1、2019年四川省南充高中自主招生数学试卷一、填空题（每小题8分，共112分）1（8分）已知x满足x22x1，那么x2+2x 2（8分）若|m+2|+（n1）20，则m+2n值为 3（8分）抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac 4（8分）已知an（1）n+1，当n1时，a10，当n2时，a22，当n3时，a30，则a1+a2+a3+a 5（8分）已知sincos，则锐角的取值范围是 6（8分）直角三角形ABC中，C90且tanB2tanA1，则B 7（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三
2、角形，如此继续下去，结果如下表则an （用含n的代数式表示） 所剪次数1234n正三角形个数471013an8（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y3m，则m 9（8分）设x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m20的两个实数根，当m 时，x12+x22有最小值，最小值是 10（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是 11（8分）对于正数x，规定f（x），计算f（）+f（）+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+f（2007）+f（2008） 12（8分）在RtABC中，C90，AC3，BC4若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边A
3、B只有一个公共点，则r的取值范围是 13（8分）若ab1，则的值为 14（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C已知BCDC3，OD2，AB6，则圆的半径为 二、选择题（每小题6分，共24分）15（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A4圈B3圈C5圈D3.5圈16（6分）如果方程（x1）（x22x+m）0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A0m1BmCm1Dm117（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A2
4、B1Ck2且k一2D无法确定18（6分）如图，AB、AC与O相切于B、C，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（）A65B115C65和115D130和50三、解答题（共64分）19（10分）先化简，再求值：，其中a1+，b120（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角，已知EGa，FHb，四边形EFGH的面积为S（1）求证：sin；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积21（12分）抛物线的解析式yax2+bx+c满足如下四个条件：abc0；a+b+c3；ab+bc+ca4；abc（1）求这条抛
5、物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为CP是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD1.5时，试比较SAOD与SDPC的大小22（14分）如图ABC中，C90，AC6，BC3，点D在AC边上，以D为圆心的D与AB切于点E（1）求证：ADEABC；（2）设D与BC交于点F，当CF2时，求CD的长；（3）设CDa，试给出一个a值使D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求23（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线yx+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求m的值及这
6、个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、填空题（每小题8分，共112分）1（8分）已知x满足x22x1，那么x2+2x2【分析】设x2+2xy，则原方程可化为y240，解得y12，y22，解方程可解答【解答】解：x22x1，设x2+2xy，则原方程
7、可化为y1，3y（y1）y1，y24，解得y12，y22，经检验，y2是方程y1的解，当y12时，x2+2x2，解得x1，经检验，x1是原方程的解；当y22时，x2+2x2，此方程无实数解；x2+2x2，故答案为：22（8分）若|m+2|+（n1）20，则m+2n值为0【分析】根据非负数的性质列式计算求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解：根据题意得，m+20，n10，解得m2，n1，所以，m+2n2+210故答案为：03（8分）抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac1【分析】根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为（x
8、1，0），（x2，0），根据ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C点的坐标，由射影定理即可求出ac的值【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1x20，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2|AO|BO|，即c2|x1|x2|，故|ac|1，ac1，由于0，所以ac1故答案为：14（8分）已知an（1）n+1，当n1时，a10，当n2时，a22，当n3时，a30，则a1+a2+a3+a2008【分析】由已知可得a1+a22，a3+a42，a2n1+a2n2，则有a1+a
9、2+a3+a1004（a1+a2），代入即可求解【解答】解：由已知可得a1+a22，a3+a42，a2n1+a2n2，a1+a2+a3+a1004（a1+a2）2008，故答案为20085（8分）已知sincos，则锐角的取值范围是045【分析】根据正弦函数值随锐角的增大而增大，可得答案【解答】解：由sincos，得045，故答案为：0456（8分）直角三角形ABC中，C90且tanB2tanA1，则B45【分析】根据正切的定义得到tanB，tanA，根据题意列出方程，解方程得到ab，根据等腰直角三角形的概念解答【解答】解：在直角三角形ABC中，C90，则tanB，tanA，21，整理得，2a
10、2abb20，（2a+b）（ab）0，解得，ab，B45，故答案为：457（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表则an3n+1（用含n的代数式表示） 所剪次数1234n正三角形个数471013an【分析】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形即剪n次时，共有4+3（n1）3n+1【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n1）3n+18（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y3m，则m【分析】先求出二元一次方程组的解为，再由x+ym得到m3m，即可求出m的值【解答】解：二元一次方程组的解为，
11、x+y3m，m3m，m，故答案为9（8分）设x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m20的两个实数根，当m时，x12+x22有最小值，最小值是【分析】由根与系数的关系知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手【解答】解：x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m20的两个实根，（4m）242（2m2+3m2）0，可得m，又x1+x22m，x1x2，x12+x222（m）2+2（m）2+，m，m0，当m时，x12+x22取得最小值为2（）2+故答案为，10（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概
12、率是【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两种品牌的彩电都齐全的情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两种品牌的彩电都齐全的12种，则两种品牌的彩电都齐全的概率是；故答案为：11（8分）对于正数x，规定f（x），计算f（）+f（）+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+f（2007）+f（2008）2007.5【分析】根据题意得到f（x）+f（）1，原式结合后相加即可求出值【解答】解：根据题意得：f（x）+f（）+1，f（1）0.5，则原式f（）+f（2008）+f（）+f（2007）+f（）+f（2）+f（1）2007.5，故答
13、案为：2007.512（8分）在RtABC中，C90，AC3，BC4若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是3r4或r2.4【分析】此题注意两种情况：（1）圆与AB相切时；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解【解答】解：如图，BCAC，以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点根据勾股定理求得AB5分两种情况：（1）圆与AB相切时，即rCD3452.4；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时ACrBC，即3r43r4或r2.413（8分）若ab1，则的值
14、为1【分析】对所求的代数式利用分式加减法则化简整理得原式，然后将ab1代入即可求出代数式的值【解答】解：原式，将ab1代入得，原式1填空答案为：114（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C已知BCDC3，OD2，AB6，则圆的半径为【分析】利用切割线定理求出BF，然后求出OE，利用勾股定理求出圆的半径OC即可【解答】解：连结BC并延长，交圆于F，过O作OEBF，BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：AB2BCBF，BCDC3，AB6，BF12，CF9，DE，OD2，OE，CE，OC故答案为：二、选择题（每小题6分，共24分）15（6分）如图，一个等边三角形的边
15、长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A4圈B3圈C5圈D3.5圈【分析】根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120的弧长4C选择【解答】解：如图，设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120的弧长4C，则这个圆共转了4CC4圈故选：A16（6分）如果方程（x1）（x22x+m）0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A0m1BmCm1Dm1【分析】方程（x1）（x22x+m）0的三根是一个三角形三边的长，则
16、方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x22x+m0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边则方程x22x+m0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2x3|1x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围【解答】解：方程（x1）（x22x+m）0有三根，x11，x22x+m0有根，方程x22x+m0的44m0，得m1又原方程有三根，且为三角形的三边和长有x2+x3x11，|x2x3|x11，而x2+x321已成立；当|x2x3|1时，两边平方得：（x2+x3）24x2x31即：44m1解得mm1故选：D17（6分）解关于x的
17、方程不会产生增根，则k的值是（）A2B1Ck2且k一2D无法确定【分析】先将分式方程化为整式方程，解得xk，根据题意可得x1，从而求出k的值【解答】解：去分母得，x（x+1）kx（x1），解得xk，方程不会产生增根，x1，k1，即k2故选：C18（6分）如图，AB、AC与O相切于B、C，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（）A65B115C65和115D130和50【分析】连接OC，OB，当点P在优弧BC上时，由圆周角定理可求得P65，当点P在劣弧BC上时，由圆内接四边形的对角互补可求得BPC115故本题有两种情况两个答案【解答】解：连接OC，OB，则ACOABO90，BO
18、C360909050130，应分为两种情况：当点P在优弧BC上时，PBOC65；当点P在劣弧BC上时，BPC18065115；故选：C三、解答题（共64分）19（10分）先化简，再求值：，其中a1+，b1【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分【解答】解：原式当，时，原式20（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角，已知EGa，FHb，四边
19、形EFGH的面积为S（1）求证：sin；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积【分析】（1）设EG于FH相交于点O，过E作EMFH于M，过G点作GNFH于N，则SSEFH+SFHG，得出SEMFH+GNFHabsin，即可得出结论；（2）过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQy，QRz，由勾股定理得y，z，由矩形的性质得出SAEHSTHE，SEBFSFPE，SCFGSQGF，SDGHSRHG，则S正方形ABCD+S矩形PQRT2S四边形EFGH，即x2+
20、yz2S，代入即可得出结果【解答】（1）证明：设EG于FH相交于点O，过E作EMFH于M，过G点作GNFH于N，如图1所示：则SSEFH+SFHG，SEMFH+GNFHEOsinFH+OGsinFH（EO+OG）sinFHEGFHsinabsin，sin；（2）解：过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，如图2所示：则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQy，QRz，由勾股定理得：y，z，由矩形的性质得：SAEHSTHE，SEBFSFPE，SCFGSQGF，SDGHSRHG，S正方形ABCD+S矩形PQ
21、RT2S四边形EFGH，x2+yz2S，即x2+2S，解得：x2，正方形ABCD的面积用a、b、S表示为：21（12分）抛物线的解析式yax2+bx+c满足如下四个条件：abc0；a+b+c3；ab+bc+ca4；abc（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为CP是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD1.5时，试比较SAOD与SDPC的大小【分析】（1）因为a不等于0故分别令c0以及b0时求出a，c的值（2）令y0求出A，B两点的坐标做PGx轴于G，利用线段比求出m值，然后可求出各有关线段的值最后求解【解答】解：（1）
22、a0，abc0，bc01当b0时由，得，解得或，abc，（不合意，舍去）a1，b0，c4（2分）2当c0时由，得，解之得或abc，和都不合题意，舍去（3分）所求的抛物线解析式为yx2+4（4分）（2）在yx2+4中，当y0时，x2A、B两点的坐标分别为（2，0），（2，0），过P作PGx轴于G，设P（m，n）点P在抛物线上且在第一象限内，m0，n0，nm2+4PGm2+4，OA2，AGm+2（5分）ODPG，OD1.5，即解得（不合题意，舍去），OG（7分）当x0时，y4，点C的坐标为（0，4）DCOCOD41.52.5 SPDCCDOGSAODAOOD1.52SPDCSAOD（8分）22（1
23、4分）如图ABC中，C90，AC6，BC3，点D在AC边上，以D为圆心的D与AB切于点E（1）求证：ADEABC；（2）设D与BC交于点F，当CF2时，求CD的长；（3）设CDa，试给出一个a值使D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求【分析】（1）因为点E为切点，则得到AED90，已知有一组公共角，则根据有两组角相等的两个三角形相似可推出ADEABC；（2）连接DF，则DEDF，设CDx，则AD6x，根据相似三角形的对应边成比例可得到DE的长，再利用勾股定理求得DF的长，则解方程即可得到CD的长；（3）取a3，（可取a6的任意一个数），则AD3，根据DEAD即可得到DEDC从而得到D与
24、BC没有公共点【解答】（1）证明：点E是切点AED90AA，ACB90ADEABC；（2）解：连接DF，则DEDF设CDx，则AD6xADEABCDE在RTDCF中DF2x2+CF2x2+4x2+4x2+3x40x1，x4（舍去）CD1（当CD1时，0x6，所以点D在AC上）；（3）解：取a3，（可取a6的任意一个数）则ADACCD3，DEAD，DEDC，即dr，则D与BC相离，当a3时，D与BC没有公共点23（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线yx+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2
25、）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）因为直线yx+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知
26、x的取值范围是0x3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在【解答】解：（1）点A（3，4）在直线yx+m上，43+mm1设所求二次函数的关系式为ya（x1）2点A（3，4）在二次函数ya（x1）2的图象上，4a（31）2，a1所求二次函数的关系式为y（x1）2即yx22x+1（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yEPEhyPyE（x+1）（x22x+1）x2+3x即hx2+3x（0x3）（3）存在解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PEDC点D在直线yx+1上，点D的坐标为（1，2），x2+3x2即x23x+20解之，得x12，x21（不合题意，舍去）当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BPCE设直线CE的函数关系式为yx+b直线CE经过点C（1，0），01+b，b1直线CE的函数关系式为yx1得x23x+20解之，得x12，x21（不合题意，舍去）当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形
