1、函数与极限测试题（二）一. 选择题1.设是连续函数的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有( ).（A）是偶函数)是奇函数. （B）是奇函数是偶函数.（C）是周期函数是周期函数. （D）是单调函数是单调函数 2设函数则( )（A） ，都是的第一类间断点.（B） ，都是的第二类间断点（C） 是的第一类间断点，是的第二类间断点.（D） 是的第二类间断点，是的第一类间断点.3设，则 ( )A） B） C） D） 4下列各式正确的是 ( )A） B） C） D）5已知，则( )。A.1； B.； C.； D.。6极限：( )A.1； B.； C.； D.。7极限：=（ ） A.1； B.；
2、C.0； D.28极限：=（ ）A.0； B.； C ； D.29.极限：=（ ）A.0； B.； C.2； D. 10极限: =（ ）A.0； B.； C. ； D.16二. 填空题11极限= ； 12. = ；13. 若在点连续，则= ；14. ； 15. ；16. 若函数，则它的间断点是 17. 绝对值函数 其定义域是 ，值域是 。 18.符号函数 其定义域是 ，值域是三个点的集合 。19无穷小量是 。20. 函数在点连续，要求函数满足的三个条件是 。 三. 计算题21.求 ； 22.设求(其中)；23.求； 24.求；25.求； 26. 已知，求的值；27. 计算极限 ；28.求它的定
3、义域。29. 判断下列函数是否为同一函数：与 ； 与；与； 与；与。30. 已知函数， 求；31. 求 ； 32. 求 ；33. 求 ； 34. 求 。35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 ， ； ， 。36.求； 37. 求；38.求； 39.求当x时，下列函数的极限。40. 求当时，函数的极限。41.求； 42.求；43.求； 44.求；45.求； 46.求；47.求 。48. 研究函数在点处的连续性。49. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。50. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。51. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。52
4、.求；53.求；54. 试证方程在区间1，2至少有一根。55. 求。56. 试证正弦函数在区间 (-， +) 内连续。57. 函数；在点处是否连续？58. 函数 ；是否在点连续？59. 求极限 .函数与极限测试题答案（二）一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且当为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然，
5、为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数在， 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以为第二类间断点； ，所以为第一类间断点，故应选(D).【评注】 应特别注意：， 从而，3 - 8 CACCAC8.x时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = . （有理化法） 9 -10 DC10.解：原式. 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式.二.填空题11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.； 16.；17. ；18. ；19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称
6、为该极限过程中的无穷小量 20.函数在点处有定义；时极限存在；极限值与函数值相等，即。三. 计算题21.【分析】 型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.【详解】 = =22. ； 23.； 24.； 25.； 26.；27. 328. 解：由解得；由解得；由解得；所以函数的定义域为或表示为。29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解：； 。31.解：；32. 解：；33 .解： ； 34.解：35.解：因为 ，；所以函数在指定点的极限不存在。 因为，；所以函数
7、在指定点的极限。36.；37.；38.；39. 40. 41. 42. 43. 原式= 44. 原式45. 原式46. 原式47. 原式48.解 49. 间断，函数在处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断，但，两者不相等，第一类间断点52. 解：53. 解：54. 证明：设，则在1，2上连续，根据零点定理，必存在一点使，则就是方程的根。55. 原式56. 证明：，任给一个增量，对应的有函数的增量. ，由夹逼准则知，再由的任意性知正弦函数 在其定义域上处处连续，即它是连续函数。 57. 解：注意f (x)是分段函数，且点两侧f表达式不一致。解法1： ， ， . 又， 函数在点处连续（图119）。 解法2 ， 函数在点左连续；又 ， 函数在点右连续，所以函数在点连续。58 证 虽然是分段函数，但点两侧函数表达式一致。 ， 在点处连续。59. 解：令，则，当时， 原式. 特别地，这表明时，.10 / 10
