1、人教A版（2019）必修第二册第6章 平面向量及其应用单元测试卷（3） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于( ) A. BDB. DBC. BCD. CB2. 已知向量a=(1,2)，b=(-1,1)，若c满足(c+a)/b，c(a+b)，则c=( )A. (-3,0)B. (1,0)C. (0,-3)D. (0,1)3. 在四边形ABCD中，ABBC=0，且AB=DC，则四边形ABCD是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形4. 已知向量a=(1,m)，b=(3,-2)，且(a+b)b，则m=( )A. -8
2、B. -6C. 6D. 85. 已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是()A. 20B. 21C. 22D. 616. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2-b2tanB=3ac，则角B的值为 ( )A. 6B. 3或23C. 3D. 6或567. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsinB-asinA=12asinC，则cosB等于()A. 34B. 23C. 13D. 128. 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acosA
3、，则sinA:sinB:sinC为()A. 4:3:2B. 5:6:7C. 5:4:3D. 6:5:49. 如图在ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=3BD，BC=2BD.则cosC的值()A. 66B. 36C. 306D. 6310. 如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)PC的最小值是( )A. 2B. 0C. -1D. -211. D为ABC的边BC的中点，E为AD中点，若AD=a，则(EB+EC)EA=()A. -a22B. a22C. -2a2D. a212. 已知|a|=1，|b|=2，a=b，R
4、，则|a-b|等于()A. 1B. 3C. 1或3D. |二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a|=1，|b|=2，(a-b)a=0，那么a与b的夹角=_14. 已知向量a=(1,2)，ab=10，|a+b|=10，则|b|= _ 15. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是_16. 如图，ABC为等腰三角形，BAC=120，AB=AC=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PBPC的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a=-3
5、,2,b=2,1,c=3,-1,tR (1)求a+tb的最小值及相应的t值； (2)若a-tb与c共线，求实数t18. 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若sinBsinC-cosBcosC=12()求角A；()若a=2,b+c=23，求ABC的面积19. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA=12tanB=13tanC(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积为15，求a的值20. .在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m=(a+b,c)，n(b+c,a-b)，且m/n(1)求角A的大小；(2)若B=6，a=3，求ABC的面积21.
6、 如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D,E,F(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离22. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(-1,2)(1)若|c|=5，且a/c，求c的坐标；(2)若|b|=52，且(a+2b)(2a
7、-b)，求|2a+b|.- 答案与解析 -1.答案：C解析：本题考查了向量的加法运算，属于基础题利用向量的加法运算法则可得结果解：由四边形ABCD是平行四边形可得：BC+DC+BA=BC+DC+BA=BC+0=BC故选C2.答案：A解析：考查向量坐标的加法和数量积运算，向量平行、向量垂直时的坐标关系，属中档题可设c=(x,y)，从而可得出c+a=(x+1,y+2)，且得到a+b=(0,3)，这样根据(c+a)/b即可得出x+y+3=0，而根据c(a+b)即可求出y=0，带入即可求出x，从而得出c的坐标解：a=(1,2)，b=(-1,1)，设c=(x,y)，则：c+a=(x+1,y+2)，且a+
8、b=(0,3)，(c+a)/b；x+1+y+2=0；x+y+3=0；c(a+b)；3y=0；y=0，带入得，x=-3；c=(-3,0)故选：A3.答案：C解析：解：在四边形ABCD中，ABBC=0，ABBC，AB=DC，AB-/DC，四边形ABCD是矩形故选：C由ABBC=0，得ABBC，由AB=DC，得AB-/DC，由此能判断四边形ABCD的形状本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量相等的性质的合理运用4.答案：D解析：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题求出向量a+b的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可解：向量a=(1,m
9、)，b=(3,-2)，a+b=(4,m-2)，又(a+b)b，(a+b)b=12-2(m-2)=0，解得m=8故选D5.答案：B解析：由已知中三角形的两边长分别为4和5，其夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根，求出两边夹角的余弦，利用余弦定理可得答案本题考查的知识点是余弦定理的应用，其中解三角形求出两边夹角的余弦是解答的关键解：解方程2x2+3x-2=0得x=-2，或x=12三角形的两边夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根故cos=12则第三边长42+52-24512=21故选B6.答案：B解析：【分析】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可
10、以，因为我们的过程是恒等变形条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点.通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B.解：由(a2+c2-b2)tanB=3ac(a2+c2-b2)2ac=32cosBsinB，即cosB=32cosBsinBsinB=32，又在中所以B为3或23故选B.7.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2-a2=12ac=a2，利用余弦定理即可求得cosB的值解：若c=2a，bsinB-a
11、sinA=12asinC，则由正弦定理可得：b2-a2=12ac=a2，即：b2=a2+12ac=2a2，cosB=a2+c2-b22ac=3a24a2=34故选A8.答案：D解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.由题意可得，可设设三边长分别为a，a-1，a-2，由余弦定理求得cosA的值，再根据3b=20acosA求得a的值，可得sinA：sinB：sinC=a：b：c的值解：ABC中，ABC，设三边长分别为a，a-1，a-2，cosA=a-12+a-22-a22a-1a-2=a-52a-2，又3b=20acosA，可得3b=3a-3=10aa-5a-2，解得a=6，再由正弦定理
12、可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=6：5：4故选D9.答案：C解析：解：不妨设BD=23，则BC=43，AB=AD=3在ABD中，由余弦定理可得：cosA=32+32-(23)2233=13，B(0,)，sinA=1-cos2A=223在ABC中，由正弦定理可得：ABsinC=BCsinA，可得：sinC=322343=66，C为锐角，cosC=306故选：C不妨设BD=23，则BC=43，AB=AD=3.在ABD中，由余弦定理可得：cosA=13，可得sinA=1-cos2A.在ABC中，由正弦定理可得：ABsinC=BCsinA，即可得出本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数
13、基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.答案：D解析：本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键根据图形知O是线段AB的中点，所以PA+PB=2PO，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出解：因为O为AB的中点，所以PA+PB=2PO，从而(PA+PB)PC=2POPC，又|PO|+|PC|=2为定值，所以当且仅当|PO|=|PC|=1，即P为OC的中点时，(PA+PB)PC最小值是-2故选D11.答案：A解析：解：E为AD中点，AD=a，EB+EC=2ED=AD，(EB+EC)EA=ADEA=AD(-12)AD=-12AD2=-12a2，故选：A作出图形，
14、依题意可得EB+EC=2ED=AD，EA=(-12)AD，再利用平面向量的数量积即可得答案本题考查平面向量的数量积的运算，求得EB+EC=2ED=AD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题12.答案：C解析：解：|a|=1,|b|=2,a=b；a2=2b2；1=42；=12；a=12b；ab=12b2=2；(a-b)2=a2-2ab+b2=1-2ab+4；(a-b)2=1或9；|a-b|=1或3故选：C根据条件即可得出2=14，进而得出=12，ab=2，从而可得出(a-b)2=1或9，这样即可求出|a-b|考查向量数量积的运算，向量长度的求法13.答案：45解析：本题主要考查平面向量的数量积运
15、算，属基础题本题考查向量的模长，垂直关系和夹角公式，属于基础题根据已知垂直条件，经运算求出两向量的数量积，再由向量夹角的余弦公式求解解：(a-b)a=0，(a-b)a=0=0，|a|2-ab=0，ab=|a|2=1，所以cos=ab|a|b|=12=22，所以=45故答案为4514.答案：53解析：由模长公式可得|a|，把|a+b|=10平方代入已知数据可得|b|的方程，解方程可得本题考查平面向量数量积的运算，涉及模长公式，属基础题解：a=(1,2)，|a|=5，ab=10，|a+b|=10，(a+b)2=a2+2ab+b2=5+210+b2=100，解得|b|=53，故答案为5315.答案：
16、22解析：本题主要考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，基础题目利用正弦定理化简已知条件可得cosA=13，由此可解解：在ABC中，3bcosA=ccosA+acosC，由正弦定理可得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，sinB0，可得：cosA=13，A为三角形内角sinA=223，tanA=22.故答案为22.16.答案：-11,-9解析：解：建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(-23,-2)，C(23,-2)；且点P在单位圆A的劣弧EF上，设P(cos,sin)，76,116，则PBPC=(-23-cos)
17、(23-cos)+(-2-sin)(-2-sin)=(cos2-12)+(4+4sin+sin2)=4sin-7；又76,116，-1sin-12，-114sin-7-9，PBPC的取值范围是-11,-9故答案为：-11,-9建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量和单位圆，设出点P的参数方程，计算PBPC的解析式，求出它的取值范围本题考查了平面向量的坐标表示与数量积的计算问题，是中档题17.答案：【解答】解：(1)a=(-3,2)，b=(2,1)，c=(3,-1)，a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t)，|a+tb|=(-3+2t)2+(2+t)2=5t2-8t+13=
18、5(t-45)2+495495=755(当且仅当t=45时等号成立)(2)a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t)，又a-tb与c共线，(-3-2t)(-1)=3(2-t)，解得t=35解析：【分析】(1)利用求模公式表示出|a+tb|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；(2)利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题18.答案：解：()cosBcosC-sinBsinC=-12，cos(B+C)=cos(-A)=-cosA=-12即cosA=12，又A为三角形内角A=3()cosA=cos3=b
19、2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=12(23)2-2bc-22=bc，解得bc=83SABC=12bcsinA=128332=233解析：(I)利用和差公式即可得出；(II)利用余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出本题考查了和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.答案：解：(1)已知tanA=12tanB=13tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，在ABC中，tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=-2tanA+3tanA1-6tan2A，解得tan2A=1，即tanA=-
20、1，或tanA=1若tanA=-1，可得tanB=-2，则A，B均为钝角，不合题意故tanA=1，得A=4；(2)由tanA=1，得tanB=2，tanC=3，可得sinB=2cosB，sinC=3cosC，结合sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1，可得sinB=25，sinC=310(负值已舍)在ABC中，由asinA=bsinB，得b=sinBsinAa=2105a，于是SABC=12absinC=12a2105a310=35a2，由35a2=15，解得a=5解析：本题考查三角形的解法，考查正弦定理及两角和的正切值的应用，是中档题(1)由已知结合tanA=-tan(B+C
21、)可得tanA，进一步得到角A的大小；(2)结合(1)求出tanB=2，tanC=3，可得sinB=2cosB，sinC=3cosC，进一步得到sinB，sinC的值，把三角形ABC的面积用含有a的代数式表示，则答案可求20.答案：解：(1)向量m=(a+b,c)，n(b+c,a-b)，且m/n，(a+b)(a-b)=c(b+c)，即b2+c2-a2=-bc，cosA=b2+c2-a22bc=-12，则A=23；(2)B=6，a=3，A=23，C=6，由正弦定理asinA=bsinB得：b=asinBsinA=31232=3，则SABC=12absinC=334解析：(1)由两向量的坐标及两向
22、量平行满足的条件列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；(2)由a，sinB，sinA的值，利用正弦定理求出b的值，确定出C的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键21.答案：解：(1)依题意得BD=300，BE=100，在ABC中， B=3，在BDE中，由余弦定理得：DE=1007.答：甲乙两人之间的距离为1007m.(2)由题意得EF=2DE=2y，在直角三角形CEF中，在BDE中，由正弦定理得，即，02，所以当=6时，y有最小
23、值503.答：甲乙之间的最小距离为503m.解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题(1)由题意，BD=300，BE=100，BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；(2)BDE中，由正弦定理可得200-2ysinsin=ysin60，可将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离22.答案：解：(1)设c=(x,y)，由a/c，|c|=5，可得：y=-2xx2+y2=5，x=1y=-2或x=-1y=2，c=(1,-2)或c=(-1,2)；(2)(a+2b)(2a-b)，(a+2b)(2a-b)=0，即2a2+3ab-2b2=02|a|2+3ab-2|b|2=025+3ab-254=0，得ab=-52|2a+b|=4a2+4ab+b2=352解析：(1)设c=(x,y)，由a/c，|c|=5列关于x，y的方程组，求解方程组得c的坐标；(2)由(a+2b)(2a-b)，得(a+2b)(2a-b)=0，展开后求得ab，然后结合|2a+b|2=(2a+b)2求解本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是中档题
