAC，ADDQ.点Q和点C重合，ADDQAC，2t2，t1.(3)当0t1时，SSPDQDQDPt
12、tt2.如图，当1t2时，CQAQAC2ADAC2t22(t1)在RtCEQ中，CQE30，CECQtanCQE2(t1)2(t1)，SSPDQSECQtt2(t1)2(t1)t24t2，S(4)如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，PGF90，PGPQAPt，AFAB2.AAQP30，FPG60，PFG30，PF2PG2t，APPF2t2t2，t.如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，QMN90，ANAC，QMPQAPt.在RtNMQ中，NQt.ANNQAQ，t2t，t.如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，BFBC1，PEPQt，H30.ABC60，BFH30H，BHBF1.在
13、RtPEH中，PH2PE2t.AHAPPHABBH，2t2t5，t.即当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，t的值为或或.变式训练1解：(1)BPCECEAD提示：如图，连接AC.四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC.又APE是等边三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30.延长CE交AD于点H.CAH60，CAHACH90，AHC90，即CEAD.(2)结论仍然成立理由：如图，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等边三角形，AB
14、DCBD30，ABAC.APE是等边三角形，APAE，BACPAE60，BAPCAE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30.CAH60，CAHACH90，AHC90，即CEAD.也可选用图3进行证明，方法同上(3)如图，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知ECAD，CEBP.在菱形ABCD中，ADBC，ECBC.BCAB2，BE2，在RtBCE中，EC8，BPCE8.AC与BD是菱形的对角线，ABDABC30，ACBD，BD2BO2ABcos 306，OAAB，DPBPBD862，OPODDP5.在RtAOP中，AP2，S四边形ADPESADPSAEP2(2)28.类型
15、二【例2】 (1)如图，作DHAB于点H，则四边形DHBC是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD10，APADDP102t.(2)如图，作PNAB于点N，连接PB.在RtAPN中，PA102t，PNPAsinDAH(102t)，ANPAcosDAH(102t)，BN16AN16(102t)，SSPQBSBCP(162t)(102t)616(102t)t2t72.(3)当QPBD时，PQNDBA90.QPNPQN90，QPNDBA，tanQPN，解得t.经检验，t是分式方程的解，且符合题意，当t时，QPBD.(4)存在理由如下：如图，连接BE交DH于点K，作KMBD于点M.当BE平
16、分ABD时，KBHKBM，KHKM，BHBM8.BD10，DM2.设KHKMx，在RtDKM中，(6x)222x2，解得x.如图，作EFAB于点F，则AEFQPN，EFPN(102t)，AFQN(102t)2t.BF16(102t)2tKHEF，解得t.经检验，t是分式方程的解，且符合题意，当t时，点E在ABD的平分线上变式训练2解：(1)当t2时，OM2，在RtOPM中，POM60，PMOMtan 602.在RtOMQ中，QOM30，QMOMtan 30，PQPMQM2.(2)当t4时，ANPO2OM2t，t4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇设t秒时，点P与N重合，则(t4
17、)2(t4)8，解得t，即t秒时，点P与N重合(3)当0t4时，S2t44t.当4t时，S8(t4)(2t8)4406t.当t8时，S(t4)(2t8)846t40.当8t12时，SS菱形ABCOSAONSABPSCPN32(242t)48(t4)4(t4)(2t16)t212t56.综上所述，S与t的函数关系式为S类型三【例3】 (1)四边形ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到ACAC，且ACAC，则四边形ACCA是平行四边形，ACCAAC.又CD平分ACB的外角，即CD平分ACC，易证CD也平分AAC，四边形ACCA是菱形(2)在ABC中，B90，AB24，cosBAC，cosBAC，
18、即，AC26，由勾股定理知BC10.又由(1)知，四边形ACCA是菱形，ACAA26.由平移的性质得到ABAB，ABAB，则四边形ABBA是平行四边形，AABB26，CBBBBC261016.变式训练3A4解：(1)(2)AOB90，点C是AB的中点，OCBCAB，CBOCOB.四边形OBDE是正方形，BDOE，DBOEOB90，CBDCOE.在CBD和COE中， CBDCOE(SAS)(3)Sa1.a或.类型四【例4】 (1)当CC时，四边形MCND为菱形理由：由平移的性质得CDCD，DEDE.ABC为等边三角形，BACB60，ACC18060120.CN是ACC的角平分线，NCC60.AB
19、DE，DEDE，ABDE，DECB60，DECNCC，DECN，四边形MCND为平行四边形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC为等边三角形，MCCE，NCCC.又EC2，CC，CECC，MCCN，四边形MCND为菱形(2)ADBE.理由：当180时，由旋转的性质得ACDBCE.由(1)知ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.当180时，ADACCD，BEBCCE，即ADBE.综上可知，ADBE.如图，连接CP，在ACP中，由三角形三边关系得APACCP，当A，C，P三点共线时AP最大此时，APACCP.在DCE中，由P为DE中点得APDE，PD，CP3，AP639.在RtA
20、PD中，由勾股定理得AD2.变式训练5(1)解：菱形(2)证明：点F是CC的中点，CFFC.FGAF，四边形ACGC是平行四边形在RtABC和RtACD中，BACACB90，ACBDAC，BACDAC90.又B，A，D三点在同一条直线上，CAC90，四边形ACGC是矩形ACAC，四边形ACGC是正方形(3)解：在RtABC和RtBCD中，BCBD2.RtABCRtBCD，DBCBAC90，BHA90，BCAC.在RtABC中，ACBHBCAB，即4BH22，BH，CHBCBH4.在RtABH中，AH1，CH413，tanCCH，tanCCH的值为.类型五【例5】 (1)折叠纸片使B点落在边AD
21、上的E处，折痕为PQ，点B与点E关于PQ对称，PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP，EPF EFP，EPEF，BPBFFEEP，四边形BFEP为菱形(2)如图1，图1四边形ABCD为矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90.点B与点E关于PQ对称，CEBC5 cm.在RtCDE中，DE2CE2CD2，即DE25232，DE4 cm，AEADDE541(cm)在RtAPE中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2，解得EP cm，菱形BFEP的边长为 cm.图2当点Q与点C重合时，如图1，点E离A点最近，由知，此时AE1 cm.当点P与点A重合时，如图2
22、，点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，AEAB3 cm，点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.变式训练6(1)证明：根据折叠的性质知DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)解：四边形ABCD是矩形，ADBC，FDBG.又DGBE，四边形BFDG是平行四边形DFBF，四边形BFDG是菱形AB6，AD8，BD10，OBBD5.假设DFBFx，则AFADDF8x，在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2，解得x，即BF，FO，FG2FO.类型六【例6】 (1)如图，过点A作APEF，交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q
23、，交AP于点T.四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC，四边形AEFP和四边形BHGQ都是平行四边形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90.四边形ABCD是矩形，DABD90，DAPDPA90，AQTDPA，PDAQAB，.(2).提示：EFGH，AMBN，由(1)结论可得，.(3)如图，过D作AB的平行线，交BC的延长线于E，作AFAB交ED延长线于点F.BAFBE90，四边形ABEF是矩形连接AC，由已知条件得ADCABC，ADCABC90，1290.又2390，13，ADFDCE，.设DEx，则AF2x，DF10x.在RtADF中，AF2DF2AD2，即(2x)2(
24、10x)2100，解得x14，x20(舍去)，AF2x8，.变式训练7(1)证明：EHAB，BAC90，EHCA，BHEBAC，.，HEDC.EHDC，四边形DHEC是平行四边形证明：，BAC90，ACAB.，HEDC，.BHE90，BHHE.HEDC，BHCD，AHAD.DMAE，EHAB，EHAAMF90，HAEHEAHAEAFM90，HEAAFD.EHAFAD90，HEAAFD，AEDF.(2)解：如图，过点E作EGAB于点G.CAAB，EGCA，EGBCAB，.，EGCD.设EGCD3x，AC3y，BE5x，BC5y，BG4x，AB4y.EGAAMF90，GEAEAGEAGAFM，AF
25、MAEG.FADEGA90，FADEGA，.类型七【例7】 (1)MGNGMGNG提示：如图，连接EB，DC，EB，DC交于点F.AEAC，ABAD，EACBAD90，EABCAD，AEBACD，EBCD，AEBACD.AHEFHC，EFCEAC90，EBCD.M，N，G分别是BD，CE，BC的中点，NGEB，且NGEB，MGCD，且MGCD，MGNG，MGNG.(2)成立理由：类似于(1)的证明方法，可以得出ADCABE，从而得出EBCD，再利用三角形中位线定理可证明结论还成立(3)GMN是等腰直角三角形证明：如图，连接EB，DC，并分别延长交于点F.AEAC，ABAD，EABCAD，AEB
26、ACD，EBCD，AEBACD，AEBACF180.又EAC90，F90，EBCD.M，N，G分别是BD，CE，BC的中点，NGEB，且NGEB，MGCD，且MGCD，MGNG，MGNG，GMN是等腰直角三角形变式训练8解：(1)BECE(2)BEDE.证明如下：如图，取AB的中点P，连接EP.由(1)结论可知CPA为等边三角形，CAP60，CAPA.ADE为等边三角形，DAE60，ADAE，CAPDAE，CAPDABDAEDAB，CADPAE，ACDAPE(SAS)，APEACD90，EPAB.P为AB的中点，AEBE.DEAE，BEDE.(3)BEDE拓展应用：如图，连接OA，OC，过点A作AHx轴于点H.A的坐标为(，1)，AOH30.由探究结论(3)可知COCB.O(0，0)，B(2，0)，点C的横坐标为1.设C(1，m)CO2CB212m2，AB212(2)2，ABCB，12m212(2)2，m2，C点的坐标是(1，2)
