1、2021年新高考数学模拟试卷（24）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z（1+i）1i，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）2（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x33（5分）随机变量N（，2），若P（1）0.3，P（15）0.4，则（）A1B2C3D44（5分）已知a=21.2，b=30.6，c=ln83，则（）AbacBabcCbcaDacb5（5分）若f（x）xexa有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（1e，+）B（0，1
2、e）C（-1e，+）D（-1e，0）6（5分）已知四棱锥PABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（）A30B45C60D907（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0），过左焦点作圆x2+y2a2的切线（切点在第二象限），若该切点为左焦点和切线与渐近线y=bax交点的中点，则双曲线的离心率是（）A2B3C2D58（5分）2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、
3、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A13B512C712D23二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）AOA+OC+OB=0B(OA-AF)(EF-DC)=0C(OAAF)BC=OA(AFBC)D|OF+OD|=|FA+OD-CB|10（5分）已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-cos2x，xR，则（）A2f（x）2Bf（x） 在区间（0，）上只有1个零点Cf（x） 的最小正周期为Dx=3为f（x）图象的一条对称轴11（5分）已知数列an的前
4、n项和为Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列2nanan+1的前n项和为Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an+1是等差数列B数列an+1是等比数列C数列an的通项公式为an=2n-1DTn112（5分）已知函数f（x）2sin（2x-3）+1，则下列说法正确的是（）Af（6-x）2f（x）Bf（x-6）的图象关于x=12对称C若0x1x22，则f（x1）f（x2）D若x1，x2，x33，2，则f（x1）+f（x2）f（x3）三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知P（a，b）在直线x+y30上运动，当点P位于第一象限时，则aba+4b的最大值为 14（5分
5、）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（0）1，则f（2） 15（5分）若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n ，常数项为 16（5分）已知圆C：（xa）2+（y2）24，直线l：x+ay10与圆C交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an为等差数列，Sn为an的前n项和，a3+a518，S3+S550数列bn为等比数列，且b1a1，3b2a1a4（1）求an和bn的通项公式；（2）求数列1S2n-1+bn的前n项和Tn18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b
6、cosC+c2a（1）求角B的大小；（2）若a5，b7，求c的长19（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB4，AD2，ABC=3，E为CD中点将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到如图所示的四棱锥PABCE（1）求证：平面PAE平面PBE；（2）求直线PB与平面PCE所成角的正弦值20（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格 （元）456789产品销量 （件）898382797467已知变量x，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计
7、算求得回归直线方程分别为：甲y=4x+53；乙y=-4x+105；丙y=-4.6x+104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望21（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值22（12分）已知函数f(x)=exx-a(x-lnx)(aR)（1）若f（x）在（1，f（1）处的切线为x轴，求证
8、f（x）0；（2）若f（x）0，求a的取值范围，2021年新高考数学模拟试卷（24）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z（1+i）1i，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）【解答】解：由z（1+i）1i，得z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i，z=i复数z的共轭复数在复平面上对应的点为（0，1），故选：D2（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x3【解答】解：集合A=x|3x1=x|0x3，Bx|
9、x0，ABx|0x3故选：A3（5分）随机变量N（，2），若P（1）0.3，P（15）0.4，则（）A1B2C3D4【解答】解：随机变量N（，2），由P（1）0.3，P（15）0.4，得P（5）0.3，由正态分布的对称性得=1+52=3故选：C4（5分）已知a=21.2，b=30.6，c=ln83，则（）AbacBabcCbcaDacb【解答】解：由题意得：a21.2（2，4），b30.6(3，3)，c=ln83lne130.6=31.221，2，abc，故选：B5（5分）若f（x）xexa有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（1e，+）B（0，1e）C（-1e，+）D（-1e，0）【解答】
10、解：若f（x）xexa有两个零点，等价为f（x）xexa0，即axex有两个根，设h（x）xex，则函数h（x）xex的导函数h（x）（x+1）ex，令h（x）0，则x1当x（，1）时，h（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，h（x）0，函数f（x）单调递增；故当x1时，函数取最小值h（1）e1，当x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，若axex有两个根，则-1ea0，故选：D6（5分）已知四棱锥PABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（）A30B45C60D90【解答】解：连接AC，BD，设ACBDO，
11、则EF平面PAC，平面PAC平面ABCDAC，由EF底面ABCD，可得EFAC，由四边形ABCD为菱形，可得ACBD，由O为AC的中点，PAPC，可得POAC，又BDOPO，可得AC平面PBD，则ACPB，又EFAC，可得EFPB，即异面直线EF与PB所成角的大小为90故选：D7（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0），过左焦点作圆x2+y2a2的切线（切点在第二象限），若该切点为左焦点和切线与渐近线y=bax交点的中点，则双曲线的离心率是（）A2B3C2D5【解答】解：设双曲线的右焦点为F，连接FP因为O是线段FF的中点，M为线段FP 的中点，所以FPOM且|FP|2|OM
12、|2a因为直线FP与圆x2+y2a2相切于点M，所以OMFP，从而FPFP，所以点P是以FF为直径的圆与直线y=bax的交点由y=baxx2+y2=c2得x=ay=b，所以P（a，b）又F（c，0），|FP|2a，所以（ca）2+b24a2根据b2c2a2，可得c2a故双曲线的离心率e=ca=2故选：C8（5分）2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A1
13、3B512C712D23【解答】解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P1（1-13）（1-14）（1-16）=712故选：C二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）AOA+OC+OB=0B(OA-AF)(EF-DC)=0C(OAAF)BC=OA(AFBC)D|OF+OD|=|FA+OD-CB|【解答】解：对于A，OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB，故选项A错误；对于B，(OA-AF)(EF-DC)=(OA-OE)(EF-EO)=EA
14、OF=0，故选项B正确；对于C，由平面向量公式可知，(OAAF)BC=OA(AFBC)，故选项C正确；对于D，|OF+OD|=|OF+FE|=|OE|，|FA+OD-CB|=|FA-OA+OD|=|FO+OD|=|FD|，显然|OE|FD|，故选项D错误故选：BC10（5分）已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-cos2x，xR，则（）A2f（x）2Bf（x） 在区间（0，）上只有1个零点Cf（x） 的最小正周期为Dx=3为f（x）图象的一条对称轴【解答】解：已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-cos2x=3sin2xcos2x2sin（2x-6），xR，则A、2
15、f（x）2正确，B、当2x-6=k，kZ，即x=k2+12，kZ，f（x） 在区间（0，）上只有2个零点，则f（x） 在区间（0，）上只有1个零点错误，C、f（x） 的最小正周期为，正确D、当x=3时，函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-cos2x=3sin2xcos2x2sin（2x-6）2，xR，所以x=3为为f（x）图象的一条对称轴，正确故选：ACD11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列2nanan+1的前n项和为Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an+1是等差数列B数列an+1是等比数列C数列an的通项公式为an=2n-1D
16、Tn1【解答】解：由Sn+1Sn+2an+1即为an+1Sn+1Sn2an+1，可化为an+1+12（an+1），由S1a11，可得数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，则an+12n，即an2n1，又2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，可得Tn1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-11，故A错误，B，C，D正确故选：BCD12（5分）已知函数f（x）2sin（2x-3）+1，则下列说法正确的是（）Af（6-x）2f（x）Bf（x-6）的图象关于x=12对称C若0x1x22，则f（x1）f（x2）D
17、若x1，x2，x33，2，则f（x1）+f（x2）f（x3）【解答】解：A当x0时，f（6-x）f（6）2sin26-3+12sin0+11，2f（0）22sin（-3）11+3，此时f（6-x）2f（x）不成立，故A错误，Bf（x-6）2sin2（x-6）-3+12sin（2x-23）+1，由2x-23=k+2得x=712+k2，kZ，当k1时，x=712-2=12，即函数关于x=12对称，故B正确，C当0x2时，02x，-32x-323，此时函数f（x）不是增函数，故C错误，D.3x2时，232x，32x-323，则当2x-3=3或23时，函数f（x）取得最小值为2sin3+1=3+1，当
18、当2x-3=2时，函数f（x）取得最大值为2sin2+12+13，则两个最小值之和为3+1+3+123+23，故D正确，故选：BD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知P（a，b）在直线x+y30上运动，当点P位于第一象限时，则aba+4b的最大值为13【解答】解：由题意可得，a+b3，（a0，b0），则aba+4b=11b+4a=3(1b+4a)(a+b)=35+ab+4ba35+4=13当且仅当ab=4ba且a+b3即b1，a2时取等号，此时取得最大值13故答案为：1314（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（0）1，则f（2）1【解答】解：
19、根据题意，函数f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）f（2x），又由f（0）1，则f（2）f（0）1；故答案为：115（5分）若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n5，常数项为405【解答】解：(3x+1x2)n中，令x1得到展开式的各项系数和为4n1024解得n5，其通项公式为：Tr+1=5r（3x）5r（1x2）r35r5rx5-5r2；令5-5r2=0r1；其常数项为：3451=405故答案为：5，40516（5分）已知圆C：（xa）2+（y2）24，直线l：x+ay10与圆C交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a1或
20、-17【解答】解：由题意得C（a，2），圆C的半径为2，因为ABC为等腰直角三角形，所以圆心C到直线l的距离d=|a+2a-1|1+a2=2，解得a1或a=-17故答案为：1或-17四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an为等差数列，Sn为an的前n项和，a3+a518，S3+S550数列bn为等比数列，且b1a1，3b2a1a4（1）求an和bn的通项公式；（2）求数列1S2n-1+bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则由a3+a518，S3+S550，得2a1+6d=188a1+13d=50，解得a1=3d=2an2n+1设等比数列bn的公比q，
21、又a13，a49，b13，b29，则q3故bn=3n（2）由（1）可知S2n-1=4n2-1，则1S2n-1+bn=1(2n-1)(2n+1)+3n=12(12n-1-12n+1)+3n数列1S2n-1的前n项和为12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)，数列bn的前n项和为3(1-3n)1-3=3n+1-32，故Tn=3n+12-14n+2-118（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC+c2a（1）求角B的大小；（2）若a5，b7，求c的长【解答】解：（1）ABC中，2bcosC+c2a，由正弦定理得，2sinBcosC
22、+sinC2sinA，即2sinBcosC+sinC2sin（B+C）2sinBcosC+2cosBsinC；所以sinC2cosBsinC；又C（0，），所以sinC0，所以cosB=12；又B（0，），所以B=3；（2）若a5，b7，由余弦定理得，b2c2+a22cacosB，即49c2+252c5cos3，化简得c25c240，解得c8或c3（不合题意，舍去），所以c的长为819（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB4，AD2，ABC=3，E为CD中点将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到如图所示的四棱锥PABCE（1）求证：平面PAE平面PBE；（2）求直线PB与平面P
23、CE所成角的正弦值【解答】（1）证明：在BCE中，BE222+22222cos12012，可得BE23在ADE中，ADDE，ADE60，ADE为等边三角形在ABE中，cosAEB=22+(23)2-422223=0，AEB90BEAE，又平面ADE平面ABCE，BE平面PAE又BE平面PBE平面PAE平面PBE（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系E（0，0，0），P（1，0，3），B（0，23，0），C（1，3，0），PC=（2，3，-3），EB=（0，23，0），EP=（1，0，3），设平面PBE的法向量为n=（x，y，z），则nEB=nEP=0，则23y0x+3z，取n=（3，0，1），
24、直线PB与平面PCE所成角的正弦值=|nPC|n|PC|=3102=302020（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格 （元）456789产品销量 （件）898382797467已知变量x，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y=4x+53；乙y=-4x+105；丙y=-4.6x+104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，
25、则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望【解答】解析：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不正确，x=6.5，y=79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，丙不正确，故回归方程为：y=-4x+105；（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：x456789y898382797467y 898581777369故“理想数据”的个数X的取值为：X0，1，2，3，P(X=0)=C30C33C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=1)=C33C30C63=120，
26、于是“理想数据”的个数X的分布列X0123P120 920 920 120 E(X)=0120+1920+2920+3120=3221（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）由题意，1a2+1b2=1ca=22a2=b2+c2，解得a2=3，b2=32椭圆的方程为x23+2y23=1；（2）菱形ABCD内接于椭圆，由对称性可设直线AC：yk1x，直线BD：yk2x联立x2+2y2=3y=k1x，得方程（2k12+1）x230，xA2=xC2=32k12+1，
27、|OA|OC|=1+k1232k12+1同理，|OB|OD|=1+k2232k22+1又ACBD，|OB|OD|=1+1k1232k12+1，其中k10从而菱形ABCD的面积S为：S2|OA|OB|21+k1232k12+11+1k1232k12+1，整理得S612+1(k1+1k1)24，其中k10当且仅当1k1=k1时取“”，当k11或k11时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为422（12分）已知函数f(x)=exx-a(x-lnx)(aR)（1）若f（x）在（1，f（1）处的切线为x轴，求证f（x）0；（2）若f（x）0，求a的取值范围，【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为(0，+
28、)，f(1)=e-a，f(x)=(x-1)(ex-ax)x2，所以 f（1）0所以f（x）在（1，f（1）处的切线方程为yea，x轴方程为y0所以ae，此时f(x)=(x-1)(ex-ex)x2，令g（x）exex则g（x）exe，因为g（x）在（0，+）上单调递增且g（1）0所以当x1时g（x）0；当x1时g（x）0；所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增所以g（x）g（1）0，即exex0仅当x1时取等号所以当0x1时f（x）0；当x1时，f（x）0；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增f（x）f（1）0（2）解法一：由（1）知exex，所以当x0
29、时，lnexln（ex），得xlnx10当ae时.f(x)=exx-a(x-lnx)exx-e(x-lnx)令h(x)=exx-e(x-lnx)由（1）知：h（x）h（1）0所以f（x）0满足题意当ae时，f（1）ea0，不满足题意，所以a的取值范围是（，e解法二：由（1）知exex所以当x0时lnexln（ex）得xlnx10由f(x)=exx-a(x-lnx)0，得aexx(x-lnx)问题转化为a(exx(x-lnx)min令h(x)=exx(x-lnx)，则h(x)=ex(x-1)(x-1-lnx)x2(x-lnx)2因为ex0，x1lnx0（仅当x1时取等号），x2（xlnx）20所以当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0；所以h（x）的单调递减区间是（0，1）单调递增区间是（1，+），所以h（x）minh（1）e所以a的取值范围是（，e
