1、2020年新高考数学第十四次模拟试卷一、选择题1若集合Mx|x1，NxZ|0x4，则（RM）N（）A0B0，1C0，1，2D2，3，42已知a，bR，ai，则a+bi的共轭复数为（）A2iB2+iC2iD2+i3函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）f（1x），若f（1）9，则f（2019）（）A9B9C3D04已知平面向量，满足，且（）（）4，则向量，的夹角为（）ABCD5已知an是等差数列，满足：对nN*，an+an+12n，则数列an的通项公式an（）AnBn1CnDn+6已知函数，则yf（x）的图象大致为（）ABCD7倾斜角为30的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、
2、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）AyxBCD8已知函数f（x），g（x）f（x）ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A1，01，+）B（，10，1C1，1D（，11，+）二、多项选择题（共4小题）9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）ABD平面CB1D1BAD平面CB1D1CAC1BDD异面直线AD与CB1所成的角为6010在数列an中，nN*，若k（k为常数），则称an为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）Ak不可能为0B等差数列一定是“等差比数列”C等比数列一定是“等差比数列”D“等差比数
3、列”中可以有无数项为011已知函数f（x）2sin（2x）+1，则下列说法正确的是（）Af（x）2f（x）Bf（x）的图象关于x对称C若0x1x2，则f（x1）f（x2）D若x1，x2，x3，则f（x1）+f（x2）f（x3）12已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为 A若PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）ABC或D或三、填空题（共4小题）13（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A 15“圆材埋壁”是我国古代
4、数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB1尺，D为AB的中点，ABCD，CD1寸，则圆柱底面的直径长是 寸”（注：l尺10寸）16设函数f（x）ax3+bx2+cx（a，b，cR，a0），若不等式xf（x）af（x）2对一切xR恒成立，则a ，的取值范围为 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA4，asinC5（1）求边长c；（2）著ABC的面积S20求ABC的周长18设数列an
5、满足（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn19在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC底面ABCD，ABC45，SAB是等边三角形（1）证明：SABC；（2）若BC，AB，求二面角DSAB的余弦值20某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司20112018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，注：（
6、）从该公司20112018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程中，21已知点P在抛物线C：x22py（p0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|2（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且ABHB，求|AF|BF|的值22已知函
7、数f（x）cosx+（a）x21，aR（1）当a时，求f（x）在0，上的最大值和最小值；（2）若xR，f（x）0恒成立，求a的取值范围参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合Mx|x1，NxZ|0x4，则（RM）N（）A0B0，1C0，1，2D2，3，4【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可解：N0，1，2，3，4，RMx|x1；（RM）N0，1故选：B2已知a，bR，ai，则a+bi的共轭复数为（）A2iB2+iC2iD2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b，则答案可
8、求解：ai，a2，b1a+bi的共轭复数为2i故选：A3函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）f（1x），若f（1）9，则f（2019）（）A9B9C3D0【分析】根据题意，由函数的奇偶性可f（x）f（x），将f（1+x）f（1x）变形可得f（x）f（2+x），综合分析可得f（x+2）f（x），则有f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）f（1+5054）f（1）f（1），即可得答案解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）f（x），又由f（1+x）f（1x），则f（x）f（2+x），则有f（x+2）f（x），变形可
9、得f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）f（1+5054）f（1）f（1）9；故选：A4已知平面向量，满足，且（）（）4，则向量，的夹角为（）ABCD【分析】根据向量数量积和夹角公式可得解：（+）（2）4，2224，92443，cos，又，0，故选：D5已知an是等差数列，满足：对nN*，an+an+12n，则数列an的通项公式an（）AnBn1CnDn+【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，由an+an+12n可得an1+an2n2，两式相减可得an+1an12d2，解可得d1；令n1分析可得a1+a22，即a1+a1+d2，解可得a1的
10、值，由等差数列的通项公式分析可得答案解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若an满足an+an+12n，则an1+an2n2，可得：an+1an12d2，解可得d1；当n1时，有a1+a22，即a1+a1+d2，解可得a1，则ana1+（n1）dn；故选：C6已知函数，则yf（x）的图象大致为（）ABCD【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可解：令g（x）xlnx1，则g（x）1，由g（x）0，得x1，即函数g（x）在（1，+）上单调递增，由g（x）0得0x1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x1时，函数g（x）有最小值，g（x）mi
11、ng（0）0，于是对任意的x（0，1）（1，+），有g（x）0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A7倾斜角为30的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）AyxBCD【分析】由垂直平分线性质定理可得AF2BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程解：如图MF2为ABF2的垂直平分线，可得AF2BF2，且MF1F230，可得MF22csin30c，MF12cc
12、os30c，由双曲线的定义可得BF1BF22a，AF2AF12a，即有ABBF1AF1BF2+2a（AF22a）4a，即有MA2a，AF2，AF1MF1MAc2a，由AF2AF12a，可得（c2a）2a，可得4a2+c23c2，即ca，ba，则渐近线方程为yx故选：A8已知函数f（x），g（x）f（x）ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A1，01，+）B（，10，1C1，1D（，11，+）【分析】根据条件先判断x1是函数g（x）的一个零点，等价于当x1时，函数f（x）a（x1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可解：由g（x）f（x）ax+a0得f（x）a
13、（x1），f（1）13+20，g（1）f（1）a+a0，即x1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x1时，函数f（x）a（x1），没有其他根，即a，没有根，当x1时，设h（x）x2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）1，即此时h（x）1，当x1时，h（x），h（x）0，此时h（x）为减函数，此时h（x）0，且h（1）1，即0h（x）1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a，没有根，则a1或1a0，即实数a的取值范围是1，01，+），故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得
14、0分）9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）ABD平面CB1D1BAD平面CB1D1CAC1BDD异面直线AD与CB1所成的角为60【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可解：A在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDB1D1，B1D1平面CB1D1；BD平面CB1D1；所以BD平面CB1D1；A正确；BAD平面CB1D1；ADA1D1，所以AD平面CB1D1；B不正确；CAC1在底面ABCD上的射影AC，BDAC；所以AC1BD；C正确；D异面直线AD与CB1所成的角为45，所以异面直线AD与CB1所成的角为60不正确；故选：
15、AC10在数列an中，nN*，若k（k为常数），则称an为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）Ak不可能为0B等差数列一定是“等差比数列”C等比数列一定是“等差比数列”D“等差比数列”中可以有无数项为0【分析】根据等差比数列的定义，逐项分析可得解：对于A，k不可能为0正确；对于B，an1时，an为等差数列，但不是等差比数列；对于C，若等比数列ana1qn1，则kq0，所以an为等差比数列；对于D，数列0，1，0，1，0，1，0，1是等差比数列，且有无数项为0，故选：ACD11已知函数f（x）2sin（2x）+1，则下列说法正确的是（）Af（x）2f（x）Bf（x）的图象关于x
16、对称C若0x1x2，则f（x1）f（x2）D若x1，x2，x3，则f（x1）+f（x2）f（x3）【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可解：A当x0时，f（x）f（）2sin2+12sin0+11，2f（0）22sin（）11+，此时f（x）2f（x）不成立，故A错误，Bf（x）2sin2（x）+12sin（2x）+1，由2xk+得x+，kZ，当k1时，x，即函数关于x对称，故B正确，C当0x时，02x，2x，此时函数f（x）不是增函数，故C错误，D.x时，2x，2x，则当2x或时，函数f（x）取得最小值为2sin+1+1，当当2x时，函数f（x）取得最大值为2sin+12+13，则
17、两个最小值之和为+12+23，故D正确，故选：BD12已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为 A若PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）ABC或D或【分析】当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（ab0），求出过左焦点的通径长，代入三角形面积公式，结合离心率及隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求，同理求得焦点在y轴上的椭圆方程解：当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为（ab0）如图：把xc代入，求得AP，由PF2A的面积为12，得，即，联立，解得a216，b212椭圆方程为；同理当椭圆焦点在y轴
18、上时，求得椭圆方程为椭圆方程为或故选：D三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为20【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1y5r（x2+x）r，令5r3，解得r2（x2+x）2x4+2x3+x2，x3y3的系数为220，故答案为：2014在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A【分析】由已知利用正弦定理可得sinB的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值解：，由正弦定理，可得：sinB，bc，B（0，），B，ABC故答案为：1
19、5“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB1尺，D为AB的中点，ABCD，CD1寸，则圆柱底面的直径长是26寸”（注：l尺10寸）【分析】由勾股定理OA2OD2+AD2，代入数据即可求得解：ABCD，ADBD，AB10寸，AD5寸，在RtAOD中，OA2OD2+AD2，OA2（OA1）2+52，OA13寸，圆柱底面的直径长是2AO26寸故答案为：2616设函数f（x）ax3+bx2+cx（a，b，cR，a0），若不等式xf（x）af（x）2对一切xR恒成立
20、，则a3，的取值范围为）【分析】由已知可得，（3aa2）x3+（2bab）x2+（cac）x20恒成立，结合三次函数的性质可知3aa20，可求a，然后结合二次函数的性质即可求解解：f（x）3ax2+2bx+c，由（x）af（x）2可得，（3aa2）x3+（2bab）x2+（cac）x20恒成立，故3aa20，因为a0，所以a3，bx2+2cx+20恒成立，故4c28b0，即b，故的范围），故答案为：3，）四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA4，asinC5（1）求边长c；（2）著ABC的面积S
21、20求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinA，又由ccosA4，可得cosA，利用同角三角函数基本关系式可求c的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求b的值，由余弦定理可解得a的值，即可计算得解ABC的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理可得：，可得：asinCcsinA，asinC5，可得：csinA5，可得：sinA，又ccosA4，可得：cosA，可得：sin2A+cos2A+1，解得c6分（2）ABC的面积SabsinC20，asinC5，解得：b8，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA64+41241，解得：a，或（舍去），ABC的周长a
22、+b+c+8+8+212分18设数列an满足（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn【分析】（1）求得数列的首项，再将n换为n1，相除可得所求通项公式；（2）求得n2n+n，再由数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和解：（1）an满足可得n1时，a12，n2时，a12a2（n1）an12n1，又相除可得nan2，即an，上式对n1也成立，则an的通项公式为an；（2）n2n+n，设Hn12+222+n2n，2Hn122+223+n2n+1，相减可得Hn2+4+2nn2n+1n2n+1，化简可得Hn2+（n1）2n+1则前n项和Tn2+（n1）
23、2n+1+19在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC底面ABCD，ABC45，SAB是等边三角形（1）证明：SABC；（2）若BC，AB，求二面角DSAB的余弦值【分析】（1）过S作SOBC于O，连OA，易得SO底面ABCD，再由已知可得OAOB，由直线与平面垂直的判定可得BC平面SOA，则SABC；（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出平面SAD与平面SAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角DSAB的余弦值【解答】证明：（1）由侧面SBC底面ABCD，交线为BC，过S作SOBC于O，连OA，得SO底面ABC
24、DSASB，RtSOARtSOB，得OAOB，又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，得OAOBSOBC，AOBC，且SOAOO，BC平面SOA，则SABC；解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，BC，AB，SAB是等边三角形，A（，0，0），B（0，0），D（，0），S（0，0，）则（，0，），（0，），设平面SAD与平面SAB的一个法向量分别为，则由，取z11，得；由，取z21，得cos，由图可知，二面角DSAB为钝二面角，故二面角DSAB的余弦值为20某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2
25、0112018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，注：（）从该公司20112018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程中，【分析】（1）由数据
26、可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而的所有可能取值为0，1，2，3分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望（2）法一：，由此能求出回归方程法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，由此能求出回归方程解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故X的所有可能取值为0，1，2，3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），故X的分布列为X0123P所求（2）解法一：，故去掉2015年的数据之后，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，而去掉2015
27、年的数据之后，从而回归方程为：注：若有学生在计算时用计算得也算对21已知点P在抛物线C：x22py（p0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|2（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且ABHB，求|AF|BF|的值【分析】（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B的坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，再计算|AF|BF|的值解：（1）将
28、点P横坐标xP2代入x22py中，求得yP，P（2，），|OP|2+4，点P到准线的距离为d+，|OP|2+d2，22+12+，解得p24，p2，抛物线C的方程为：x24y；（2）抛物线x24y的焦点为F（0，1），准线方程为y1，H（0，1）；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为ykx+1，代入抛物线方程可得x24kx40，x1+x24k，x1x24，由ABHB，可得kABkHB1，又kABkAF，kHB，1，（y11）（y2+1）+x1x20，即（1）（+1）+x1x20，+（）1+x1x20，把代入得，16，则|AF|BF|y1+1y21（）16422已知函数f（x）c
29、osx+（a）x21，aR（1）当a时，求f（x）在0，上的最大值和最小值；（2）若xR，f（x）0恒成立，求a的取值范围【分析】（1）可得f（x）sinx+2x，f（x）cosx+20即可得f（x）的单调性，从而求得最大值和最小值；（2）可得f（x）sinx+2（a）x，分一下三种情况讨论：当2（a）1，即a1时；当2（a）1，即a0时；当0a1时解：（1）当a时，f（x）cosx+x21，则f（x）sinx+2x，f（x）cosx+20f（x）在0，上单调递增，而f（0）0，f（x）在0，上单调递增，f（x）在0，上的最大值为f（），最小值为f（0）0；（2）f（x）cosx+（a）x21，aRf（x）sinx+2（a）x当2（a）1，即a1时，f（x）0，f（x）单调递增，而f（0）0当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0即f（x）在（0，+）递增，在（，0）递减，f（x）f（0）0，符合题意当2（a）1，即a0时，f（x）0，f（x）单调递减，而f（0）0当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0即f（x）在（0，+）递增减，在（，0）递增，f（x）f（0）0，不符合题意当0a1时，1，由f（x）0，可得cosx2（a）故存在x0（0，），使得f（x0）0，且（0，x0）时f（x）0，f（x）单调递减，此时f（x）f（0）0，不符合题意综上，a的取值范围为1，+）
