1、 二次根式复习专题讲义一、 二次根式的概念： 1.二次根式：形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。. （a0）是一个非负数。. （）2a（a0）；=a（a0）2. 二次根式的乘：.一般的，有（a0，b0）. 反过来，有 ( a 0 ，b 0 )3.二次根式的除： . 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0，b0）， . 反过来，=（a0，b0） 4. 二次根式的加减法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（
2、x0，y0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。解：二次根式有：、（x0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、。例2.当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的0和中的x+10 解：依题意，得 由得：x- 由得：x-1当x-且x-1时，+在实数范围内有意义。变式题1：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意义 解：由3x-10，得：x 当x时，在实数范围内有意义变式题2：.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？解：依题意得：
3、，当x-且x0时，x2在实数范围内没有意义。.若+有意义，则=_。.使式子有意义的未知数x有（ ）个。例3. .已知y=+5，求的值(答案: ).若+=0，求a2004+b2004的值(答案: 2).已知+=0，求xy的值（答案:81）例4. 计算1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2 分析：我们可以直接利用（）2=a（a0）的结论解题解：（）2 =，（3）2 =32（）2=325=45，（）2=，（）2=例5. 计算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2分析：（1）因为x0，所以x+10；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）20；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22
4、x3+32=（2x-3）20所以上面的4题都可以运用（）2=a（a0）的重要结论解题 解：（1）因为x0，所以x+10 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9 变式题：计算 1.（-3）2 2. 例6.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例7.化简 （1） （2） （3） （4） 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4
5、）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a0）去化简。 解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3 例8.填空：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？ 分析：=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a0时，=，那么-a0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa，a0综上，a2，化简- 例10先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
6、 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_ 变式题1若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题2若-3x2时，试化简x-2+。 （答案：10-x) 例11计算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用（a0，b0）计算即可 解：（1）=（2）=（3）=9（4）= 例12 . 化简（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=（a0，b0）直接化简即可 解：（1）=34=12 （2）=49=36 （3）=
7、910=90 （4）=3xy （5）=3 例13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 解：（1）不正确 改正：=23=6 （2）不正确改正：=4 变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ） 变式题2：化简a的结果是（ ） 变式题3：=_1696 变式题4：一个底面为30cm30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x210=303020，x2=30302，
8、x=30 变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程 （1）2=验证：2= （2）3=验证：3= 同理可得：4 5， 通过上述探究你能猜测出： a=_（a0）,并验证你的结论 解： a= 验证：a=. 例14计算： （1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=2（3）=2（4）=2 例15化简： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）= 例16已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-x0且x-60，即6
9、x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 60，n0） （2）-3（） （a0） 解：（1）原式-=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a 例17.把它们化成最简二次根式： (1) ; (2) ; (3) 点评：二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 例18.如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 解：因为AB2=AC2+BC2 所以AB=6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm 例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二
10、次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式=（-1+-+-+-）（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 练习： 一、选择题 1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填
11、空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1） 2若x、y为实数，且y=，求的值 答案: 一、1C 2D 3.C 4.C 二、1x 2-三、1不正确，正确解答：因为，所以a0，原式-a=-a=-a+=(1-a) 2 x-4=0，x=2，但x+20，x=2，y= . 例20.计算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8
12、=（4+8）=12 点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例21计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 例22已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x
13、+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时， 原式=+6=+3 练习： 一、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27 答案:
14、 一、1C 2A 二、1 26-2 三、1原式=4-=2.2360.452原式=6+3-（4+6）=xy(3-4x/y)=12.52 例23如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值 解：设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ
15、的面积为35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米 例23要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 32.24+713.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材 例24若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实
16、上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化为最简二次根式： =|b| 由题意得 a=1，b=1 练习： 一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）（结果用最简二次根式） A5 B C2 D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘
17、的宽是_m（结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你会算吗？(3-1) （4）若=，
18、则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由 答案:一、1A 2C二、120 22+2三、1依题意，得 ， ， 所以或 或 或2（1）=+1 （2）=+1 （3）=-1 （4） 理由：两边平方得a2=m+n2 所以 例25计算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42-32 =2- 例26计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =
19、13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 例27已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值。 分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2- b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 练习： 一、选择题 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2计算（+
20、）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简 2当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示） 课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与C与 D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二
21、次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）；（2）；（3）；（4） 4其它材料：如果n是任意正整数，那么=n 理由：=n 练习：填空=_；=_；=_ 答案: 一、1A 2D 二、11- 24-24 32 44三、1原式=-（-）=-2原式= 2（2x+1） x=+1 原式2（2+3）=4+6. 例28.比较与的大小。 解：因为：（3+2）（3-2）=1；（2+1）（2-1）=1所以，（3-2）=1/（3+2）；（2-1）=1/（2+1）, 又因为：（3+2）（2+1） 所以，（2-1）（3-2）。 变式题1：比较与的大小。 变式题2：试比较与的大小。 例29.已知的整数部分为a,小数部分为b,求a-b. 解：263， 36+14，即整数部分a=3，小数部分,b=6+1-3=6-2，则：a-b=3-（6-2）=5-6。
