1、函数的奇偶性教案教学目标1从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念2通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法3培养学生从特殊到一般的概括能力教学重点与难点函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定教学过程设计师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映让我们看看下列各函数有什么共性？(幻灯翻折片)观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)生：函数f(x)=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)=|x|1是定义域为全体图象关于y轴对称师：那么究竟什么叫关于y轴对称？师：(幻灯演示)将f(x)=x2在y轴右
2、侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？(幻灯演示)我们在函数f(x)=x2位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x)，通过沿标有什么关系？对应的函数值相等师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充)师：下面我们来分析一下这个定义定义中“任意一个xD，都有f(x)=f(x)成立
3、”说明了什么？生：这说明f(x)与f(x)都有意义，即x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等师：下面我们看几个习题(幻灯)1判断下列函数是否是偶函数(1)f(x)=x2，x1，2；生：函数f(x)=x2，x1，2不是偶函数因为它的定义域关于原点不对称于原点对称(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的
4、错误结论)(多重复合幻灯)2判断下列图象(图2)是否是偶函数的图象？师：首先，我们取几对相反数检验一下(复片1)当自变量取1这对相反数时，对应的函数值f(1)与f(1)恰好相等；当自变量取3这对相反数时，对应的函数值f(3)与f(3)也恰好相等；当自变量取4时，也得到了相同的结果类似的相反数还可以举出很多对由此，是否就能判断该图象是偶函数的图象呢？(有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完意见后，教师总结)师：当自变量取2这对相反数时，我们观察到f(2)与f(2)并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，所以该图象
5、不是偶函数的图象同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？(幻灯旋转片)观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？师：(幻灯演示)将f(x)=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋转180，我们发现它与f(x)=x3在第三象限内的图象重合了这说明我们刚才的观察结果是正确的那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？生：如
6、果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数师：定义中“任意一个xD，都有f(x)=f(x)成立”说明了什么？生：这说明f(x)与f(x)都有意义，即x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件那么这个定义的实质是什么呢？生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？生：有函数f(x)=0，xR就是一个师：那么这样的函数有多少个呢？生：只有函数
7、f(x)=0，xR一个师：再想一想函数的三要素是什么呢？生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域师：对可见三要素不同的函数就是不同的函数生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x3，11，3；f(x)=0，x5，22，5等等师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lg(4x)lg(4x)；分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)解(1) f(x)的定义域是x|4x0且4x0=x|4x4，
8、它具有对称性因为 f(x)=lg(4x)lg(4x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数(2)解法一：当x0时，x0，于是当x0时，x0，于是综上可知，在R-R+上，g(x)是奇函数这两条曲线(图4)关于原点对称，因此函数g(x)在R-R+上是奇函数例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，F(x)的解析式是ex，求F(x)在R上的表达式解 任取x(，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点由于F(x)是奇函数,ye-xye-x上式就是点P(x，y)的坐标满足的关系式，即x0时F(x)的解析式当x=0时，F(0)=F(0)，即F(0)=0所以奇函数(今后遇到函数奇偶
9、性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法)练习 (幻灯)判断下列函数的奇偶性，并说明理由1f(x)=x23，x10，20；2f(x)=x3x，x2，2)；3f(x)=0，x6，22，6；5f(x)=|x2|x2|；6f(x)=|x2|x2|；7f(x)=5；生：1f(x)=x23，x10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数2f(x)=x3x，x2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数3f(x)=0，x6，22，6是既奇且偶函数这是因为f(x)=f(x)且f(x)=f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数点也对称，所以是奇函数5f(x)=|x
10、2|x2|是偶函数这是因为f(x)=|x2|x2|=|x2|x2|=f(x)，且xR，所以是偶函数6f(x)=|x2|x2|是奇函数这是因为f(x)=|x2|x2|=|x2|x2|=(|x2|x2|)=f(x)，且xR，所以是奇函数7f(x)=5是偶函数这是因为f(x)=5=f(x)，且xR，所以是偶函数=lg1=0，即f(x)=f(x)，且xR，所以是奇函数师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件作业课本P52练习第2题，P59习题五第8，9，10题其中第10题加一问
11、“为什么？”补充题：1设f(x)在R上是奇函数，当x0时，f(x)=x(1x)试问：当x0时，f(x)的表达式是什么？(解 当x0时，x0，所以f(x)=x(1x)又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=f(x)=x(1x)=x(1x)2若奇函数f(x)在3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在7，3上是( )A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5(答B)课堂教学设计说明我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数的图象关于原点或y轴对称的特征来判断它的奇偶性反过来，我们若已知一个函数的奇偶性，也可以推断它在整个定义域内的图象和性质可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系所以，我没有一上来就给出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？”然后，引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解
