1、北京市西城区2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合Ax|x2k，kZ，Bx|3x3，那么AB（）A1，1B2，0C2，0，2D2，1，0，12（5分）方程组的解集是（）A（1，1），（1，1）B（1，1），（1，1）C（2，2），（2，2）D（2，2），（2，2）3（5分）函数y的定义域是（）A0，1）B（1，+）C（0，1）（1，+）D0，1）（1，+）4（5分）下列四个函数中，在（0，+）上单调递减的是（）Ayx+1Byx21Cy2xD5（5分）设alog20.4，b0.4
2、2，c20.4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca6（5分）若ab0，cd0，则一定有（）AacbdBacbdCadbcDadbc7（5分）设aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A2000（10.2x）mgB2000（10.2）xmgC2000（10.2x）mgD20000.2xmg9（5分）如图，向量等于（）A3B3C3+D+310（5分）某部影片的
3、盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是（）ABCD二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11（4分）已知方程x24x+10的两根为x1和x2，则x12+x22 12（4分）已知向量（1，2），（3，m），其中mR若，共线
4、，则| 13（4分）已知函数f（x）log3x若正数a，b满足，则f（a）f（b） 14（4分）函数的零点个数是 ；满足f（x0）1的x0的取值范围是 15（4分）已知集合Ax|x2x60，Bx|xc，其中cR集合RA ；若xR，都有xA或xB，则c的取值范围是 16（4分）给定函数yf（x），设集合Ax|yf（x），By|yf（x）若对于xA，yB，使得x+y0成立，则称函数f（x）具有性质P给出下列三个函数：； ； ylgx其中，具有性质P的函数的序号是 三、解答题共6小题，共76分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人
5、为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈（）这5人中男生、女生各多少名？（）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率18（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2（）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（）当曲线C1在直线y1的下方时，求x的取值范围；（）证明：曲线C1和C2没有交点19（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示假设每名队员每次射击相互独立（）求图中a的值；（）队员甲进行2次射击用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（）
6、在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20（13分）已知函数（）证明：f（x）为偶函数；（）用定义证明：f（x）是（1，+）上的减函数；（）当x4，2时，求f（x）的值域21（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是（）把商品的利润表示为生产量x的函数；（）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22（13分）设函数其中P，M是非空数集记f（P）y|yf（x），xP，f（M）y|yf（x），xM（）若P0，3，M（，1），求f（P）f（M）；（）
7、若PM，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（）判断命题“若PMR，则f（P）f（M）R”的真假，并加以证明2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合Ax|x2k，kZ，Bx|3x3，那么AB（）A1，1B2，0C2，0，2D2，1，0，1【分析】利用交集直接求解【解答】解：集合Ax|x2k，kZ，Bx|3x3，AB2，0，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）方程组的解集是（）A（1，1），（1
8、，1）B（1，1），（1，1）C（2，2），（2，2）D（2，2），（2，2）【分析】运用代入消元法解方程组即可【解答】解：记，由得：xy，将代入得2y22，解得y1，当y1时，x1，当y1时，x1，故原方程组的解集为（1，1），（1，1），故选：A【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题3（5分）函数y的定义域是（）A0，1）B（1，+）C（0，1）（1，+）D0，1）（1，+）【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域【解答】解：依题意，解得x0且x1，即函数的定义域为0，1）（1，+），故选：D【点评】本题考查函数定
9、义域的求法及不等式的求解，属于基础题4（5分）下列四个函数中，在（0，+）上单调递减的是（）Ayx+1Byx21Cy2xD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx+1，为一次函数，在（0，+）上单调递增，不符合题意；对于B，yx21，为二次函数，在（0，+）上单调递增，不符合题意；对于C，y2x，为指数函数，在（0，+）上单调递增，不符合题意；对于D，y，为对数函数，在（0，+）上单调递减，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题5（5分）设alog20.4，b0.42，c2
10、0.4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】解：log20.4log210，a0，0.420.16，b0.16，20.4201，c1，abc，故选：A【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用6（5分）若ab0，cd0，则一定有（）AacbdBacbdCadbcDadbc【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案【解答】解：若ab0，cd0，则：acbcbd，故acbd，故A错误，B正确；ad与bc的大小无法确定，故C，D错误；故选：B
11、【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题7（5分）设aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】可以带入特殊值讨论充要性【解答】解：若ab，取a1，b2，则|a|b|，则“ab”是“|a|b|”不充分条件；若|a|b|，取a2，b1，则ab，则“|a|b|”是ab”不必要条件；则aR，bR“ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题8（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减现医生为某病人注射了20
12、00mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A2000（10.2x）mgB2000（10.2）xmgC2000（10.2x）mgD20000.2xmg【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2000（120%）x20000.8x（mg），即y与x的关系式为 y20000.8x故选：B【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题9（5分）如图，向量等于（）A3B3C3+D+3【分析】可设向量的终点为A，向量的终点为B，从而可得出，这
13、样根据图形即可用表示出，从而得出正确选项【解答】解：如图，设，故选：B【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题10（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是（）ABCD【分
14、析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：C【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11（4分）已知方程x24x+10的两根为x1和x2，则x12+x2214【分析】利用韦达定理代入即可【解答】解：方程x24x+10的两根为x1和x2，x1+x24，x1x21，x12+x22（x1+x2）22x1x216214，故答案为：14【点评】考查韦达定理的应用，基础题12（4
15、分）已知向量（1，2），（3，m），其中mR若，共线，则|【分析】根据共线即可得出m6，从而可得出向量的坐标，进而可得出的值【解答】解：共线，m60，m6，故答案为：【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题13（4分）已知函数f（x）log3x若正数a，b满足，则f（a）f（b）2【分析】结合已知函数解析式及对数的运算 性质即可求解【解答】解：正数a，b满足，f（x）log3x，则f（a）f（b）log3log3x2故答案为：2【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题14（4分）函数的零点个数是
16、2；满足f（x0）1的x0的取值范围是（1，0）（2，+）【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可【解答】解：函数可得x0时，x+20，解得x2；x0时，x230，解得x，函数的零点有2个满足f（x0）1，可得，解得x0（1，0），解得x0（2，+）故答案为：2；（1，0）（2，+）【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题15（4分）已知集合Ax|x2x60，Bx|xc，其中cR集合RAx|2x3；若xR，都有xA或xB，则c的取值范围是（，2【分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出RA；由对xR，都有xA或xB，所以ABR，从而求出c
17、的取值范围【解答】解：集合Ax|x2x60x|x2或x3，RAx|2x3；对xR，都有xA或xB，ABR，集合Ax|x2或x3，Bx|xc，c2，c的取值范围是：（，2，故答案为：x|2x3，（，2【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题16（4分）给定函数yf（x），设集合Ax|yf（x），By|yf（x）若对于xA，yB，使得x+y0成立，则称函数f（x）具有性质P给出下列三个函数：； ； ylgx其中，具有性质P的函数的序号是【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可【解答】解：对，A
18、（，0）（0，+），B（，0）（0，+），显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；对，AR，B（0，+），当x0时，不存在yB，使得x+y0成立，即不具有性质P；对，A（0，+），BR，显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；故答案为：【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题三、解答题共6小题，共76分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈（）这5人中男生、女生各多少名？（）从这5人中随即抽取2
19、人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率【分析】（）利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数（）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率【解答】解：（）这5人中男生人数为，女生人数为（）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2），样本空间中，共包含10个样本点设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A（B1，G1），（B1，G2）
20、，（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），事件A共包含6个样本点 从而所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为【点评】本题考查抽取的5人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2（）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（）当曲线C1在直线y1的下方时，求x的取值范围；（）证明：曲线C1和C2没有交点【分析】（）因为，求出f（2）的值，结合函数的单调性判断f（2）和1的大小（）因为“曲线C在直线y1的下方”等价于“f（x）1”，推出 求解
21、即可（）求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点【解答】解：（）因为，又函数ylog3x是（0，+）上的增函数，所以f（2）log34log331（）因为“曲线C在直线y1的下方”等价于“f（x）1”，所以 因为 函数ylog3x是（0，+）上的增函数，所以 082x3，即 52x8，所以x的取值范围是 （log25，3）（）因为f（x）有意义当且仅当82x0，解得x3所以f（x）的定义域为D1（，3）g（x）有意义当且仅当x30，解得x3所以g（x）的定义域为D23，+）因为D1D2，所以曲线C1和C2没有交点【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题1
22、9（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示假设每名队员每次射击相互独立（）求图中a的值；（）队员甲进行2次射击用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【分析】（）根据所有频率和为1建立等式，可求出a的值；（）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于7环的概率只需将大于7环的频率进行求和即可；（）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就更稳定【解答】解：（）由图可得 0.01+a+0.19+0.29+0.451，所以 a0.06（）设事件A为“队
23、员甲进行1次射击，中靶环数大于7”则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，所以 P（A）0.45+0.29+0.010.75设事件Ai为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i1，2，则P（A1）P（A2）0.75设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”则，A1，A2独立 所以 所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为（）队员甲的射击成绩更稳定【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题20（13分）已知函数（）证明：f（x）为偶函数；（）用定义证明：f（x）是（1，+）上的减函数；（）当x4，2时，求f（x）的值域
24、【分析】（）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析f（x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得答案；（）根据题意，任取x1，x2（1，+），且x1x2，由作差法分析可得结论；（）根据题意，分析可得f（x）在4，2上单调递增，结合函数的解析式分析可得答案【解答】解：（）证明：根据题意，则f（x）的定义域为Dx|xR，且x1；对于任意xD，因为，所以f（x）为偶函数（）当x（1，+）时，任取x1，x2（1，+），且x1x2，那么；因为1x1x2，所以 x2x10，（x11）（x21）0，从而f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）是（1，+）上的减函数；（）由（）、（）得
25、，f（x）在4，2上单调递增，又由f（4），f（2）1，则有f（x）1；所以当x4，2时，f（x）的值域是【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于基础题21（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是（）把商品的利润表示为生产量x的函数；（）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【分析】（）设商品的利润为Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可（）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可【解答】解：（）设商品的利润为Y
26、（万元），依题意得（）当0x6时，所以 6当且仅当，即x5时取等号，所以，当0x6时，Y有最大值6（万元）当x6时，Y11x5综上，当x5时，Y取得最大值6（万元）因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本知识的考查22（13分）设函数其中P，M是非空数集记f（P）y|yf（x），xP，f（M）y|yf（x），xM（）若P0，3，M（，1），求f（P）f（M）；（）若PM，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（）判断命题“若PMR，则f（P）f（M）R”的真假，并加以证明【分析】（）求出f（P）
27、0，3，f（M）（1，+），由此能过求出f（P）f（M）（）由f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）0，得到当x0时，f（x）0，（，0）P 同理可证（0，+）P 由此能求出P，M（）假设存在非空数集P，M，且PMR，但f（P）f（M）R证明0PM推导出f（x0）x0，且f（x0）（x0）x0，由此能证明命题“若PMR，则f（P）f（M）R”是真命题【解答】解：（）因为P0，3，M（，1），所以f（P）0，3，f（M）（1，+），所以f（P）f（M）0，+）（）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）0，所以当x0时，f（x）0，所以（，0）P 同理可证（0，+）P因为PM，所以P（，0
28、）（0，+），M0（）该命题为真命题证明如下：假设存在非空数集P，M，且PMR，但f（P）f（M）R首先证明0PM否则，若0PM，则0P，且0M，则0f（P），且0f（M），即0f（P）f（M），这与f（P）f（M）R矛盾若x0PM，且x00，则x0P，且x0M，所以x0f（P），且x0f（M）因为f（P）f（M）R，所以x0f（P），且x0f（M）所以x0P，且x0M所以f（x0）x0，且f（x0）（x0）x0，根据函数的定义，必有x0x0，即x00，这与x00矛盾综上，该命题为真命题【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
