1、知识点一正弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理内容(1)2R变形(2)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C；(4)abcsin_Asin_Bsin_C；(5)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A知识点二余弦定理定理余弦定理内容a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形cos A；cos B；cos C知识点三三角形面积公式1SABCah(h表示边a上的高)2SABCabsin Cbcsin
2、Aacsin B.3Sr(abc)(r为三角形内切圆的半径)知识点四解三角形1已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况4已知三边a，b，c，可以应用余弦定理求A，B，C.5判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化，根据边的关系或角的关系确定三角形的形状6在ABC中，abcABCsin Asin Bsin C.题型
3、一正、余弦定理的应用例1(1)(2017年4月学考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，A60，B45，则b的长为()A. B1 C. D2(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b等于()A3 B2 C2 D.答案(1)C(2)C解析(1)由正弦定理得，b.(2)由b2c22bccos Aa2，得b26b80，解得b2或b4，因为bc2，所以b2.感悟与点拨(1)一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，就要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理
4、都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制跟踪训练1(1)(2018年4月学考)在ABC中，已知AB2，AC3，则cos C的取值范围是_答案解析设BCa，由22a23223acos C，得cos C2，当且仅当a时，等号成立cos C1.(2)(2016年10月学考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin 2Ccos C，C为锐角求角C的大小；若a1，b4，求边c的长解由sin 2Ccos C，得2sin Ccos Ccos C，因为C为锐角，所以cos C0，从而sin C.故角C的大小是.由a1，b4，根据余弦定理得c2a2b22abcos
5、13，所以边c的长为.题型二判断三角形的形状例2(2016年4月学考)在ABC中，已知A30，AB3，BC2，则ABC的形状是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不能确定答案A解析由正弦定理，得sin C，cos C，当cos C时，C为钝角，则ABC为钝角三角形当cos C时，cos Bcos180(AC)cos(AC)0，B为钝角故ABC为钝角三角形感悟与点拨依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间
6、的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论跟踪训练2在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解sin Csin(BA)sin 2A，sin(BA)sin(BA)2sin Acos A，2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0.当cos A0即A时，ABC为直角三角形当sin Asin B0时，sin Asin B，ab，此时ABC为等腰三角形综上，ABC的形状为直角三角形或等腰三角形题型三
7、与三角形面积有关的问题例3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得，bc2acos Bsin Bsin C2sin Acos B，所以2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，则sin Bsin(AB)，又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，即A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S得，absin C，由正弦定理及(1)得sin Asin Bsin Csin2A，sin Bsin Csin 2Bsin Bco
8、s B，因为sin B0，得sin Ccos B又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.感悟与点拨有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等跟踪训练3(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin A2sin B，c4，C，则ABC的面积为()A. B. C. D.答案D解析由sin A2sin B，得a2b，由c2a2b22abcos C，得b，a.Sabsin C.(2)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin
9、C.若ab，求cos B；设B90，且a，求ABC的面积解由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.由题意知，b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积Sac1.题型四解三角形应用举例例4已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如图所示，由余弦定理可得，AC2AB2BC22ABBCcos B700，所以AC10(km)感悟与点拨(1)根据题意画出示意图，将实际问题抽象
10、成解三角形问题的模型(2)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(3)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等跟踪训练4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)一、选择题1(2018年6月学考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a
11、，b，c.已知B45，C30，c1，则b等于()A. B. C. D.答案C2ABC中，若a1，c2，B60，则ABC的面积为()A. B. C1 D.答案B解析Sacsin B12.3已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A60 B30C60或120 D30或150答案C解析根据正弦定理，得sin B，又ab,0B180，B60或120.4在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A. B.C. D.或答案C解析由a2b2bcc2，得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，0A，A.5如图所示，为测一树的高度，在地面选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且
12、A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(1515)m答案A解析由正弦定理可得，解得PB，又sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以hPBsin 45sin 45(3030)m.6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C的值为()A. BC D.答案A解析由正弦定理，将8b5c及C2B代入得，化简得，则cos B，cos Ccos 2B2cos2B1221. 7在ABC中，已知sin2，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边
13、三角形答案B解析因为sin2，所以.利用正弦定理得，化简得sin Csin Ccos Asin Csin B，所以sin Ccos Asin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Acos C0.又sin A0，所以cos C0，又C(0，)，所以C，所以ABC为直角三角形8在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2bac，B30，ABC的面积为，则b等于()A1 B.C. D2答案A解析由acsin 30，得ac6，由余弦定理得b2a2c22accos 30(ac)22acac4b2126，b1.9在ABC中，若a2b22c2，则cos C的最小值
14、为()A. B.C. D答案C解析在ABC中，a2b22c2，由余弦定理得，cos C(当且仅当ab时取等号)，cos C的最小值为.10已知ABC的面积为，AC，ABC，则ABC的周长等于()A. B3C2 D3答案D解析由题意，可得ABBCsinABC，即ABBC，所以ABBC2.再由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos AB2BC22，即AB2BC25，得(ABBC)2AB2BC22ABBC549，所以ABBC3.所以ABC的周长等于ABBCAC3，故选D.二、填空题11在ABC中，若角A，B，C成等差数列，则B_，_.答案解析由AC2B且ABC，B，.12已知a，b，c分别是
15、ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a，b1，cos C，则sin B_.答案解析由题意和余弦定理可得，c2a2b22abcos C()21212，c，0C，cos C，sin C，由正弦定理得sin B.13已知锐角三角形ABC的面积为，且b2，c，则A_.答案解析在ABC中，bcsin A，sin A，又A为锐角，A.14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_答案解析由sin Bcos B，B(0，)，可得sin1，B，由正弦定理得sin A.又ab，AB，A.15ABC为钝角三角形，a3，b4，cx，C为钝角，则x的取值范围是_答案(5,7)解析由已知条件可知x34且3242x2，5x7.三、解答题16(2017年11月学考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos A.(1)求角A的大小；(2)若b2，c3，求a的值；(3)求2sin Bcos的最大值解(1)因为cos A，且0A，所以A.(2)由余弦定理知a2b2c22bccos A7，因此a.(3)因为2sin Bcos2sin Bcos cos Bsin sin Bsin Bcos Bsin，又0B，所以当B时，2sin Bcos取得最大值.
