1、导数的几何意义教学设计安徽省宿州市宿州学院附属实验中学 罗风云一、教材依据导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1第三章第二节的内容。二、设计思想教材分析：导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。本节内容分了两部分也即两个课时，一是导数的概念；二是导数的几何意义。之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。教材中利用逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为
2、曲线的切线，这种定义才反映了切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯语）的微积分思想，让学生反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解。学情分析：现有知识储备（1）平均变化率、瞬时变化率；（2）过两点的直线的斜率；（3）函数的极限；（4）导数的概念等现有能力特征具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力现有情感态度对导数这一新鲜的概念在具体情境（函数图像等）中的应用具有强烈的求知欲和渴望探究的积极情感态度设计理念：学生为本，重视思维发生的过
3、程，重视切线定义的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。三、教学目标1.知识与技能目标：（1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。（数形结合），即：切线的斜率；（2）会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，体会“数形结合”的数学思想方法。（3）通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。2.过程与方法目标：经历切线定义的形成过程，体会导数的思想及其
4、内涵，完善对切线的认识与理解，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。3.情感、态度与价值观目标：领悟切线定义的形成过程中所体现的量变与质变、运动与静止、有限和无限对立统一等的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度，体会数形结合及“逼近”等思想和方法。感悟数学的统一美，意识到数学的应用价值，促使学生形成正确的数学观。四、教学重难点：重点：理解导数的几何意义及和“数形结合”的思想方法。难点：应用导数的几何意义。重、难点突破措施：1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分
5、类探究，步步为营，丝丝入扣。2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示切线的形成过程，突破重难点。3.切合实际，分层提高利用分层训练达到因材施教的效果。五、教学手段：利用ppt、Flash、几何画板等多媒体手段辅助教学。六、课 型：新授课七、教学过程结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，帮助学生主动建构切线的形成过程。抽象概括自发探究自主探究引导探究情境导入分层练习例题探究小结复习完成任务单新知探究（一）创设情境，导入新课数学上对于函数讲究数形结合，上节课介绍了导数的概念，这是从“数”的角度来研究导数，若从“形”的角度来探索导数，我们该怎么入手呢？本节课我们就来学习如
6、何从“形”的角度探究导数，这就是今天要学习的课题导数的几何意义。我们先来看一个问题：问题1：在初中我们学习过圆的切线的概念，即直线与圆有且仅有一个公共点时，叫做直线和圆相切，该直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。那么能否将圆这种特殊的曲线的切线定义推广为一般曲线的切线呢？即直线和曲线有且只有唯一公共点时，直线叫做曲线在该点的切线。这种推广妥当吗？如果不妥当，你能举出反例吗？（课件展示）师：轴与抛物线有且仅有一个公共点，但我们不能说它们相切于点；直线与正弦曲线有无数个公共点，我们还是可以说它们是相切的。通过上面的分析，对于一般曲线的切线该如何定义呢？下面一起来探究。设计意图：通过推翻学生对曲线
7、切线的定义的这种错误认识（将直线与圆的切线的定义推广到一般曲线的切线的定义），学生势必就会产生要探究一般曲线的切线定义的迫切要求，这样就可以激发学生的求知欲。另外，通过刚才的分析，使学生能认识到曲线的切线与曲线本身可能有多个交点，也为例2中的切线与曲线本身有两个交点埋下了伏笔。（二）新知探究，进入新课若从“形”的角度探索导数的几何意义就要用到一种重要的思想方法数形结合，要研究“形”，自然要结合“数”。 1.引导探究下面来看一个问题： 问题2：你能借助函数图像说说平均变化率表示什么吗？其中。请在函数图像中画出来。（课件给出函数图像）师: 在函数图像中实际表示的是,在中，而割线的斜率就是，因此平均
8、变化率在图像中表示的是割线AB的斜率。（展示课件）设计意图：通过复习直线的斜率的计算公式，能够让学生快速想起平均变化率与斜率的计算公式之间的联系，为平均变化率在函数图像中的表示铺平道路，另外通过课件的展示让学生立即联想到,之后立即想到斜率，让学生通过图像直观感受到平均变化率与斜率之间的关系，体会到数形结合思想的应用。2.自主探究下面来探究一下在过程中，割线AB的变化情况你能描述一下吗？请在函数图像中画出来。（课件动画展示）师：类比数的变化： （数），当，割线有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在处的切线，（教师说明：通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于
9、各种曲线。）请把它画出来。(课件动画展示)师：（形），割线切线，则割线的斜率切线的斜率由数形结合，得切线的斜率(课件展示) 设计意图：利用flash动画展示由割线到切线的动态变化过程，反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义切线的斜率，注重让学生学会数学思考的一种方式几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解，使学生体会数形结合及“逼近”等思想和方法。3.自发探究通过刚才的分析过程，我们得到了一个概念与一个结论.师：（1） 一个概念：设函数的图像是一条光滑的曲线，当趋于时，点将趋于点，割线将绕点转动最后趋于直线，此时直线和曲线在点处相切，称直线为曲线在点处的切线；（2） 一个结论：
10、函数在处的导数就等于曲线的图像在处的切线AD的斜率。设计意图：通过对上述两个知识点的梳理，让学生经历切线定义的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识与理解，使学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；提高抽象概括的能力。（三）抽象概括，点明主题 通过刚才的叙述，将结论概括如下：函数在处的导数，是曲线的图像在点处的切线的斜率。函数在点处的切线的斜率反映了导数的几何意义。请同学们注意上面结论中的两点：（1） 若设曲线的图像在点处的切线的斜率为，则用数学语言来描述上面的结论就是；（2） 由于切点既在曲线上又在切线上，因此切点坐标既满足曲线方程又满足切线方程。设计意图：通过对导数的几何意
11、义的解读，使学生抓住其中的关键要素，为后面的例题解析与学生分层练习做好铺垫。（四）例题探究，主题重现例1： 已知函数 分别对求在区间的平均变化率，并画出过点（）的相应割线; 求函数在处的导数，并画出曲线在点（-2，4）处的切线.解： 当时，区间相应为-2，0，-2，-1，-2，-1.5。在这些区间中的平均变化率分别为， 其相应割线，如图所示（课件展示），分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线，过点（-2，4）和点（-1.5,2.25）的直线.（此处教师带领学生处理第一部分，剩余两部分由学生课后处理） 在区间上的平均变化率为 . 令趋于零，知函数在处的
12、导数为-4. 曲线在（-2，4）处的切线为，如图所示。（课件演示） 设计意图：主要通过此题复习一下切线的形成过程，从数与形两个角度进一步诠释导数的几何意义。例2：求函数在处的切线方程。解：先求在处的导数， 令趋于零，知函数在处的导数为.这样，函数在点（1，）=（1，2）处的切线斜率为6，即该切线经过点（1，2），斜率为6.因此切线方程为，即.思考：通过刚才的解析过程，你能概括出利用导数的几何意义求曲线的切线方程的解题步骤吗？师：步骤如下： 求出函数在点处的导数与切点坐标； 根据直线的点斜式方程，得切线方程为.变式延伸：此时切线与有几个交点？怎样求解交点坐标呢？（课件演示）师：通过图像的观察，此
13、时切线与有两个交点，将切线方程与曲线方程联立组成方程组，解得两点坐标为，.设计意图：此题一个基础题型，通过此题让学生学会用导数的几何意义去求曲线的切线方程，并且通过变式训练改变原来的错误观点（切线与曲线只有一个交点）。（五）分层练习，因材施教1课本P37第1题(由学生独立完成后，教师引导学有余力的学生处理补充练习2，3） 2函数的图像与直线在处相切，则 . 3已知抛物线，在点P（1，2）处与直线相切，求实数，.设计意图：通过典例解析，使学生掌握了如何利用导数的概念与几何意义解题常见题型的方法，通过练习1的锻炼使之更熟练，练习2的设置主要是考察学生对于两个式子（与）的理解的，而练习3考察的是学生
14、综合知识运用的能力（今天的主要的两个关键点在同一个试题中得到体现）。通过这三题的训练，基本上就可以使每一层学生都能够吃得饱，吃得好，体现了对每一层学生都应该因材施教。（六）小结复习，主题回顾同学们，我们今天学习了导数的几何意义，你能概括出今天的几个知识点吗？（引导学生自行说出）师：有三个，分别是：1切线的定义（略）；2函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。即：切线的斜率； 3曲线在点处的导数存在，则切线方程是.设计意图：通过让学生小结复习，使他们自己能很好的回顾知识点的内容，并且能够培养他们归纳与概括的思维能力。（七）布置作业，课后巩固课本P63习题32 A组5，B组2.
15、思考：在曲线上过点的切线垂直于直线，求点的坐标。设计意图：通过思考题的探究，使学生抓住其中的两个关键要素：一是；二是切点坐标既满足曲线方程又满足切线方程。八、教学反思本节内容研究了导数的几何意义,由于教材未设计极限的知识,于是我尽量采用形象直观的方式，通过动手作图,感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义。本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义并利用导数的几何意义解决问题”这个教学重心展开。首先抛出如何定义曲线的切线，然后由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率瞬时变化率”的研究思路，运用
16、逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义“导数是曲线上某点处切线的斜率”，而后通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数的几何意义的应用。总的来说，有以下几点感触：1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想。学生通过“经历”、“体会”、“感受”的过程学习，充分体现了学生为本的现代教育观；练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教。2.在难点的突破上采取了有效的措施：（1）三类探究符合学生的认知规律；（2）问题2的有效分解，突破重难点；（3）充分利用现代多媒体技术，数形结合分解难点；（4）情景
17、贯穿始终，兴趣伴随学习。3.形式和内容得到统一，具有很强的可操作性。 各类探究中，形式和内容和谐统一，具有很强的可操作性。但是，作为一堂容量较大的微课，时间如果控制不好，易讲不完，所以时间要注意调配。通过反思，自己也意识到：1.让学生体验数学知识的发生、发展、形成过程应该成为我今后数学教学的一个重要教学目标。导数的几何意义是对函数图像特征的一种数学描述，它经历了由图像直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。2教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对本节课教学设计，我对“为学习设计
18、教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。3有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此利用学生主动探究，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究，共同提高。4通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。
