1、 全等三角形知识点总结及复习一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角
2、，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二
3、）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1. 已知：如图所示，AB=AC，求证：. 例2. 如图所示，已
4、知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。 例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。 例4. 如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且求证：BD=CE。 例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。在DAFC和
5、DADC中DAFCDADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中DCEBDCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 （四） 全等三角形复习练习题一、选择题1如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组C3组D4组2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处若，则等于（ ）3
6、.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）AB CDCADPB图（四）A B C D 1题图 2题图 4.如图，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5如图，ABC中，C = 90，AC = BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC = 10cm，则DBE的周长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中
7、转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）1处2处3处4处6题图 4题图 5题图7某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为（ ）A B C D9如图，=30，则的度数为（ ）A20 B30 C35 D4010如图，ACAD，BCBD，则有（ ）AAB垂直平分CD BCD垂直平分ABCAB1题图CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACBADCEB 8题图7题图 8题图 10题图 11尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半
8、径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS 12.如图, C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A B平分C D垂直平分14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A B CDODPCABABCD14题图O13题图BAP 11题图 12题图 二、填空题1.如图，已知，要使 ，可补充的条件是 （写出一个即可）_2.如图
9、,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,则DEB的周长为 _3.如图，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）4.如图，在ABC中，C=90ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。DOCBABACEBD 1题图 2题图 3题图 4题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE
10、、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）。8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_.OABCDE 6题图 7 题图 8 题图AB D E C三、解答题1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使（1）求的度数；（2）求证： 3.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAE
11、D； (2) OBOE .EDCBA4.如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由5.如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点MB CA DMN（1）求证：ABCDCB ；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论6.如图，四边形的对角线与相交于点，求证：（1）；DCBAO1234（2）7如图，在和中，现给出如下三个论断：；请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题21（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用
12、序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明：8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD9如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CEBDCFA郜E10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明11已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：12如图，E、F分别为
13、线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF求证：（1）DFCE （2）DE=CF A D FE CEB14.如图，已知在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BEAC于E，CFAB于F
14、，BE、CF相交于点D，若AB=AC求证：AD平分BAC16.如图，B=C=90，M是BC中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB17.如图，在ABC和DBC中，ACB =DBC = 90，E是BC的中点，EFAB，垂足为F，且AB = DE8.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。19如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O试说明AE+CD=AC如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O试说明AE+CD=AC20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且DAE=FAE.求证：AF=AD+CF。ABFCED已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BDAE于D，CEAE于E,(1)当直线AE处于如图的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。BADECBCEAD
