1、正弦定理和余弦定理 基础训练1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定答案：A解析：依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则sin(BC)sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sin Asin2A，即sin A1，所以A，故选A.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C.D3答案：C解析：c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理，得c
2、2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6，故选C.32019山西临汾五校联考在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Aacos Bc2，ab2，则ABC的周长为()A5B6 C7D7.5答案：A解析：由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos Bcsin C，即sin(AB)sin Ccsin C，又sin C0，c1，故周长为abc2215，故选A.42019山东菏泽3月联考在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bc0，a2bc，bc，则()A.B2 C3 D.答案：B解析：由余弦定理b2a2c22accos B可得aco
3、s B.又acos Bc0，a2bc，所以c，即2b25bc2c20，所以有(b2c)(2bc)0.所以b2c或c2b，又bc，所以2.故选B.52019江西赣州2月联考在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos Abcos Cccos B，且bc4，则a的最小值为()A2B2 C3D2答案：A解析：由题意及正弦定理，得2sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin A，故cos A，由余弦定理，得cos A，所以a2163bc16324(当且仅当bc2时，等号成立)，所以a的最小值为2.故选A.62019福建莆田月考在ABC中，三个内角A，B，C的
4、对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且4S(ab)2c2，则sin()A1B C. D.答案：C解析：Sabsin C，cos C，2Sabsin C，a2b2c22abcos C.又4S(ab)2c2a2b2c22ab，2absin C2abcos C2ab.ab0，sin Ccos C1.sin2Ccos2C1，(cos C1)2cos2C1，解得cos C1(不合题意，舍去)或cos C0，sin C1，则sin(sin Ccos C).72019湖南G10教育联盟联考已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，a4，b5，c6，则sin(AB)_.答案：解析：ABC中，a4，
5、b5，c6，cos C，sin C，sin(AB)sin C.82019河北衡水中学、河南顶级名校3月联考已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos A，cos B，c，则a_.答案：解析：cos A，cos B，A，B，C为三角形内角，sin A，sin B，cos Ccos (AB)cos(AB)sin Asin Bcos Acos B，C45.又由正弦定理，知，解得a.92019广东七校3月联考已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，A，且sin(BC)sin 2B，则ABC的面积为_答案：或解析：A，且sin(BC)sin 2B，sin 2Bsi
6、n(BC)，即sin Asin 2Bsin(BC)，又sin Asin(BC)，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos Bsin Bcos Ccos Bsin C，即cos Bsin Csin Bcos B.当cos B0时，可得B，C，SABCac22tan ；当cos B0时，sin Bsin C，由正弦定理可知bc，ABC为等腰三角形，又A，abc2.SABCa2.综上可知，ABC的面积为或.102019陕西八校联考设ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且满足Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值为_答案：解析：Sa2(bc)2，bc8，bcsin A2bc(b
7、2c2a2)2bc2bccos A，即sin A4cos A4.联立解得sin A，Sbcsin Abc2，当且仅当bc4时等号成立强化训练12019江西南昌一模在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cos A，则b()A. B. C. D.答案：C解析：因为cos A，所以sin A ，所以sin Csin180(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin Bcos 45sin 45.由正弦定理，得bsin 45.22019山东济宁二模在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bbcos Ac，则tan(AB)的最大值为()A.
8、 B. C. D.答案：A解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理可得，sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bsin Bcos A，得tan A5tan B，从而可得tan A0，tan B0，tan(AB)，当且仅当5tan B，即tan B时取得等号，tan(AB)的最大值为，故选A.32019河南濮阳一模已知ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是()A. B.C(1，) D.答案：B解析：由sin A，sin B，sin C成等比数列，知a，b，c成等比数列，即b
9、2ac，cos B2，当且仅当ac时等号成立，可知B，设y，设sin Bcos Bt，则2sin Bcos Bt21.由于tsin Bcos Bsin，B，所以t(1， ，故yt，t(1， ，因为yt在t(1， 上是增函数，所以y.故选B.42019河南豫南豫北联考线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点利用上述结论，可以求出cos 36()A. B.C. D.答案：B解析：设AB2，ADx，又ABAC，所以CD2x.由黄金分割点的定义可得AD2ACCD，
10、即x22(2x)，解得AD1.在ABD中，由余弦定理，得cos 36.故选B.52019安徽名校联盟4月联考在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccos A0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2B2C3D3答案：A解析：由题意可得，sin B2sin Ccos A0，即sin(AC)2sin Ccos A0，得sin Acos C3sin Ccos A.即tan A3tan C.又cos A0.从而tan Btan(AC)，由基本不等式，得3tan C22，当且仅当tan C时等号成立，此时角B取得最大值，且tan Btan C，tan A，即bc，A12
11、0，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.故选A.6.2019山东日照二模如图所示，在平面四边形ABCD中，AB1，BC2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为()A22 B.C.2 D.1答案：D解析：在ABC中，设ABC，ACB，由余弦定理，得AC21222212cos ，ACD为正三角形，CD2AC254cos ，SBCD2CDsinCDsinCDcos CDsin ，在ABC中，由正弦定理，得，ACsin sin ，CDsin sin ，(CDcos )2CD2(1sin2)CD2sin254cos sin2(2cos )2，BAC，为锐角，CDcos 2cos ，SBCD
12、CDcos CDsin (2cos )sin sin，当时，(SBCD)max1.72019河北衡水中学押题在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan Bbtan A2ctan B，且a8，ABC的面积为4，则bc的值为_答案：4解析：由正弦定理及题设可得sin Bsin B2sin C，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即cos A.又A(0，)，A.由SABCbcsin A4，得bc16，又a2b2c22bccos A(bc)2bc，代入即得bc4.8已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且a
13、cos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B，AD，求ABC的面积解：(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C.亦即sin Acos Csin Asin Csin Acos Ccos Asin Csin C，则sin Asin Ccos Asin Csin C，又sin C0，所以sin Acos A1，所以sin(A30) .在ABC中，0A180，则30A300)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B
14、，即25x249x225x7x，解得x1(负值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsin B10.92019山西晋城一模如图，在锐角三角形ABC中，sinBAC，sinABC，BC6，点D在边BC上，且BD2DC，点E在边AC上，且BEAC，BE交AD于点F.(1)求AC的长；(2)求cosDAC及AF的长解：(1)在锐角ABC中，由正弦定理，可得，所以AC5.(2)由sinBAC，sinABC，可得cosBAC，cosABC，所以cos Ccos(BACABC)cosBACcosABCsinBACsinABC.因为BEAC，所以CEBCcos C6，AEACCE.在ACD中，AC5，CDBC2，cos C，由余弦定理可得AD，所以cosDAC.由BEAC，得AFcosDACAE，所以AF.
