1、2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.12020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A0.3105B3104C30103D3万2下列说法不正确的是（）A2a是2个数a的和B2a是2和数a的积C2a是单项式D2a是偶数3下列事件中是不可能事件的是（）A守株待兔B瓮中捉鳖C水中捞月D百步穿杨4如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（）ABCD5关于x的方程kx26x+90有实数根，k的取值范围是（）Ak1且k0Bk1Ck1且k0Dk16根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）ABCD7如图，PA，PB分别与
2、O相切于A，B两点，P72，则C（）A108B72C54D368如图，AD是ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE是菱形的是（）ABAC90BDAE90CABACDABAE9如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA5：3，若矩形ABCD的面积是8，且ABx轴，则k的值是（）A18B50C12D10从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2aa（x+1）（x1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20cm，面积是240cm2的扇形的圆心角是120ABCD1二、填空题（本题包括7
3、小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11计算：（1）（3.14）0 ；（2）2cos45 ；（3）12 12若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 ；（2）a的值是 ；（3）方差是 13如图，点O在直线AB上，AOC581728则BOC的度数是 14如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多 个小正方形15有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人16如图，在ABC中，ACB90
4、，ACBC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，PCQ90，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 17如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PCx，PA+PEy图是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么a+b的值为 三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18解方程：19从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离AD为90m若tan0.27，tan2.73，求这栋楼高20用定义一种新运算：对于任意实数m和n
5、，规定mnm2nmn3m，如：1212212326（1）求（2）；（2）若3m6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集21甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7从三个口袋各随机取出1个小球用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率22如图，O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2PBPA，求证：ABCD23某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱
6、好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名24某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm
7、/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比26如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C且直线yx6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若
8、不存在，说明理由参考答案一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）12020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A0.3105B3104C30103D3万【分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示解：30000用科学记数法表示为：3104故选：B2下列说法不正确的是（）A2a是2个数a的和B2a是2和数a的积C2a是单项式D2a是偶数【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以
9、及偶数的定义逐一判断即可解：A.2aa+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误故选：D3下列事件中是不可能事件的是（）A守株待兔B瓮中捉鳖C水中捞月D百步穿杨【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C4如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（）ABCD【分析】根据余角和补角的概念、结合图
10、形进行判断即可解：A与互余，故本选项正确；B，故本选项错误；C，故本选项错误；D与互补，故本选项错误，故选：A5关于x的方程kx26x+90有实数根，k的取值范围是（）Ak1且k0Bk1Ck1且k0Dk1【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围解：k0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，0，b24ac（6）24k90，解得k1，故选：D6根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）ABCD【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的
11、平分线故选：B7如图，PA，PB分别与O相切于A，B两点，P72，则C（）A108B72C54D36【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到PAO90，PBO90，求出AOB，根据圆周角定理解答即可解：连接OA、OB，PA，PB分别为O的切线，OAPA，OBPB，PAO90，PBO90，AOB360PAOPBOP360909072108，由圆周角定理得，CAOB54，故选：C8如图，AD是ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE是菱形的是（）ABAC90BDAE90CABACDABAE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论解：添加BAC90时，AD是ABC的中线
12、，ADBCCD，四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加DAE90，四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加ABAC，可得到ADBC，ADC90，四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加ABAE，四边形ADCE是平行四边形，AECD，AD是ABC的中线，BDCDAE，ABBD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A9如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA5：3，若矩形ABCD的面积是8，且ABx轴，则k的值是（）A18B50C12D【分析】延长DA、CB，交x轴于E、F，通过证得三角形相似求得AOE的面积9，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得
13、k的值解：延长DA、CB，交x轴于E、F，四边形ABCD矩形，且ABx轴，DEx轴，CFx轴，AECF，AOECOF，（）2，矩形ABCD的面积是8，ABC的面积为4，ABx轴，ABCOFC，（）2，OC：OA5：3，SOFC25，SAOE9，双曲线y经过点A，SAOE|k|9，k0，k18，故选：A10从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2aa（x+1）（x1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20cm，面积是240cm2的扇形的圆心角是120ABCD1【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命
14、题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2aa（x+1）（x1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20cm，面积是240cm2的扇形的半径是24022024cm，圆心角为：150，故弧长是20cm，面积是240cm2的扇形的圆心角是120是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11计算：（1）（3.14）01；（2）2cos45；（3）121【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可
15、；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可解：（1）（3.14）01；（2）2cos45；（3）12111故答案为：（1）1；（2）；（3）112若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是3；（2）a的值是1；（3）方差是【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（33+a+5）35，解得，a1，（3）S2（13）2+（53）2，故答案为：3，1，13如图，点O在直线AB上，AOC581728则BOC的度数是1214232【分析】依据邻补角的定
16、义，即可得到BOC的度数解：点O在直线AB上，且AOC581728，BOC180AOC1805817281214232，故答案为：121423214如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可解：第1个正方形需要4个小正方形，422，第2个正方形需要9个小正方形，932，第3个正方形需要16个小正方形，1642，第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，
17、第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2（n+1）22n+3个小正方形故答案为：2n+315有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人【分析】根据增长率问题：增长率增长数量/原数量100%如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2后来数解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）21691+x13x112，x214（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了12个人故答案为：1216如图，在ABC
18、中，ACB90，ACBC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，PCQ90，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP22CP2【分析】连接BQ，由“SAS”可证ACPBCQ，可得CAPCBQ45，可得ABQ90，由勾股定理可得PB2+BQ2PQ2，即可求解解：如图，连接BQ，ACB90，ACBC，CABCBA45，PCQ是等腰直角三角形，PCCQ，PCQ90ACB，PQ22CP2，ACPBCQ，又ACBC，ACPBCQ（SAS），CAPCBQ45，ABQ90，PB2+BQ2PQ2，PB2+AP22CP2，故答案为：PB2+AP22CP217如图，在ABC中，A
19、BAC，BAC120，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PCx，PA+PEy图是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么a+b的值为3+2【分析】点A关于BC的对称点为点A，连接AE交BC于点P，此时y最小，进而求解解：如图，将ABC沿BC折叠得到ABC，则四边形ABAC为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在ABC中，BC2BO2ACsinOAC4msin602m，从图看，BC32m，解得：m；点A关于BC的对称点为点A，连接AE交BC于点P，此时y最小，ABAC，BAC120，则BAA60，故AAB为等边三角形，E是AB的中点，故AEAB，而ABAC，故PAC为
20、直角，则aPCm，此时bAA2m，则a+b2m+m3+2故答案为3+2三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18解方程：【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验解：方程两边都乘以x（x2）得，2x3x6，解得x6，检验：当x6时，x（x2）64240，所以x6是分式方程的解因此，原分式方程的解是x619从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离AD为90m若tan0.27，tan2.73，求这栋楼高【分析】在两个直角三角形中，利用边角关
21、系求出BD、CD的长，即可求楼高BC解：在RtABD中，BDtanAD0.279024.3（米），在RtACD中，CDADtan902.73245.7（米），BCBD+CD24.3+245.7270（米），答：这栋楼高BC约为270米20用定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定mnm2nmn3m，如：1212212326（1）求（2）；（2）若3m6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得解：（1）（2）（2）2（2）34+233；（2）3m6，则32m3m3m6，
22、解得：m2，将解集表示在数轴上如下：21甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7从三个口袋各随机取出1个小球用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以
23、取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率22如图，O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2PBPA，求证：ABCD【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到AD，CB，则可判断APCBPD，利用相似比得到PCPDPAPB，利用PC2PBPA得到PCPD，然后根据垂径定理得到结论【解答】证明：连接AC、BC，如图，AD，CB，APCBPD，PC：PBPA：PD，PCPDPAPB，PC2PBPA，PCPD，AB为直径，ABCD23某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面
24、调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名【分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名解：（1）4040%100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：10010%10（
25、名），爱好阅读的学生有：10040201030（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）80040%2000（名），答：该校学生总数大约有2000名24某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出
26、关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60m）件，根据购进A型件数不少于B型件数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该专卖店需要准备w元的货款，根据总价单价数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60m）件，依题意，得：60m2m，解得：m20设该专卖店需要准备w元的货款，则w800（60m）+10000.75
27、m50m+48000，k50，w随m的增大而减小，当m20时，w取得最小值，最小值5020+4800047000答：该专卖店至少需要准备47000元货款25中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比【分析】（1）证明ABPDEQ（SAS），可得BPEQ，同理PEBQ，由此即可证明；（2）求出t0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结
28、论【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF内接于O，ABBCCDDEEFFA，AABCCDDEFF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，APDQt，PFQC6t，在ABP和DEQ中，ABPDEQ（SAS），BPEQ，同理可证PEQB，四边形PEQB为平行四边形（2）解：连接BE、OA，则AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，ABOA6，BE2OB12，当t0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则EAFAEF30，BAE1203090，此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形当t6时，点P与F重合，Q
29、与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知BPE90，此时四边形PBQE是矩形综上所述，t0s或6s时，四边形PBQE是矩形，AE6，矩形PBQE的面积矩形ABDE的面积ABAE6636；正六边形ABCDEF的面积6AOB的面积6矩形ABDE的面积63654，矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比26如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C且直线yx6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB的面积
30、最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，m2+5m+6），N（m，m6），由三角形的面积公式求得MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点分别得出Q点的坐标解：（1）令y0，得yx60，解得x6，B（6，0），令x0，得yx66，
31、D（0，6），点C与点D关于x轴对称，C（0，6），把B、C点坐标代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，m2+5m+6），N（m，m6），则MNm2+4m+12，MDB的面积3m2+12m+363（m2）2+48，当m2时，MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，4），当QMN90时，QMx轴，则Q（0，12）；当MNQ90时，NQx轴，则Q（0，4）；当MQN90时，设Q（0，n），则QM2+QN2MN2，即4+（12n）2+4+（n+4）2（12+4）2，解得，n4，Q（0，4+）或（0，4）综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形其Q点坐标为（0，12）或（0，4）或（0，4+）或（0，4）
