1、2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（3）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）集合，则A，B，C，D2（5分）若，则为ABCD3（5分）已知数列满足，则A4B8C16D324（5分）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，623
2、3，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为ABCD5（5分）设有穷数列的前项和为，令，称为数列，的“凯森和”已知数列1，2，4，的“凯森和”为6，则A6B5C4D36（5分）设，则，的大小关系是ABCD7（5分）设是双曲线的左焦点过点作轴的垂线交双曲线于，两点，点为双曲线的右顶点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为ABCD8（5分）已知，则ABCD9（5分）函数在区间，上的图象大致为ABCD10（5分）已知函数在上单调递增，现有如下三个结论：的最小值为；当取得最大值时，将函数的图象向左平移个单位后
3、，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则；函数在，上有6个零点则上述结论正确的个数为A0B1C2D311（5分）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为AB，CD12（5分）在三棱锥中，是边长为1的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为ABCD二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量，满足，若与的夹角为，则14（5分）曲线在点处的切线方程为，函数的极小值为15（5分），为抛物线上两点，直线，的斜率分别为，若，则直线与轴交点的横坐标为16（5分）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是 写出
4、所以正确结论的序号）；平面平面；平面；直线与直线所成的角为三解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知函数（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围18（12分）已知为等差数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和19（12分）已知中，内角，的对边分别为，（1）求；（2）若点与点在两侧，且满足，求四边形面积的最大值20（12分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，底面，是的中点（1）求证：；（2）若三棱锥的体积为1，求二面角的正弦值21（12分）已知椭圆的离心率为，且焦
5、距为8（1）求的方程；（2）设直线的倾斜角为，且与交于，两点，点为坐标原点，求面积的最大值22（12分）已知函数（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若，求的取值范围2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）集合，则A，B，C，D【解答】解：集合，故选：2（5分）若，则为ABCD【解答】解：因为，所以为故选：3（5分）已知数列满足，则A4B8C16D32【解答】解：数列满足，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故选：4（5分）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的
6、概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为ABCD【解答】解：根据题意，射击20次，命中3次的有7次，故即该运动员射击4次恰好命中3次的概率为故选：5（5分）设有穷数列的前项和为，令，称
7、为数列，的“凯森和”已知数列1，2，4，的“凯森和”为6，则A6B5C4D3【解答】解：由已知可得，故选：6（5分）设，则，的大小关系是ABCD【解答】解：，故选：7（5分）设是双曲线的左焦点过点作轴的垂线交双曲线于，两点，点为双曲线的右顶点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：是双曲线的左焦点，由题意可知通径长为：，为正三角形，所以，即，可得，解得双曲线的离心率为：故选：8（5分）已知，则ABCD【解答】解：；故选：9（5分）函数在区间，上的图象大致为ABCD【解答】解：根据题意，有，即函数为偶函数，排除，又由，排除，故选：10（5分）已知函数在上单调递增，现有如下三个结论
8、：的最小值为；当取得最大值时，将函数的图象向左平移个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则；函数在，上有6个零点则上述结论正确的个数为A0B1C2D3【解答】解：对于：依题意，故，则，故，解得，故错误；对于：当取得最大值时，将函数的图象向左平移个单位后，得到，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到，则，故正确；对于：在同一直角坐标系中分别作出以及的图象如下所示，观察可知，它们在，上有个6个零点，故正确；故选：11（5分）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为AB，CD【解答】解：，或，时，时，递减，时，递增，故的极小值是，又
9、，故无解，此时要有2个解，则，又是奇函数，故时，仍然无解，要有2个解，则，综上：的取值范围是，故选：12（5分）在三棱锥中，是边长为1的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为ABCD【解答】解：由勾股定理可得和是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边，所以的中点即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积为故选：二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量，满足，若与的夹角为，则4【解答】解：向量，满足，若与的夹角为，故答案为：414（5分）曲线在点处的切线方程为，函数的极小值为【解答】解：，函数的定义域是，故切线方程是：，即；令，解得：，令，解得：且，故函数在
10、，递减，在递增，故函数的极小值是3，故答案为：，315（5分），为抛物线上两点，直线，的斜率分别为，若，则直线与轴交点的横坐标为【解答】解：设与轴的交点为，直线的方程为：，直线与抛物线联立，消去可得，设，可得，而，所以，可得，直线与轴交点的横坐标为：故答案为：16（5分）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是 写出所以正确结论的序号）；平面平面；平面；直线与直线所成的角为【解答】解：在中，与在平面的射影不垂直，不成立；在中，平面平面，平面平面也不成立，即不成立；在中，平面，平面，平面，直线平面也不成立，故不成立；在中，在中，故正确故答案为：三解答题（共6小题，满分70分）1
11、7（10分）已知函数（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围【解答】解：（1）当时，由，得，解得或函数的定义域为，；（2），设，有两个不同实数根，整理得，同时，；（3）当时，在，上单调递减，此时需要满足，即，函数在，上递减；当时，在，上递减，即当时，函数在上递减综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减18（12分）已知为等差数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）由，得，故（2），两式相减可得，故19（12分）已知中，内角，的对边分别为，（1）求；（
12、2）若点与点在两侧，且满足，求四边形面积的最大值【解答】解：（1）由以及正弦定理可知，即，可得，可得（2）设，由余弦定理，可得，可得四边形的面积，（其中，故四边形面积的最大值为20（12分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，底面，是的中点（1）求证：；（2）若三棱锥的体积为1，求二面角的正弦值【解答】（1）证明：平面，平面，因为直角梯形中，所以，所以，所以，又，所以平面又因为平面，所以（2）解：以为坐标原点，为，轴的正方向建系如图，易知，0，0，2，设，0，则，0，易知的面积为，由三棱锥，即三棱锥的体积为1，得，故即，0，0，由（1）知，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，0，则，即，
13、解得取，则，故，设二面角大小为，则，于是21（12分）已知椭圆的离心率为，且焦距为8（1）求的方程；（2）设直线的倾斜角为，且与交于，两点，点为坐标原点，求面积的最大值【解答】解：（1）依题意可知，解得，故的方程为（2）依题意可设直线的方程为，联立，整理得，则，解得设，则，原点到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为22（12分）已知函数（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若，求的取值范围【解答】解：（1），所以，当时，在上恒成立，所以在上单调递减，此时函数不可能有两个零点，舍去，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若使函数有2个零点，则，所以，即，所以，所以（2）因为，所以，若，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以（2），所以，综上，若，则，则不恒成立，综上，
