1、微分及其运算教案 首页课 次课 型理 论 课章节2-2微分及其运算教学目的1、掌握微分的概念和微分的运算2、理解微分的几何意义教学重 点求解函数的微分教学难 点理解微分的概念教学方 法课堂讲授教 具挂 图PPT授 课班 级授 课日 期相 关素 材华师大数学分析，刘传宝主编高等数学教学后记1. 作为微积分的首要知识，微分是重中之重，但是由于它与导数密切相关，所以它学习的难易程度很大取决于对导数的掌握程度。2. 微分概念理解和推导过程较繁琐，从课堂情况来看，学生对于定义理解也较为吃力，这就需要与导数概念多作比较说明。3. 微分本身定义较难理解，但是微分计算简单，只是在求导基础上稍微变形，但是由于大
2、家对微分定义不熟，所以导致对它的计算畏惧心理较强。4. 本节整体思维与第一节相似，所以应在比较类别的基础上教学，才能起到举一反三的效果。微分及其运算教案 续页教学过程一、新课导入（5分钟）；已知，在时，？二、新课讲授函数的导数表示函数在点处的变化率，它所描述的是函数在点处变化的快慢程度。在工程技术中，有时还需要了解当自变量取一个微小的增量时，函数取得相应增量的大小。一般说来，计算函数增量的精确值较繁，有时是相当困难的。所以，往往需要找出简便的计算方法计算它的近似值。为此，我们引出微分学中的另一个重要概念微分。1、微分的概念（40分钟）先看一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长
3、由变到，如图2-5所示，问此金属薄片的面积改变了多少？ 图2-5设薄片的边长为，面积为，则。薄片受温度变化的影响，面积的改变量可以看成是当自变量在有增量时，函数相应的增量，即可以看出，由两部分组成，第一部分(图中阴影部分两个矩形面积之和)是的线性函数，且，第二部分(图中右上角处的小正方形)当时，是的高阶无穷小。由此可见；如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可以近似地用第一部分代替，且越小，近似程度越好，这无疑给近似计算提供了极大的方便。微分及其运算教案 续页教学过程撇开这个例子的实际意义，对于一般可导函数而言，我们可以联想到两个问题：(1)与自变量的增量相对应的函数增量，是否也可表示为的
4、线性函数(其中不依赖于)与的高阶无穷小两部分之和；(2)其中线性函数部分的系数，是否恰好是函数在该点的导数。设函数在点处可导，即存在，显然可得由无穷小的概念，即得（其中）于是有 从上式可看出，我们的联想是正确的。同时我们还能证明，如果函数当自变量在有增量时，相应的函数增量可表示为，且的系数一定就是。由此，我们引出下面的概念。定义1：如果函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作，即此时我们称函数在点处可微。以上的分析及定义说明，函数在点处可导与它在该点可微是等价的。特别地，当时，因此我们可以得到自变量的微分等于自变量增量，由此函数在点处的微分又记作微分及其运算教案 续页教学过程如果函数在某区
5、间内每一点都可微，则称函数在该区间内可微，并称函数为该区间内的可微函数。函数在区间内的任一点处的微分记为 上式又可写成即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商，所以导数又称微商。例1：求函数当由1变到1.0l时的微分。解：函数的微分为由条件知，所以。例2：半径为r的球，其体积为，当半径增大时，求体积的增量及微分。解：体积的增量：体积的微分为：。2、微分运算（25分钟）由可知，求微分只要计算出函数的导数，再乘以自变量的微分即可。例3：求函数的微分。解：.例4：求函数的微分。解：.课堂练习：求函数在处的微分，并求在时的微分（记作）。3、微分的几何意义（10分钟） 设函数的图像如图2-6所示，过曲线上点作曲线的切线MT，切线的倾斜角为。则。由图可知，当有微小增量时，相应地切线的纵坐标也有增量QP。微分及其运算教案 续页教学过程因此，函数在点处的微分就是曲线上点处切线MT的纵坐标的增量。图2-6对图形的观察分析，我们还发现：(1)当很小时，也很小，即可用函数的微分来近似替代函数的增量。 (2)当很小时，即在某点的附近可以用“直”代“曲”这一思想在微积分学中是非常重要的。三、小结（5分钟）总结求解函数微分过程中的注意事项。四、布置作业（5分钟）习题2-2 1,2（1）（3）（5）
