1、 二次根式复习专题讲义一、 二次根式的概念： 1.二次根式：形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。. （a0）是一个非负数。. （）2a（a0）；=a（a0）2. 二次根式的乘：.一般的，有（a0，b0）. 反过来，有 ( a 0 ，b 0 )3.二次根式的除： . 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0，b0）， . 反过来，=（a0，b0） 4. 二次根式的加减法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（
2、x0，y0） 例2.当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 变式题1：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 变式题2：.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？例3. .已知y=+5，求的值.若+=0，求a2004+b2004的值.已知+=0，求xy的值例4. 计算1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2 例5. 计算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2 变式题：计算 1.（-3）2 2. 例6.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例7.化简 （1） （2） （3） （4） 例8.填空：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？ 例9.当x2，
3、化简- 例10先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_ 变式题1若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题2若-3x2时，试化简x-2+。 例11计算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用（a0，b0）计算即可 解：（1）=（2）=（3）=9（4）= 例12 . 化简（1） （2） （3）（4） （5） 例13 . 判断下列各式是否正确，不正确
4、的请予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ） 变式题2：化简a的结果是（ ） 变式题3：=_1696 变式题4：一个底面为30cm30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程 （1）2=验证：2= （2）3=验证：3= 同理可得：4 5， 通过上述探究你能猜测出： a=_（a0）,并验证你的结论 例14计算： （1） （2） （3） （4） 例15化
5、简： （1） （2） （3） （4） 例16已知，且x为偶数，求（1+x）的值 变式题1.计算的结果是（ ） 变式题2.阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ） 变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_ 变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 变式题5.计算 （1）（-）（m0，n0） （2）-3（） （a0） 例17.把它们化成最简二次根式： (1) ; (2) ; (3) 总结：二次根式有如下两个特点： 1
6、被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 例18.如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 练习： 一、选择题 1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化简正确的是（
7、 ）A=3 B=C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 2若x、y为实数，且y=，求的值 例20.计算 （1）+ （2）+ 总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例21计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 例22已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 练习： 一、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类
8、二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27 例23如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简
9、二次根式表示） 例23要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 例24若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 练习： 一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）（结果用最简二次根式） A5 B C2 D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼
10、塘的宽是_m（结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你会算吗？(3-1) （4）若=
11、，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由 例25计算: （1）（+） （2）（4-3）2 例26计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 例27已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值。 练习： 一、选择题 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2计算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简 2当x=时
12、，求+的值（结果用最简二次根式表示） 课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与C与 D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）；（2）；（3）；（4） 4其它材料：如果n是任意正整数，那么=n 理由：=n 练习：填空=_；=_；=_ 例28.比较与的大小。 变式题1：比较与的大小。 变式题2：试比较与的大小。 例29.已知的整数部分为a,小数部分为b,求a-b.
