1、南京市2021届高三年级学情调研 数 学 2020.09注意事项：1本试卷共6页，包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置3作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效一、单项选择题：本大题共8小题，每小题
2、5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知集合Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x32已知(34i)z1i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且|ab|，则a与b的夹角为A B C D4在平面直角坐标系xOy中，若点P(4，0)到双曲线C：1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为A2B4 C D5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bcosC2ac，则角B的取值范
3、围是A(0， B(0， C，) D，)6设alog4 9，b21.2，c()，则Aabc Bbac Cacb Dcab7在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x1)2y21，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T若PTPB，则动点P的轨迹方程为Ax2y214x180Bx2y214x180Cx2y210x180 Dx2y210x1808已知奇函数f (x)的定义域为R，且f (1x)f (1x)若当x(0，1时，f(x)log2(2x3)，则f ()的值是A3 B2 C2 D3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在
4、答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分95G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10将函数f(x)sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则A函数g
5、(x)的图象关于直线x对称 B函数g(x)的图象关于点(，0)对称 C函数g(x)在区间(，)上单调递增 D函数g(x)在区间(0，)上有2个零点11已知(2x)(12x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则Aa0的值为2 Ba5的值为16Ca1a2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为12012记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I若存在x0I，使得对任意xI，不等式f(x)g(x)(xx0)0恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M函数对”下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（ ）Af(x)lnx，g(x) Bf(x)ex，g(x)exCf(x)x3，g(x)x2
6、Df(x)x，g(x)3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上r13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y4与抛物线C：yx2交
7、于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 15已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Snanan1，nN*，则a4 ； 若a12，则S20 (本题第一空2分，第二空3分)16若不等式(ax2bx1)ex1对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则ab的取值范围是 四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知向量m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，xR设函数f(x)mn1（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若，且f()，求cos2的值18（本小题
8、满分12分）已知数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn （1）在S1S32S22，S3，a2a34a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中求数列an的通项公式，并判断此时数列an是否满足条件P：任意m，nN*，aman均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足bnn()n1，nN*，求数列bn的前n项和Tn注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下： 是否达标性别不达标达标
9、男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：2 ，P(2k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望20（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AD/BC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点E在棱PC上，设C
10、ECPEDCBAP（1）求证：CDAE；（2）记二面角CAED的平面角为，且|cos|，求实数的值 21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21 （1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点若ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程22（本小题满分12分）已知函数f (x)kxxlnx，kR（1）当k2时，求函数f (x)的单调区间；（2）当0x1时，f (x)k恒成立，求k的取值范围；（3）设nN*，求证：南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案
11、2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1C 2B 3D 4A 5A 6C 7C 8B二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分 9ABD 10ACD 11ABC 12AC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 132 14 154；220 16(，1四、解答题：本大题共6小题，共70分 17（本小题满分10分）解：因为 m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，所以f(x)mn12sinxcosx2cos2x1 sin2xcos2x2sin(2x) 4分（1）T 5分（2）由f()，得sin(2)由，得2，所以cos(2)， 7分从而 c
12、os2cos(2)cos(2)cossin(2)sin 10分18（本小题满分12分）解：（1）选， 因为S1S32S22， 所以S3S2S2S12，即a3a22， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以4a12a12，解得a11， 因此an12n12n1 4分 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P 7分 选， 因为S3，即a1a2a3， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以a12a14a1，解得a1， 因此an2n1 4分 此时a1a2a1an，即a1a2不为数列an中的项， 因此数列an不满足条件P
13、 7分 选， 因为a2a34a4， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以2a14a148a1，又a10，故a14， 因此an42n12n1 4分 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是为数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P 7分（2）因为数列an是公比为2的等比数列， 所以2，因此bnn2n1 所以Tn120221322n2，则2Tn 121222(n1)2n2，两式相减得Tn121222n2 10分 n2 (1n)21， 所以Tn(n1)21 12分19（本小题满分12分）解：（1）假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得211
14、.8366.635，因为当H0成立时，26.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4分（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标由题意知：P(A)，P(B) 6分随机变量X的取值可能为0，1，2，3P(X0)(1)2(1)，P(X1)C(1)(1)(1)2，P(X2)()2(1)C(1)，P(X3)()2 所以随机变量X的分布列为：X0123P 10分期望E(X)01231.55 12分20（本小题满分12分）（1）证明：因为PAD90，所以PAAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面A
15、BCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD 2分又CD平面ABCD，所以CDPA 在四边形ABCD中，AD/BC，DAB90，所以ABC90，又ABBC1，所以ABC是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC在CAD中，CAD45，AC，AD2，所以CD，从而AC2CD24AD2所以CDAC 4分又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以CD平面PAC 又AE平面PAC，所以CDAE 6分（2）解：因为PA平面ABCD，BAAD，zxPABCDEy 故以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系因为ABBCPA1，AD2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，
16、2，0)，则(1，1，0)，(0，2，0)因为点E在棱PC上，且CECP，所以，设E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)，故E(1，1，)，所以(1，1，) 由（1）知，CD平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为n(1，1，0)设平面AED的法向量为m(x1，y1，z1)，由得令z11，所以平面AED的一个法向量为m(，0，1) 9分因此 |cos|cos|，化简得3840，解得或2因为E在棱PC上，所以0，1，所以所以当|cos|时，实数的值为 12分21（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C：y21，所以F1(，0)，F2(，0)设T(x0，y0)，则 (x0，y0)(x
17、0，y0)x02y023因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即y021，所以x022，且x020，4，所以的取值范围是2，1 4分（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程ykxm (m1，k0)设B(x1，y1)，(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2 6分因为ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以ABAD，即 0，因此 (y11)( y21)x1x20，即(kx1m1)( kx2m1)x1x20，从而 (1k2) x1x2k(m1)( x1x2)(m1)20，即 (1k2)k(m1)(m1)20，也即 4(1k2)( m1)8k2m(14k2)
18、 (m1)0，解得m 9分又线段BD的中点M(，)，且AMBD，所以，即3m14k2，解得k又当k，m时，64k2m24(14k2)( 4m24)0，所以满足条件的直线l的方程为yx. 12分22（本小题满分12分）解：（1）当k2时，f (x)2xxlnx，f(x)1lnx， 由f(x)0，解得0xe；由f(x)0，解得xe， 因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) 2分（2）f (x)kxxlnx，故f(x)k1lnx 当k1时，因为0x1，所以k10lnx， 因此f(x)0恒成立，即f (x)在(0，1上单调递增， 所以f (x)f (1)k恒成立 4分 当k1时，令f(x)0，解得xek1(0，1) 当x(0，ek1)，f(x)0，f (x)单调递增；当x(ek1，1)，f(x)0，f (x)单调递减； 于是f (ek1)f (1)k，与f (x)k恒成立相矛盾 综上，k的取值范围为1，) 7分 （3）由（2）知，当0x1时，xxlnx1 令x(nN*)，则 lnn1，即2lnnn21， 因此 10分 所以 12分
