1、2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（1）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知复数z满足zi+2z=1i，则z（）A1+2iB12iC1+iD1i2（5分）已知全集UR，集合A3，1，1，3，集合BxR|x0，则图中阴影部分表示的集合为（）A3，1B1，3C1，1，3D33（5分）设变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y2，x-y+10，则z（x3）2+y2的最小值为（）A2B455C4D1654（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A23B234C64D6435（5分）若为第二象限角，下列结论错误的是（）As
2、incosBsintanCcos+tan0Dsin+cos06（5分）若直线yax与曲线ylnx1相切，则a（）AeB1C1eD1e27（5分）已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为23，则|a-b|=（）A7B6C5D38（5分）设xR，则“x12”是“（12x）（x+1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）已知数列an为等差数列，若a4+a810，则a6（）A5B10C5D1010（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分
3、，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A25B12C35D4511（5分）已知向量a+b=（1，2），a-b=（3，0），则ab=（）A1B1C3D312（5分）设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|2）的最小正周期为，且过点(0，2)，则下列正确的为（）f（x）在(0，2)单调递减f（x）的一条对称轴为x=2f（|x|）的周期为2把函数f（x）的图象向左平移6个长度单位得到函数g（x）的解析式为g(x)=2cos(2x+6)ABCD二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）双曲线x2+ky21的一条渐近线的斜率是2，则k 14（5分）平面过正方体AB
4、CDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDl，平面ABB1A1m，则l，m所成角正切值为 15（5分）已知正项等比数列an的公比为2，若aman4a1a9，4m+1n的最小值为 16（5分）对任意正整数n，函数f（n）2n37n2cosnn1，若f（2）0，则的取值范围是 ；若不等式f（n）0恒成立，则的最大值为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）ABC中，AC3，三个内角A，B，C成等差数列（1）若cosC=63，求AB；（2）求BABC的最大值18（12分）如图：AB面BCD，BCCD，BCD90ADB30，E，F分别是AC，AD的中点（1）求证：
5、平面BEF平面ABC（2）作BGCD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线19（12分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围20（12分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用x千万元与年销售量y千万件的数据，得到散点图1，对数据作出如下处理：令uilnxi，vilnyi，得到相关统计量的值如图2：i=110 uivii=110 uii=110
6、vii=110 ui230.5151546.5（1）利用散点图判断ybx+a和ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出y与x的回归方程；（2）已知企业年利润z千万元与x，y的关系式为z=27ey-x（其中e为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？21（12分）已知a1，函数f（x）xlnxax+1+a（x1）2（1）若a1，求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）的零点个数四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方
7、程为x=1+cosy=sin（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，直线l的极坐标方程为=4(R)（1）求：曲线C1的普通方程；曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，3)，点N是曲线C1上的点，求MON面积的最大值五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+a|+|xb|+c（1）若a1，b2，c3，求不等式8f（x）10的解集；（2）当a0，b0，c0时，若f（x）的最小值为2，求1a+1b+1c的最小值2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（1）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5
8、分）已知复数z满足zi+2z=1i，则z（）A1+2iB12iC1+iD1i【解答】解：设za+bi （aR，bR），则z=a-bi，zi+2z=1i，（a+bi）i+2（abi）1i，（2ab）+（a2b）i1i，2a-b=1a-2b=-1，解得a=1b=1，z1+i，故选：C2（5分）已知全集UR，集合A3，1，1，3，集合BxR|x0，则图中阴影部分表示的集合为（）A3，1B1，3C1，1，3D3【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（UB）A；全集UR，BxR|x0；UBx|x0；集合A3，1，1，3，（UB）A1，3；故选：B3（5分）设变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y
9、2，x-y+10，则z（x3）2+y2的最小值为（）A2B455C4D165【解答】解：画出变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y2，x-y+10，的可行域，可发现z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到2xy20距离的平方取得最小值：(6-24+1)2=165故选：D4（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A23B234C64D643【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以设外接球的球心为O，故：A（2，4，0（）B（1，4，3），O（1，2，z），由于|OA|=|OB|，所以1+4+z2=4+(z-3)2，解得z=13
10、，故r2=1+4+13=163所以S=4163=643故选：D5（5分）若为第二象限角，下列结论错误的是（）AsincosBsintanCcos+tan0Dsin+cos0【解答】解：因为为第二象限角，所以sin0，cos0，tan0，A，B，C都对，D错误故选：D6（5分）若直线yax与曲线ylnx1相切，则a（）AeB1C1eD1e2【解答】解：y=1x，设切点为（x，lnx1），则ax=lnx-1a=1x，解得a=1e2故选：D7（5分）已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为23，则|a-b|=（）A7B6C5D3【解答】解：|a|=|b|=1，a，b=23，(a-b)2=a2-2ab+
11、b2=1-211(-12)+1=3，|a-b|=3故选：D8（5分）设xR，则“x12”是“（12x）（x+1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：（12x）（x+1）0化为：（2x1）（x+1）0，解得：x12，或x1“x12”是“（12x）（x+1）0”的充分不必要条件故选：A9（5分）已知数列an为等差数列，若a4+a810，则a6（）A5B10C5D10【解答】解：根据题意，等差数列an中，有a4+a82a6，若a4+a810，则a65；故选：A10（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满
12、分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A25B12C35D45【解答】解：由题意可得x甲=16（88+87+85+92+93+95）90，设被污损的数字为x，则x乙=16（85+86+88+90+99+x）89+x6，满足题意时，x甲x乙即：9089+x6，解得x6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p=610=35故选：C11（5分）已知向量a+b=（1，2），a-b=（3，0），则ab=（）A1B1C3D3【解答】解：因为a+b=（1，2），a-b=（3
13、，0），+2a=（2，2）a=（1，1）；2b=（4，2）b=（2，1）；ab=（1）2+111；故选：B12（5分）设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|2）的最小正周期为，且过点(0，2)，则下列正确的为（）f（x）在(0，2)单调递减f（x）的一条对称轴为x=2f（|x|）的周期为2把函数f（x）的图象向左平移6个长度单位得到函数g（x）的解析式为g(x)=2cos(2x+6)ABCD【解答】解：函数f（x）sin（x+）+cos（x+）=2sin(x+）（0，|2），由于函数的最小正周期为，所以=2=2，由于函数的图象经过点(0，2)，所以2=2sin，所以=2所以函数f
14、（x）=2sin(2x+2)=2cos2x，对于f（x）在x(0，2)时，2x（0，），所以函数单调递减故正确对于f（x）的一条对称轴为x=2当x=2时，函数取得最小值，故正确f（|x|）=2cos2|x|，所以函数的周期为故错误把函数f（x）的图象向左平移6个长度单位得到函数g（x）=2cos(2x+3)，故错误故选：A二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）双曲线x2+ky21的一条渐近线的斜率是2，则k-14【解答】解：x2+ky21表示双曲线，则k0，方程化为x2-y2-1k=1，得a1，b=-1k，则渐近线方程为y=-1kx，由题意可得：-1k=2，则k=-14故答案
15、为：-1414（5分）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDl，平面ABB1A1m，则l，m所成角正切值为3【解答】解：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的左面补一个与之全等的正方体ADEFA1D1E1F1AEB1D1，EF1CB1，平面CB1D1，则为平面AEF1平面ABCDlAE，平面ABB1A1mAF1，可得：AEF1为正三角形则l，m所成角EAF1=3，tanEAF1tan3=3，故答案为：315（5分）已知正项等比数列an的公比为2，若aman4a1a9，4m+1n的最小值为34【解答】解：正项等比数列an的公比为2，又aman4a1a9，
16、a122m+n-2=4a1228，a10，2m+n2210，m+n12，则4m+1n=112（4m+1n）（m+n）=5+4nm+mn125+24nmmn12=34，当且仅当4nm=mn且n+m12即n4，m8时取等号，故答案为：3416（5分）对任意正整数n，函数f（n）2n37n2cosnn1，若f（2）0，则的取值范围是-132；若不等式f（n）0恒成立，则的最大值为-132【解答】解：由函数f（n）2n37n2cosnn1，若f（2）0，则1628cos2210，即152820，解得-132；不等式f（n）0恒成立，即2n37n2cosnn10恒成立，当n为奇数时，2n3+7n2n10
17、即2n2+7n-1n恒成立，等价为（2n2+7n-1n）min，设g（n）2n2+7n-1n，g（n）4n+7+1n20，可得g（n）在正奇数集上递增，可得g（n）的最小值为g（1）8，可得8；当n为偶数时，2n37n2n10即2n27n-1n恒成立，等价为（2n27n-1n）min，设h（n）2n27n-1n，g（n）4n7+1n20，可得g（n）在正偶数集上递增，可得g（n）的最小值为g（2）=-132可得-132由可得不等式f（n）0恒成立，可得-132即的最大值为-132故答案为：-132，-132三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）ABC中，AC3，三个内角A
18、，B，C成等差数列（1）若cosC=63，求AB；（2）求BABC的最大值【解答】解：（1）A，B，C成等差数列，2BA+C，又A+B+C，B=3，（2分）又cosC=63，sinC=33，由正弦定理得：ABsinC=BCsinA，所以AB=BCsinAsinC=33233=2；（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，即32a2+c2ac，又a2+c22ac，当且仅当ac时取到等号，所以9a2+c2acac所以BABC=12ac92，所以BABC的最大值是9218（12分）如图：AB面BCD，BCCD，BCD90ADB30，E，F分别是AC，AD的中
19、点（1）求证：平面BEF平面ABC（2）作BGCD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线【解答】证明：（1）E，F分别是AC，AD的中点，AEEC，AFFD；EFCD又AB面BCD，ABCD，ABCD，BCCDABBC=BCD平面ABC，CD平面ABCEFCDEF平面ABCEF平面ABCEF平面ACD平面BEF平面ABC得证解：（2）连接GD，作AB的平行线，连接AM，MD（如图所示），延长EF交MD于NE，F分别是AC，AD的中点，AEEC，AFFD；BGCDAMEFCD，FNAMN必为MD的中点，ENBG，ENBGBGNE是平行四边形同理：BGCD是平行四边形平面BGDC平面BGENB
20、G作BGCD，BG是平面BEF与平面BCD的交线证毕19（12分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围【解答】解：（）由题意，ca=22b2=1a2=b2+c2，解得a22椭圆C的方程为x22+y2=1；（）由已知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为yk（x1），直线l与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-1)x22+y2=1，得（2k2+1）x24k2x+2k
21、220由已知，0恒成立，且x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1，直线F1A的方程为y=y1x1+1(x+1)，令x0，得M（0，y1x1+1），同理可得N（0，y2x2+1）F1MF1N=1+y1y2(x1+1)(x2+1)=1+k2(x1-1)(x2-1)(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2x1x2+x1+x2+1，将代入并化简得：F1MF1N=7k2-18k2-1，依题意，MF1N为锐角，则F1MF1N=7k2-18k2-10，解得：k217或k218综上，直线l的斜率的取值范围为（，-77）（-24，0）（0，24）
22、（77，+）20（12分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用x千万元与年销售量y千万件的数据，得到散点图1，对数据作出如下处理：令uilnxi，vilnyi，得到相关统计量的值如图2：i=110 uivii=110 uii=110 vii=110 ui230.5151546.5（1）利用散点图判断ybx+a和ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出y与x的回归方程；（2）已知企业年利润z千万元与x，y的关系式为z=27ey-x（其中e为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下
23、一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型ycxd更合适，对yccd两边取对数，得lnylnc+dlnx，即vlnc+du，由表中数据得，d=i=1n uivi-nuvi=1n ui2-nu2=30.5-101.51.546.5-101.51.5=13，所以lnc=v-du=1.5-131.5=1，所以ce，所以年研发费用和年销售量y的回归方程为yex13（2）由（1）知z27x13-x，求导得z9x-23-1，令z（x）9x-23-10，得x27，函数z27x13-x在（0，27）上单调递增，在（27，+）上单调递减，所以当x27时，年利润取最
24、大值5.4亿元，故要使得年利润最大，预计下一年应投入2.7亿元研发费用21（12分）已知a1，函数f（x）xlnxax+1+a（x1）2（1）若a1，求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）的零点个数【解答】解：（1）若a1，f（x）xlnxx+1+（x1）2，定义域（0，+），f（x）lnx+2x2，f（x）lnx+2x2在（0，+）上单调递增，且f（1）0，故当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，（2）当a1时，结合（1）可知当x（0，1）时，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）单调递增，且f（1）0，故函数只有一个零点，当
25、a1时，f（x）lnx+2ax+13a，令g（x）lnx+2ax+13a，则g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）1a0，g（32）1+ln320，故存在实数m(1，32)使得g（m）lnm+2am+13a0，即lnm2am1+3a，当x（0，m）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（m，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，故f（x）minf（m）mlnmam+1+a（m1）2，m（2am1+3a）am+1+a（m1）2，（1m）（am+a+1），m(1，32)，f（m）0，f（13）0，f（3）0，结合零点判定定理可知，此时f（x）有两个零点，综上可得，当a1时，一个零点，当a1时，
26、两个零点四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，直线l的极坐标方程为=4(R)（1）求：曲线C1的普通方程；曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，3)，点N是曲线C1上的点，求MON面积的最大值【解答】解：（1）因为x=1+cosy=sin，又sin2+cos21，所以（x1）2+y21，即曲线C1的的普通方程为（x1）2+y21；由2x2+y2得曲线C2的直角坐标方程为x2+y21，又直线l的直角坐标
27、方程为xy0，所以x2+y2=1x-y=0x1=22y1=22或x2=-22y2=-22，所以曲线C2与直线l的交点的直角坐标为(22，22)和(-22，-22)（2）设N（，），又由曲线C1的普通方程为（x1）2+y21得其极坐标方程2cosMON的面积S=12|OM|ON|sinMON=12|6sin(3-)|=|6cossin(3-)|=|3sin(3-2)+332|=|3cos(2+6)+332|所以当=2312或=1112时，(SMON)max=3+332五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+a|+|xb|+c（1）若a1，b2，c3，求不等式8f（x）10的解集；（2）当a
28、0，b0，c0时，若f（x）的最小值为2，求1a+1b+1c的最小值【解答】解：（1）根据题意，a1，b2，c3，函数f（x）|x+1|+|x2|+3=2x+2，26，-1x24-2x，x-1，解x2102x+28，或x-1104-2x8，得3x4或3x2，所以解集为：（3，2）（3，4）（2）因为f（x）|x+a|+|xb|+c|x+ax+b|+c|a+b|+c，当且仅当axb时，等号成立，又a0，b0，所以|a+b|a+b，所以f（x）的最小值为：a+b+c，所以a+b+c2所以1a+1b+1c=12（a+b+c）（1a+1b+1c）=12（3+ba+ab+ac+ca+cb+bc）12（3+2+2+2）=92
