1、2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）已知全集UR，集合Ax|x（x2）0，B1，0，1，2，3，则（UA）B的子集个数为（）A2B4C8D162（3分）mn0是方程x2m-y2n=1表示双曲线的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为P0(32，12)，秒针从P0（注：此时t0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）Ay=sin(30t+6)By=sin(-60t-6)Cy
2、=sin(-30t+6)Dy=sin(-30t-6)4（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A2Bsin2C2sin1D2sin15（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为（）A1B12C1D26（3分）若x，y满足约束条件x+y1x-y-13x+y3，则z4x+3y的最小值为（）A9B6.5C4D37（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A18B17C16D158（3分）如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，D是棱BC上的动点，记PD与平面ABC所成的角为，与直线BC所成的角为，则
3、与的大小关系为（）ABCD不能确定9（3分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数yf（x2）的图象关于点（2，0）对称若不等式f（mx2+2m）+f（4x）0对任意x1，2恒成立，则实数m的取值范围是（）A（-2，2）B（，-2）C（2，+）D（，2）10（3分）已知向量a，b夹角为3，|b|2，对任意xR，有|b+xa|a-b|，则|tb-a|+|tb-a2|（tR）的最小值是（）A132B32C1+32D7211（3分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=cosx，x0，122x-1，x(12，+)，则不等式f（x）12的解集为（）A-34，-2323，34B-34，-131
4、3，34C-74，-1313，74D14，2343，7412（3分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是C上一点，过P点作C的切线l交x轴于Q点，且Q在C的准线上，则PFQ一定是（）A等边三角形B等腰直角三角形C直角三角形但不是等腰三角形D等腰三角形但不是直角三角形二填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x23-y2b2=1的两条渐近线与直线x=3围成正三角形，则双曲线的离心率为 14（3分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为 15（3分）对任意正实数x，y，f（xy）f（x）+f（y），f（9）4，则f(3)= 16（
5、3分）已知函数f（x）=x-1x，x0lnx+ex，x0，若g（x）f（x）kx有两个不等的零点，则实数k的取值范围为 三解答题（共5小题）17在数列an中，已知a11+3，且an+1an=2an+1+an-2，nN*（1）记bn（an1）2，nN*，求证：数列bn是等差数列；（2）设bn的前n项和为Sn，求证：1S1+1S2+1S3+1Sn3418在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=2，AC=3，BC=1，ACBCD是AB的中点（I）求证：PD平面ABC（）求点B到平面PAC的距离；（文科学生做）（）求异面直线PA与BC所成角的余弦值（理科学生做）192019年中央电视台在周日晚上推出的一
6、档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图（）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”（i）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；（ii）完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k）0.050.0100.001k3.8416.63510.8282
7、0已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，上顶点为B点P在E上，点D（0，2b），PBD的最大面积等于322（）求E的方程；（）若直线DP与E交于另一点Q，直线BP，BQ分别与x轴交于点M，N，试判断|OM|ON|是否为定值21已知函数f(x)=a+lnxx（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数f（x）与函数g（x）lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（3）证明：当a（0，12）时，函数h（x）f（x）ax有两个零点x1，x2，且满足1x1+1x21a四解答题（共2小题）22在直角坐标系xOy中，参数方程x=cosy=sin（其中为参数）的
8、曲线经过伸缩变换：x=2xy=y得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为sin(+4)=3102（）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值23设f（x）|x|+2|xa|，（a0）（1）当a1时，解不等式f（x）4；（2）若f（x）4，求实数a的取值范围2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）已知全集UR，集合Ax|x（x2）0，B1，0，1，2，3，则（UA）B的子集个数为（）A2B4C8D16【解答】解：A
9、x|0x2，B1，0，1，2，3，UAx|x0或x2，（UA）B1，3，（UA）B的子集个数为224故选：B2（3分）mn0是方程x2m-y2n=1表示双曲线的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2m-y2n=1表示双曲线，mn0，则“mn0”是“方程x2m-y2n=1表示双曲线”的充分必要条件，故选：C3（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为P0(32，12)，秒针从P0（注：此时t0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）Ay=sin(30t+6)By=s
10、in(-60t-6)Cy=sin(-30t+6)Dy=sin(-30t-6)【解答】解：秒针是顺时针旋转，角速度0又由每60秒转一周，=-260=-30（弧度/秒），由P0（32，12），得，cos=32，sin=12解得=6，故选：C4（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A2Bsin2C2sin1D2sin1【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为1sin1这个圆心角所对的弧长为21sin1=2sin1故选：C5（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为（）A1B12C1
11、D2【解答】解：依题意，设进入判断框时的a为ai（i为计数变量），则a12a2=12，a31，a42，an以3为周期，输出值为a2019a31，故选：A6（3分）若x，y满足约束条件x+y1x-y-13x+y3，则z4x+3y的最小值为（）A9B6.5C4D3【解答】解：x，y满足约束条件x+y1x-y-13x+y3所表示的可行域为下图中的ABC，当目标函数对应的直线z4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3故选：D7（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A18B17C16D15【解答】解：由三视图得，在正方体ABCDA1
12、B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则V三棱锥=1312a3=16a3，故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：16故选：C8（3分）如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，D是棱BC上的动点，记PD与平面ABC所成的角为，与直线BC所成的角为，则与的大小关系为（）ABCD不能确定【解答】解：PA平面ABC，PDA为直线PD与平面ABC所成的角，故sin=PAPD，过P向直线BC作垂线，垂足为E，则PDE为直线PD与直线BC所成的角，故sin=PEPD，又PAPE，故sinsin，于是故选：C9（3分）已知函数f（x）是定义在R上的增
13、函数，且函数yf（x2）的图象关于点（2，0）对称若不等式f（mx2+2m）+f（4x）0对任意x1，2恒成立，则实数m的取值范围是（）A（-2，2）B（，-2）C（2，+）D（，2）【解答】解：函数yf（x2）的图象关于点（2，0）对称，由yf（x）的图象可由yf（x2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，f（mx2+2m）+f（4x）0即为f（mx2+2m）f（4x）f（4x），由f（x）为R上的增函数，可得mx2+2m4x，即有m-4xx2+2对任意x1，2恒成立，又22x+2x3，有222+x2x3，即13x2+
14、x224，即-2-4xx2+2-43，则m-2，故选：B10（3分）已知向量a，b夹角为3，|b|2，对任意xR，有|b+xa|a-b|，则|tb-a|+|tb-a2|（tR）的最小值是（）A132B32C1+32D72【解答】解：向量a，b夹角为3，|b|=2，对任意xR，有|b+xa|a-b|，两边平方整理可得x2a2+2xab-（a22ab）0，则4（ab）2+4a2（a22ab）0，即有（a2-ab）20，即为a2=ab，则（a-b）a，由向量a，b夹角为3，|b|2，由a2=ab=|a|b|cos3，即有|a|1，则|a-b|=a2+b2-2ab=3，画出AO=a，AB=b，建立平面
15、直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，3），a=（1，0），b=（1，3）；|tb-a|+|tb-a2|=(1-t)2+(3t)2+(12-t)2+(3t)2=4t2-2t+1+4t2-t+14=2（(t-14)2+(0-34)2+(t-18)2+(0+38)2 表示P（t，0）与M（14，34），N（18，-38）的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|即有2|MN|2(14-18)2+(34+38)2=72故选：D11（3分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=cosx，x0，122x-1，x(12，+)，则不等式f（x）12的解集为（）A-34，-2323
16、，34B-34，-1313，34C-74，-1313，74D14，2343，74【解答】解：当x0时，若x0，12，则x0，2由不等式f（x）12，可得cosx12，可得 3x2，13x12，它的解集为13，12若x12，不等式f（x）12，即2x112，它的解集为x|12x34综上可得，当x0时，不等式的解集为x|13x34，再根据f（x）为偶函数，可得在R上，不等式的解集为x|13x34，或-34x-13，故选：B12（3分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是C上一点，过P点作C的切线l交x轴于Q点，且Q在C的准线上，则PFQ一定是（）A等边三角形B等腰直角三角形C直角三角形
17、但不是等腰三角形D等腰三角形但不是直角三角形【解答】解：设P（m22p，m），过点P的切线方程为：myp（x+m22p）， 点Q（-P2，0）在myp（x+m22p）上，0（-p2+m22p）mpP（p2，p）故PFx轴，且QFPFp，则PFQ一定是等腰直角三角形，故选：B二填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x23-y2b2=1的两条渐近线与直线x=3围成正三角形，则双曲线的离心率为233【解答】解：双曲线x23-y2b2=1的两条渐近线与直线x=3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30和150，所以b3=33，所以b1，所以双曲
18、线的离心率为：e=ca=23=233故答案为：23314（3分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为2【解答】解：设za+bi，（a，bR）复数z满足z+2z=6+i，3abi6+i，可得：3a6，b1，解得a2，b1则z的实部为2故答案为：215（3分）对任意正实数x，y，f（xy）f（x）+f（y），f（9）4，则f(3)=1【解答】解：令xy3，则f（9）2f（3）4，f（3）2，令x=y=3，则f(3)=2f(3)=2，f(3)=1故答案为：116（3分）已知函数f（x）=x-1x，x0lnx+ex，x0，若g（x）f（x）kx有两个不等的零点，则实数k的取值范围为（，1）（e
19、，e+1e）【解答】函数g（x）f（x）kx有两个不等的零点，即方程f（x）kx有2个不等根，因为x0，所以也等价于f(x)x=k有2个不等实根，根据条件令h（x）=f(x)x=1-1x2，x0lnxx+e，x0，因为x0时，h（x）1-1x21，x0时，h（x）=1-lnxx2，当0xe时，h（x）单调递增，当xe时，h（x）单调递减，且当x+时，h（x）e，作出函数f（x）的图象如图：根据图象可知，k（，1）（e，e+1e），故答案为：（，1）（e，e+1e）三解答题（共5小题）17在数列an中，已知a11+3，且an+1an=2an+1+an-2，nN*（1）记bn（an1）2，nN*，
20、求证：数列bn是等差数列；（2）设bn的前n项和为Sn，求证：1S1+1S2+1S3+1Sn34【解答】证明：（1）an+1an=2an+1+an-2，an+12an22an+1+2an2，bn（an1）2，nN，bn+1bn（an+11）2（an1）2an+12an22an+1+2an2，a11+3，b1（a11）23，数列bn是以3为首项，2为公差的等差数列，（2）由（1）可得bn3+2（n1）2n+1，Sn=n(3+2n+1)2=n（n+2），1sn=12（1n-1n+2），1S1+1S2+1S3+1Sn=12（1-13）+（12-14）+（13-15）+（1n-1-1n+1）+（1n-
21、1n+2）=12（1+12-1n+1-1n+2）=34-12（1n+1+1n+2）3418在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=2，AC=3，BC=1，ACBCD是AB的中点（I）求证：PD平面ABC（）求点B到平面PAC的距离；（文科学生做）（）求异面直线PA与BC所成角的余弦值（理科学生做）【解答】证明：（）连CD，PD由AC=3，BC1，ACBC，得AB=2，CD=12AB=1又PA=PB=2，PDAB，PD=3，PC2PD2+CD2，PDCD，又AB平面ABC，CD平面ABC，ABCDD，PD平面ABC解：（2）（文科做）三棱锥PABC的体积V=13PD12ACBC=12，PAPC2，
22、AC=3，P到AC的距离为132，SPAC=394，设点B到平面PAC距离为d，则13dSPAC=V=12，解得点B到平面PAC距离d=23913（2）（理科做）延长CD至E使CDDE，则AE平行于BC，PAE或其补角为异面直线PA与BC所成的角，AEBC1由PD平面ABC得PDDE，PE2，cosPAE=PA2+AE2-PE22PEAE=14，异面直线PA与BC所成角的余弦值为14192019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图（）计算女性观众评分
23、的中位数与男性观众评分的平均分；（）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”（i）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；（ii）完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k）0.050.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（I）根据题意，设女性观众评分的中位数为x，100.01+100.02+（x70）0.040.5，x75，男性观众评分的平均数为550.15+650.25+750
24、.3+850.2+950.173.5；（II）（i）男性观众不满意的概率大，记A表示事件：“女性观众不满意”；B表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得P（A）的估计值为（0.01+0.02）100.3，P（B）的估计值为（0.015+0.025）100.4，所以男性观众不满意的概率大；（ii）列联表如下图：女性观众男性观众合计“满意”140180320“不满意”60120180合计200300500所以K2=500(140120-18060)22003003201805.2083.841，故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关20已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心
25、率为22，上顶点为B点P在E上，点D（0，2b），PBD的最大面积等于322（）求E的方程；（）若直线DP与E交于另一点Q，直线BP，BQ分别与x轴交于点M，N，试判断|OM|ON|是否为定值【解答】解法一：（）由题意，可得PBD的最大面积为123ba=322，即ab=21分又e=ca=222分a2b2+c23分联立，解得a=2，b1，故E的方程x22+y2=14分（）设直线DP的方程为ykx2，P（x1，y1），Q（x2，y2）5分联立方程组y=kx-2x22+y2=1消去y，得x2+2（kx2）22，6分整理，得（2k2+1）x28kx+60，7分由韦达定理，得x1+x2=8k2k2+1，
26、x1x2=62k2+1，8分又直线BP的方程为y=y1-1x1x+1，所以M(x11-y1，0)，9分直线BQ的方程为y=y2-1x2x+1，所以N(x21-y2，0)，10分所以|OM|ON|=|x1y1-1x2y2-1|11分=|x1x2(kx1-3)(kx2-3)|=|x1x2k2x1x2-3k(x1+x2)+9|=|66k2-24k2+9(2k2+1)|=23，即|OM|ON|为定值2312分（直接写出“|OM|ON|为定值23”给1分）解法二：（）同解法一；4分（）设直线DP的方程为ykx2，P（x1，y1），Q（x2，y2）5分联立方程组y=kx-2x22+y2=1消去y，得x2+
27、2（kx2）22，6分整理，得（2k2+1）x28kx+60，7分由韦达定理，得x1+x2=8k2k2+1，x1x2=62k2+1，8分所以kBPkBQ=y1-1x1y2-1x29分=(kx1-3)(kx2-3)x1x2=k2x1x2-3k(x1+x2)+9x1x2=6k2-24k2+9(2k2+1)6=32，10分又kBPkBQ=kBMkBN=|OB|OM|OB|ON|=32，故|OM|ON|=23，即|OM|ON|为定值2312分（直接写出“|OM|ON|为定值23”给1分）21已知函数f(x)=a+lnxx（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数f（x）与函数g（x）lnx图
28、象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（3）证明：当a（0，12）时，函数h（x）f（x）ax有两个零点x1，x2，且满足1x1+1x21a【解答】解：（1）对f(x)=a+lnxx求导，得f(x)=1-a-lnxx2，令f（x）0，解得xe1a，当x（0，e1a）时，f（x）0，f（x）单调递增当x（e1a，+）时，f（x）0，f（x）单调递减（2）设公切线l与函数g（x）lnx的切点为（x0，y0），则公切线l的斜率kg（x0）=1x0，公切线l的方程为：y-y0=1x0(x-x0)，将原点坐标（0，0）代入，得y01，解得x0e公切线l的方程为：y=1ex，将它与f(x)=a+
29、lnxx联立，整理得a=1ex2-lnx令m(x)=1ex2-lnx，对之求导得：m(x)=2x2-eex，令m（x）0，解得e2当x(0，e2)时，m（x）0，m（x）单调递减，值域为(ln22，+)，当x(e2，+)时，m（x）0，m（x）单调递增，值域为(ln22，+)，由于直线l与函数f（x）相切，即只有一个公共点，因此故实数a的取值集合为ln22（3）证明：h(x)=a+lnx-ax2x，要证h（x）有两个零点，只要证k（x）ax2lnxa有两个零点即可k（1）0，即x1时函数k（x）的一个零点对k（x）求导得：k(x)=2ax-1x，令k（x）0，解得 x=12a当x12a时，k（
30、x）0，k（x）单调递增；当0x12a时，k（x）0，k（x）单调递减当x=12a时，k（x）取最小值，k(12a)k(1)=0，k（x）ax2lnxaax2（x1）aax2x+1aax2x+12，必定存x012a在使得二次函数u(x)=ax02-x0+120，即k（x0）u（x0）0因此在区间上(12a，x0)必定存在k（x）的一个零点综上所述，h（x）有两个零点，一个是x1，另一个在区间(12a，+)上下面证明1x1+1x21a由上面步骤知h（x）有两个零点，一个是x1，另一个在区间(12a，+)上不妨设x11，x212a则1x1+1x2=1+1x21+2a，下面证明1+2a1a即可令v(
31、a)=1a-2a-1，对之求导得v(a)=-1a2-12a0，故v（a）在定义域内单调递减，v(a)=1a-2a-1v(12)=0，即1+2a1a证明完毕四解答题（共2小题）22在直角坐标系xOy中，参数方程x=cosy=sin（其中为参数）的曲线经过伸缩变换：x=2xy=y得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为sin(+4)=3102（）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值【解答】解：（）参数方程x=cosy=sin（其中为参数）的曲线经过伸缩变换：x=2xy=y得到曲线C：x24+y2
32、=1；曲线D的极坐标方程为sin(+4)=3102转化为直角坐标方程为：x+y-35=0；（）设点P（2cos，sin）到直线x+y35=0的距离d=|2cos+sin-35|2=|5sin(+)-35|2，当sin（+）1时，dmin=1023设f（x）|x|+2|xa|，（a0）（1）当a1时，解不等式f（x）4；（2）若f（x）4，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，不等式f（x）4可化为：|x|+2|x1|4，当x0时，原不等式可化为：23x4，解得：x-23，-23x0，当0x1时，原不等式可化为：2x4，解得：x2，0x1，当x1时，原不等式可化为：3x24，解得：x2，0x2，综上所述不等式f（x）8的解集为-23，2（2）f（x）|x|+2|xa|=2a-3x，x02a-x，0xa-2a+3x，xa则f（x）在（，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，当xa时，f（x）取最小值a，若f（x）4，则a4
