1、第一讲 什么是数学史一、 教学目标：掌握数学史的研究对象，了解数学史的意义。二、 教学重点：对数学史意义的理解。三、 教学过程：一、数学史的研究对象数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交融性学科。从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究
2、等方法。史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。不会比较就不会思考,而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开始。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。二、数学史的意义（1）数学
3、史的科学意义每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。（2）数学史的文化意义数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，
4、而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。（3）数学史的教育意义当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经
5、过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由
6、于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。四、作业：学习数学史有哪些意义？第二讲 中国古代数学的萌芽及体系的形成一、教学目标：掌握中国古代数学的萌芽及体系的形成二、教学重点：中国古代数学是如何萌芽的。三、教学过程：数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期
7、：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。一。中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据史记夏本纪记载，夏禹治水时已使用了这些工具。商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、
8、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。公元前一世纪的周髀算经提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。礼记内则篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对
9、于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无
10、限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。二中国古代数学体系的形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以九章算术为代表的数学著作的出现。九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水
11、平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。九章算术有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的九章算术，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的
12、发展情况是完全一致的。九章算术在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。四、 作业：叙述中国古代数学的形成过程。五、第三讲.中国古代数学的发展一、 教学目标：掌握中国古代数学的发展过程。二、 教学重点：对中国古代数学发展过程的了解。三、 教学过程：一.中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注
13、、九章重差图都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的九章算
14、术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.14159
15、263.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。 据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通
16、的缉古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由
17、于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从新唐书等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法
18、改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。四、作业：简述中国古代数学的发展过程。第四讲.中国古代数学的繁荣一、教学目标：了解中国古代数学的繁荣情况。二、教学重点：中国古代数学的繁荣的理解。三、教学过程：960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了算经十书，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。从1114世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作
19、，如贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙四元玉鉴等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在九章算法纂类中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在详解九章算法中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600
20、多年。把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。杨辉算法中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在数书九章中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是九章算术和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数
21、项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。元代天文学家王恂、郭守敬等在授时历中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在四元玉鉴“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的
22、基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在算学启蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了九章算术的不足。李冶在测圆海镜对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。中国古代计算技
23、术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在四元玉鉴序文中提出的“用假象真，以虚问实”则
24、代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。四、作业：阐述中国古代数学的繁荣过程。第五讲.中西方数学的融合一、教学目标：了解中西方数学的融合。二、教学重点：对中西方数学的融合过程的理解。三、教学过程：原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐
25、衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初魁本对相四言杂字和鲁班木经的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了几何原本前六卷、测量法义一卷，与李之藻编译圜容较义和同文
26、算指。1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译崇祯历书137卷。崇祯历书主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。在传入的数学中，影响最大的是几何原本。几何原本是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。几何原本是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响。其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有大测割圆八线表和测量全义。大测主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、
27、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。测量全义除增加一些大测所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐图解、梅文鼎梅氏丛书辑要(其中数学著作13种共40卷)、年希尧视学等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的视学是中国第一部介绍西方透视学的著作。综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是
28、有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。雍正即位以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。随着算经十书与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西
29、方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的代数学代微积拾级；华蘅芳与英人傅兰雅合译的代数术微积溯源决疑数学；邹立文与狄考文编译的形学备旨代数备旨笔算数学；谢洪赉与潘慎文合译的代形合参八线备旨等等。在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的尖锥变法解考数根法；夏弯翔的洞方术图解致曲术致曲图解等等，都是会通中西学术思想的研究成果。由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦
30、头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。四、作业：对中西方数学相互融合的理解。第六讲.文明古国的早期数学巴比伦篇一、教学目标：掌握古巴比伦早期数学发展的情况。二、教学重点：古巴比伦数学的发展情况。三、教学过程：一.19世纪前期，人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版，上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号实际上就是巴比伦人所用的文字，人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究发现，泥版上记载的，是巴比伦人已获得的知识，其中有大量的数学知识。古人最初用石块、绳结记事，后来又用手指计数。一个指头代表1，两个指头代表2，到数到10时，就要重新开始。由此巴比
31、伦人产生了“逢十进一”的概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个手指头，12560，这样他们就又有了每隔60进一的计数法。在泥版上，巴比伦人用“”表示1，用“”表示10，其他数通过和的组合实现。比如35，就用：来表示。这种计数方法也影响了后人，我们现在的十进制和六十进制，就是从这里来的。比如，1米10分米，1分钟60秒。巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制了各种数表帮助计算。在这些泥版上就发现了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根表和立方根表。像乘法表，现在的学生还在背呢！巴比伦泥版上有这样一个问题：兄弟10人分5/3米那的银子（米那和后面的赛克尔都是巴比伦人的重量单位，其中1米
32、那60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三，所分银子的差相等，而且老八分的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量。从这个例子可以看出，巴比伦人已经知道了“等差数列”这个概念。巴比伦人也掌握了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法，求得圆周与直径的比3，还使用了勾股定理。总之，巴比伦人在的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。二.你看见过埃及金字塔吗？几百年来，它以宏伟高大的气势，吸引了无数观光旅游的人们。不仅如此，它设计的别致，建造的精巧，还让世界各地的科学家们为它着迷。比如最大的胡夫金字塔，原高
33、146.5米（现因损坏还高137米），基底的正方形边长233米（现为227米）。在这么长的范围内，误差却非常小：底边长度的误差仅仅是1.6厘米，是全长的1/14600；基底直角的误差只有12，是直角的1/27000。这么高大的金字塔，建造精度如此之高，古埃及人是怎么建成的呢？当科学家破译了古埃及人流传下来的草片上的文字之后，发现古埃及人已经掌握了丰富的几何知识。原来，在尼罗河三角洲盛产一种和芦苇很相象的水生植物纸莎草，古埃及人把这种草从纵面剖成小条，连接成片后再压榨筛干，就可以在上面写字了。古埃及人的这些文字因为写在纸莎草上，所以我们称它为“纸草书”。后来，一位法国人弄明白了纸草书上文字的含义
34、，使人们知道，古埃及人已经学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，计算建造房屋所需要的砖块数等等，还会计算酿造一定量酒所需的谷物数量呢！用数学语言来说，就是古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算，还解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差、等比数列的问题。另外，古埃及人计算矩形、三角形和梯形的面积等的结果，和现代的计算值十分相近。计算圆的面积，这相当于取3.1605，这可是非常了不起的。因为有了这样充足的数学知识，古埃及人建成金字塔就不足为怪了。四、作业：阐述古巴比伦数学的发展过程。第七讲.文明古国的早期数学印度篇
35、，阿拉伯篇一、教学目标：了解古印度和古阿拉伯的数学发展。二、教学重点：古印度和古阿拉伯数学的发展过程。三、教学过程：一.古代印度是个信奉佛教的国度，而古印度人对古代数学的贡献，就像佛掌上的明珠那样耀眼和引人注目。在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下和现在的数字很相近。此后，印度数学引进十进制的数字，同样的数字在不同的位置表示完全不同的含义，这样就大大简化了数的运算，并使计数法更加明确。比如，古巴比伦的记号既可以表示1，也可以表示1/60，而在古印度人那里，符号1只能表示1个单位，要表示十、百等，必须在符号1的后面加上相应个数的符号0。这实
36、在是个了不起的发明，以致于到了现代，人们在计数的时候依然沿用这种方法。古印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数的概念，在实际计算的时候，把适用于有理数的计算方法和步骤运用到无理数中去。另外，他们还解出了一次方程和二次方程。印度数学在几何方面没有取得大的进展，但古印度人对三角学贡献很大。这是他们热衷于研究天文学的副产品。如在他们的计算中，用到了三种量一种相当于现代的正弦，一种相当于现代的余弦，还有一种称为“正矢”，在数量上等于1cos，这个三角量现在已经不用了。他们还知道一些三角量之间的关系，比如“同角正弦和余弦的平方和等于1”等等，古印度人还会利用半角表达式计算某些特殊角
37、的三角值。古印度人在数学史上的伟大贡献，永远被后人景仰和传诵。二.文明古国的早期数学阿拉伯篇提起古代阿拉伯人对数学的贡献，人们自然会想到1，2，9，0这十个“阿拉伯数字”。其实，这十个“阿拉伯数字”最早是由古代印度人创造的，后来古代阿拉伯人将这十个数字传播到了欧洲，欧洲人就把这十个数字称为“阿拉伯数字”。在数学的发展过程中，古代阿拉伯人主要是吸收、保存了古希腊和印度的数学，并将它传给欧洲，架起了一座数学的桥梁。在算术上，古代阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。“代数”这门学科的名称，就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次，甚至
38、三次方程，并且用几何图形来解释他们的解法。另外，古代阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程，这是一大进步。古代阿拉伯人也获得了较为精确的圆周率，他们计算出26.283185307195865，值已计算到了小数点后面第15位。此外，他们在三角形上引进了正切和余切，并且给出了正弦定理的证明。古代阿拉伯人还翻译并著述了大量数学文献，这些著作传到欧洲后，对后世数学的发展起了巨大的推动作用。因此，把古代阿拉伯数学称为数学的桥梁，是当之无愧的。四、作业：叙述古印度和巴比伦的数学发展过程。第八讲.文明古国的早期数学希腊篇一、教学目标：了解古希腊的数学发展二、教学重点：古希腊的数学发展过程。三、教学过程：古希腊
39、虽然未被列入“四大文明古国”行列，却称得上是人类文明的“后起之秀”。古希腊人不仅在文学、戏剧、美术、哲学等诸多方面有很深的造诣，更是当今意义上的数学、物理学、生物学、逻辑学等主要自然学科的创始人。古希腊人的哲学思想，以严谨的逻辑性著称，他们善于通过精细的思考和严密的推理去认识世界，在数学研究上也具有这种特色。古代巴比伦人和古埃及人虽然积累了大量的数学知识，但他们只能回答“应该怎么做”，却无法回答“为什么要这样做”。古希腊人在探究前人数学的时候，有意识地解决了“为什么要这样做”的问题，将人类早期的“经验数学”逐步转化为“理论数学”。古希腊第一位伟大的数学家泰勒斯，曾利用太阳影子成功地计算出了金字
40、塔的高度，实际上利用的就是相似三角形的性质。在泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者，对数学做出了极为重要的贡献。发现“勾股定理”，是他们最出色的成就之一，因此直到现在，西方人仍然把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”。在毕达哥拉斯之后，数学史上著名的“诡辩家”芝诺，又首先提出了“悖论”这个概念，并叙述了四条著名的悖论。伟大的古希腊哲学家亚里士多德，是人类科学发展史上最博学的人物之一，正是他所创立的逻辑学，对古希腊数学的发展产生了深远的影响。到了欧几里德时代，几何学已经成为一门相当完整的学科了。欧几里德的名著几何原本，是世界数学史上最伟大的著作之一。继欧几里德之后，古希腊伟大的数学家、物理学家阿基米
41、德更是开创了希腊数学发展的黄金时代，也就是数学史上著名的“亚历山大时期”。还有几何学中著名的“阿基米德螺线”，也是他发现的。在阿基米德之后，古希腊的数学研究更加侧重于应用。几位著名的天文学家喜帕恰斯、梅尼劳斯和托勒玫创立的三角学，使数学的发展迈上了一个新台阶。这样，初等数学的各个分支算术、数论、代数、几何、三角等学科，由古希腊人建立起来。所以说，古希腊的数学不愧为现代理论数学的摇篮。四、作业：说明一下古希腊的数学发展过程。 第九讲.文明古国的早期数学中国篇，玛雅篇一、教学目标：掌握古中国和玛雅的数学发展过程二、教学重点：对中国和玛雅的古代数学的发展的掌握。三、教学过程：一.古代中国是世界四大文
42、明古国之一。在世界数学发展史上，古代中国的数学成就占有相当重要的位置。在人类文化发展的初期，中国人对数学的研究成果，实际上远远领先于古巴比伦和古埃及。早在五、六千以前，古代中国人就发明了简洁的数学符号，到了三千多年前的商朝（约公元前十六世纪到公元前十一世纪），刻在甲骨和陶器上的数字，已经十分常见。通过对当时甲骨文的研究，发现其中有表示一、十、百、千、万、的十三种计数单位，这说明当时中国人的计数方法，已经采用了人类现行的“十进制”。中国人最早使用十进制的另一个例证，是现行数字符号“0”原本起源于中国的古籍。中国古人在删除文章中错字的时候，采用的就是“圈除”这种方法，久而久之，这个“”就成为表示“
43、不存在”，也就是“零”的符号了。而古印度正式使用“0”这个符号，已经是公元876年前后的事了。只有表示“零”的符号“0”产生后，人类发明的十进制才算完备。因此，中国是当之无愧的“十进制故乡”。中国古人在运算过程中，采用的是“算筹”这种工具。“算筹”就是一些用木、竹制作的匀称小棍，中国古人把这些小棍纵横布置，就可以表示出任何一个自然数来。据考证，至少在两千五百多年前的春秋时代，我国古人的算筹记法就已经相当完备了。这种表示数字的方法，无疑走在世界的前列。我国古人对圆周率的研究，就不用多说了。早在魏晋时期，著名数学家刘徽就计算出了极为准确的圆周率值3.1416。南北朝时期伟大的数学家祖冲之，进一步计
44、算出圆周率的准确值在3.1415926和3.1415927之间。而欧洲人在1000年之后，才计算出如此精确的圆周率。我国周朝数学家商高是世界上最早提出勾股定理的人，早于古希腊的毕达哥拉斯。南宋时期的数学家杨辉，创立了数学史上著名的“杨辉三角”，这是人类数学史上对二项式系数的最早探究。除此之外，中国古人发明的“乘法口诀”（也就是俗称的“九九表”），大大提高了乘法和除法的笔算效率。中国古人发明的算盘，则被世界公认为现代计算机的前身。最奇妙的一件事，莫过于微积分的创始人之一法国数学家莱布尼兹所认为的，中国是现代计算机理论中“二进制”的故乡。莱布尼兹对中国古籍易经有很深入的研究，他认为易经中的八卦图形
45、，所记录的内容就是“二进制”的思想。按照他的说法，易经中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”无疑就是“二进制”思想的体现了。所以说，古代中国的数学家，不愧为现代数学理论的奠基人；古代中国的数学研究成果，不愧为现代数学理论的基础。二.古代美洲文明是世界文明的重要组成部份。公元前1000年左右，中美洲兴起了玛雅文化，公元300900年间是玛雅文化全盛时期，之后便渐渐衰弱。对这里数学的了解，主要来自一些残剩的玛雅时代的石刻和几种玛雅文古抄本：德累斯顿抄本、马德里抄本、巴黎抄本等。早在公元最初的几个世纪里，玛雅人就创立了以地球围绕太阳旋转一周作为一年的太阴历，比古代希腊、罗马人的历法还要精确。与此
46、同时，玛雅人创造了独特的以20进位的位值制计数法。他们用三个符号“ .”、“ ”、“”分别表示1、5和0，别的数字就由这三个符号组合，例如119各个数字表示如下：到了20则进位。玛雅人加减法的运算比较简单，与阿拉伯数码的运算相同。对于乘除法运算，已发现的玛雅文献中还没有见到有关的例子 。玛雅人对形的认识，只能从玛雅古建筑中体会到一些，这些古建筑从外形看都很整齐规范。四、作业：叙述古代玛雅的数学发展情况。第十讲.古希腊数学与古中国数学之比较一、教学目标：了解古希腊和中国的数学发展的差别。二、教学重点：会比较古希腊和中国的数学发展的不同三、教学过程：一、最早的有关数学的记载的比较：最早的希腊数学记载是拜占庭的希腊文的手抄本（可能做了若干修改），是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。其原因是希腊的原文手稿没有保存下来。而成书最早的是帕普斯公元三世纪撰写的数学汇编和普罗克拉斯（公元5世纪）的欧德姆斯概要。欧德姆斯概要一书是以欧德姆斯写的一部著作为基础的。中国最早的数学专著有杜忠算术和许商算术（由汉书艺文志记载可知），但这两部著作都已失传。算术书是目前可以见到的中国最早的，也是一部比较完整的数学专著。结论：中国是四大文明古国之一，所有的文化创造，均源自华夏大地。一般来
