1、2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（6）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x32（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD43（5分）如图，已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与圆相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆的离心率为（）A53B35C54D254（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：潜伏期2天3天5天6天7天9天10
2、天12天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A6天B7天C8天D9天5（5分）已知函数f(x)=2x，x0log3x，x0，则f(f(33)=（）A22B12Clog32Dlog326（5分）若x1=4，x2=34是函数f（x）sin（x+）（0）两个相邻的零点，则（）A2B32C1D127（5分）在平行四边形ABCD中，若CE=4ED，则BE=（）A-45AB+ADB45AB-ADC-AB+45ADD-34AB+AD8（5分）等比数列an的前n项和Sn=3n+a，则a的值为（）A3B1C3D19（5分）已知双曲线C与双曲线x
3、22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D210（5分）已知函数f（x）=x+2a，x0x2-ax，x0，若函数g（x）f（f（x）恰有8个零点，则a的值不可能为（）A8B9C10D1211（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A254B643C25D3212（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f（x），对任意xR，f（x）f（x）恒成立，且f（1）1，则不等式ef（x）ex的解集为（）A（1，+）B1，+）C（，0）D（，0二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）二
4、项式（3x1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 14（5分）已知实数x，y满足y4x，x+2y+60，y4，则z=y+4x-4的最大值为 15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DC上靠近点D的三等分点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是 16（5分）等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 k=1n 1Sk= 三解答题（共5小题）17ABC的内角A，B，C及所对的边分别为a，b，c，已知，c2（1）若cos2Acos2B=3sinAcosA-3sinBcosB且ab，求角C的大小及a+b的取值范围；（2）若CACB=1，求ABC面积的最大
5、值18某区组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为1520，2025，2530，3035，3540，4045六组，其频率分布直方图如图所示：已知3035之间的志愿者共8人（1）求N和2030之间的志愿者人数N1；（2）组织者从3545之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为，求随机变量的概率分布列和数学期望19如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ADC60，AA1=CD1=5，AD1=7（）证明：平面CDD1平面ABCD；（）求二面角D1ADC的余弦值20已知动
6、圆E与圆M：(x-1)2+y2=14外切，并与直线x=-12相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得APB90，求直线l的斜率k的取值范围21已知函数f（x）=aexx（e2.71828为自然对数的底数）（1）若a0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求a的取值范围四解答题（共1小题）22如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B（2，3），曲线M1是劣弧OB，曲线M2是优弧OB（）求曲线M1的极坐标方程；（
7、）设点P（1，）为曲线M1上任意一点，点Q（2，-3）在曲线M2上，若|OP|+|OQ|6，求的值五解答题（共1小题）23已知a0，b0，函数f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为12（1）求证：a+2b1；（2）若2a+btab恒成立，求实数t的最大值2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（6）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x3【解答】解：集合A=x|3x1=x|0x3，Bx|x0，ABx|0x3故选：A2（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复
8、数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD4【解答】解：z+2iR，设z+2iaR，则za2i，则z-z=a2i（a+2i）4i故选：C3（5分）如图，已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与圆相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆的离心率为（）A53B35C54D25【解答】解：连接OQ，F1P如下图所示：椭圆x2a2+y2b2=1（ab0），则由切线的性质，则OQPF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点OQF1PPF2PF1，故|PF2|2a2b，且|PF1|2b，|F1F2|2c，则|F1F2|2|PF1|2+|PF2|2得4c24b2+4（a22a
9、b+b2）解得：b=23a则c=53a故椭圆的离心率为：53故选：A4（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：潜伏期2天3天5天6天7天9天10天12天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A6天B7天C8天D9天【解答】解：因为x=22+34+58+610+716+916+1010+124707，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天，故选：B5（5分）已知函数f(x)=2x，x0log3x，x0，则f(f(33)=（）A22B12Clog32Dlo
10、g32【解答】解：因为f(x)=2x，x0log3x，x0，则f(f(33)=f（log333）f（-12）=2-12=22故选：A6（5分）若x1=4，x2=34是函数f（x）sin（x+）（0）两个相邻的零点，则（）A2B32C1D12【解答】解：由于x1=4，x2=34是函数f（x）sin（x+）（0）两个相邻的零点，所以T2=34-4=2，解得T，所以=2=2故选：A7（5分）在平行四边形ABCD中，若CE=4ED，则BE=（）A-45AB+ADB45AB-ADC-AB+45ADD-34AB+AD【解答】解：在平行四边形ABCD中，若CE=4ED，所以CE=45CD，则BE=BC+CE
11、=AD+45CD=-45AB+AD故选：A8（5分）等比数列an的前n项和Sn=3n+a，则a的值为（）A3B1C3D1【解答】解：根据题意，等比数列an的前n项和Sn=3n+a，则a131+a3+a，a2S2S1（32+a）（3+a）6，a3S3S2（33+a）（32+a）18，则有（3+a）1836，解可得a1；故选：D9（5分）已知双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D2【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x22-y26=t，（t0），又由双曲线C经过点P（
12、2，3），则有2-12=t，则t=32，则双曲线的C的方程为x22-y26=32，即：x23-y29=1，其焦距c23，a=3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2故选：D10（5分）已知函数f（x）=x+2a，x0x2-ax，x0，若函数g（x）f（f（x）恰有8个零点，则a的值不可能为（）A8B9C10D12【解答】解：易知，当a0时，方程f（x）0只有1个实根，从而g（x）f（f（x）不可能有8个零点，则a0，f（x）0的实根为2a，0，a令f（x）t，则f（f（x）f（t）0，则t2a，0，a数形结合可知，直线ya与f（x）的图象有2个交点，直线y0与f（x）的图象有3个交点，所以由题意
13、可得直线y2a与f（x）的图象有3个交点，则必有-2a-a24，又a0，所以a8故选：A11（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A254B643C25D32【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是三棱锥，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA底面ABC，设底面三角形ABC的外心为G，过G作底面的垂线GO，且使GO=12AP则O为三棱锥PABC外接球的球心，连接OB，GB=233，OG2，三棱锥外接球的半径ROB=4+(233)2=433该几何体外接球的表面积为4(433)2=643故选：B12（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导
14、函数为f（x），对任意xR，f（x）f（x）恒成立，且f（1）1，则不等式ef（x）ex的解集为（）A（1，+）B1，+）C（，0）D（，0【解答】解：f（x）f（x），f(x)-f(x)ex0，exf(x)-exf(x)(ex)20，令g（x）=f(x)ex，则g（x）=exf(x)-exf(x)(ex)20，g（x）在R上是增函数ef（x）ex，f(x)ex1e，即g（x）g（1）=1ex1故选：A二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）二项式（3x1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55【解答】解：二项式（3x1）11的二项展开式的通项公式Tr+1=C11r（3x）
15、11r（1）r，令r2，可得中第3项的二项式系数为C11r=C112=55，故答案为：5514（5分）已知实数x，y满足y4x，x+2y+60，y4，则z=y+4x-4的最大值为-27【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，z=y+4x-4表示平面区域内的点（x，y）与D（4，4）连线的斜率，观察可知，kDCy+4x-4kDB，联立y=4x，x+2y+6=0，解得x=-23，y=-83，即B(-23，-83)，故z=y+4x-4的最大值为-83+4-23-4=43-23-123=-27故答案为：-2715（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，
16、DC上靠近点D的三等分点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是3【解答】解：依次作线段AA1，AB上靠近点A的三等分点G，H，连接A1B，BC1，则EFGH，GHA1B，则EFA1B，所以BA1C1是异面直线EF与A1C1所成角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC1是等边三角形，BA1C1=3异面直线EF与A1C1所成角的大小是3故答案为：316（5分）等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 k=1n 1Sk=2nn+1【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，S42（a2+a3）10，可得a22，数列的首项为1，公差为1，Sn=n(n+1)2，1Sn
17、=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，则 k=1n 1Sk=21-12+12-13+13-14+1n-1n+12（1-1n+1）=2nn+1故答案为：2nn+1三解答题（共5小题）17ABC的内角A，B，C及所对的边分别为a，b，c，已知，c2（1）若cos2Acos2B=3sinAcosA-3sinBcosB且ab，求角C的大小及a+b的取值范围；（2）若CACB=1，求ABC面积的最大值【解答】解：（1）cos2Acos2B=3sinAcosA-3sinBcosB，1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B，则32sin2A-12cos2A=32sin2B-12c
18、os2B，sin（2A-6）sin（2B-6），由ab得AB，又A+B（0，），2A-6+2B-6=，即A+B=23，C（A+B）=3；由c2和正弦定理得，asinA=bsinB=csinC=232=433，a=433sinA，b=433sinB，a+b=433（sinA+sinB）=433sinA+sin（23-A）=433sinA+（32cosA+12sinA）=433（32sinA+32cosA）4sin（A+6），由0A23得，6A+656，12sin（A+6）1，则24sin（A+6）4，即2a+b4，a+b的取值范围为（2，4；（2）CACB=1，abcosC1，由余弦定理得，c2
19、a2+b22abcosCa2+b22，又c2，则a2+b262ab，得ab3，当且仅当ab时等号成立，由abcosC1得cosC=1ab，则sinC=1-cos2C=(ab)2-1ab，ABC的面积S=12absinC=12(ab)2-1129-1=2，故ABC的面积的最大值是218某区组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为1520，2025，2530，3035，3540，4045六组，其频率分布直方图如图所示：已知3035之间的志愿者共8人（1）求N和2030之间的志愿者人数N1；（2）组织者从3545之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随
20、机选取3名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为，求随机变量的概率分布列和数学期望【解答】解：（1）3035之间的频率为0.0450.2，由于3035之间的志愿者共8人，N=80.2=40；2030之间的频率为1（0.01+0.04+0.02+0.01）50.6，N10.64024；（2）3545之间共有5（0.01+0.02）406人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取三人，则女教师的数量为的取值可为1，2，3，所以P（1）=C41C22C63=15；P（2）=C42C21C63=35；P（3）=C43C63=15；所以，分布列为123P（k）15 35 15 所以，数学期望为E115+2
21、35+315=219如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ADC60，AA1=CD1=5，AD1=7（）证明：平面CDD1平面ABCD；（）求二面角D1ADC的余弦值【解答】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，AA1=CD1=5，DC=2，D1ODC且D1O=DD12-DO2=2又底面ABCD为边长为2的菱形，且ADC60，AO=3，又AD1=7，AD12=D1O2+AO2，D1OOA，又OA，DC平面ABCD，OADCO，又D1O平面CDD1，平面CDD1平面ABCD（2）过O作直线OHAD于H，连接D1H，D1O平面ABCD，D1OAD
22、，AD平面OHD1，ADHD1，D1HO为二面角D1ADC所成的平面角，又OD1，ODA60，OH=32，D1H=192，cosOHD1=571920已知动圆E与圆M：(x-1)2+y2=14外切，并与直线x=-12相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得APB90，求直线l的斜率k的取值范围【解答】解：（1）因为动圆E与圆M：(x-1)2+y2=14外切，并与直线x=-12相切，所以点E到点M的距离比点E到直线x=-12的距离大12，因为圆M：(x-1)2+y2=14的半径为12，所以点E到点M的距离等于
23、点E到直线x1的距离，所以圆心E的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0）所以曲线C的方程y24x（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由y2=4xy=k(x+2)得ky24y+8k0，由k016-32k20得-22k22且k0y1+y2=4k，y1y28，kPA=y0-y1x0-x1=y0-y1y024-y124=4y0+y1，同理kPB=4y0+y2 由APB90，得4y0+y14y0+y2=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-16，所以y02+4ky0+24=0，由=(4k)2-960，得-66k66且k0，又-22k22且k0，所以k的取值范围为-66，0
24、)(0，6621已知函数f（x）=aexx（e2.71828为自然对数的底数）（1）若a0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为x|x0，f(x)=axex-aexx2=aex(x-1)x2，当a0时，令f（x）0解得x1；令f（x）0解得x1且x0；当a0时，令f（x）0解得x1且x0；令f（x）0解得x1；当a0时，f（x）在（1，+）上单调递增，在（，0），（0，1）单调递减；当a0时，f（x）在（，0），（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；（2）因为x（0，+），所以x3+x
25、0，故a(x2+1)ex-x2x3+x=exx-xx2+1在（0，+）上恒成立，设g(x)=exx-xx2+1(x0)，则ag（x）min，g(x)=ex(x-1)x2-1-x2(x2+1)2=(x-1)exx2+x+1(x2+1)2，令g（x）0，则x1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，g(x)min=g(1)=e-12，ae-12，即实数a的取值范围为(-，e-12四解答题（共1小题）22如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B（2，3），曲线M1是劣弧OB，曲线M2是优弧OB（）求曲线M1的极坐标方程；（）设点
26、P（1，）为曲线M1上任意一点，点Q（2，-3）在曲线M2上，若|OP|+|OQ|6，求的值【解答】解：（）过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆上任意一点（，），整理得4cos由于的圆的一个交点为B（2，3），曲线M1是劣弧OB，所以M1的方程为=4cos(32)（）点P（1，）为曲线M1上任意一点，所以1=4cos(32)，点Q（2，-3）在曲线M2上，所以2=4cos(-3)（-2-33）整理得2=4cos(-3)(-63)由于|OP|+|OQ|6，所以1+26，整理得4cos+4cos(-3)=6，即：43sin(+3)=6，由于32且-63解得=3五解答题（共1小题）2
27、3已知a0，b0，函数f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为12（1）求证：a+2b1；（2）若2a+btab恒成立，求实数t的最大值【解答】解：（1）证明：a0，b0，函数f（x）|2x+a|+|xb|x+a2|+|x+a2|+|xb|-a2+a2|+|x+a2-x+b|0+|b+a2|b+a2，当且仅当xb时，上式取得等号，可得f（x）的最小值为b+a2，则b+a2=12，即a+2b1；（2）若2a+btab恒成立，由a，b0，可得t1a+2b恒成立，由1a+2b=（a+2b）（1a+2b）5+2ab+2ba5+22ab2ba=9，当且仅当ab=13，上式取得等号，则t9，可得t的最大值为9
