1、2013年全国高考理科数学试题圆锥曲线专题汇编一、选择题1 （2013年高考江西卷（理）过点引直线与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于（）ABCD【答案】B 2 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）ABCD【答案】C 3 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（）ABCD【答案】B 4 （2013年高考新课标1（理）已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（）ABCD【答案】C 5 （2
2、013年高考湖北卷（理）已知,则双曲线与的（）A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等【答案】D 6 （2013年高考四川卷（理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）ABCD【答案】B 7 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是OxyABF1F2（第9题图）（）ABCD【答案】D 8 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为,
3、 则p =（）A1BC2D3【答案】C 9 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（）ABCD【答案】B 10（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（）ABCD【答案】D 11（2013年高考北京卷（理）若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）Ay=2xBy=CD【答案】B 12（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连
4、线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则（）ABCD【答案】D 13（2013年高考新课标1（理）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）ABCD【答案】D 14（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A或B或 C或D或 【答案】C 15（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C抛物线D双曲线【答案】C 16（2013年普通高等学校招生统一
5、考试重庆数学（理）试题（含答案）已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）ABCD 【答案】A 二、填空题17（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）双曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】 18（2013年高考江西卷（理）抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_【答案】6 19（2013年高考湖南卷（理）设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为_.【答案】 20（2013年高考上海卷（理）设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,则的两个焦点之间的距离为_【答案】. 21（
6、2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为_ _.【答案】 22（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是_.【答案】 23（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_.【答
7、案】 24（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_【答案】 25（2013年高考陕西卷（理）双曲线的离心率为, 则m等于_9_.【答案】9 26（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率_.【答案】 27（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线的准线方程是_【答案】 28（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,
8、设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_.【答案】或 29（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于_.【答案】 三、解答题30（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.解(1)(2)【答案】解(1)设椭圆的方程为. 根据题意知, 解得,
9、 故椭圆的方程为. (2)容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 得. 设,则 因为,所以,即 , 解得,即. 故直线的方程为或. 31（2013年高考四川卷（理）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.()求椭圆的离心率;()设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.【答案】解: 所以,. 又由已知,所以椭圆C的离心率 由知椭圆C的方程为. 设点Q的坐标为(x,y). (1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为 (2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 因为在直线上,可设点的坐
10、标分别为,则 . 又 由,得 ,即 将代入中,得 由得. 由可知 代入中并化简,得 因为点在直线上,所以,代入中并化简,得. 由及,可知,即. 又满足,故. 由题意,在椭圆内部,所以, 又由有 且,则. 所以点的轨迹方程是,其中, 32（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定
11、值. 【答案】解:()由于,将代入椭圆方程得 由题意知,即 又 所以, 所以椭圆方程为 ()由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得 为定值. 33（2013年高考上海卷（理）(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1C2型
12、点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1C2型点”.【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; (2)直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须; 直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 直线与圆内部有交点,故 化简得,. 若直线与曲线C1有交点,则 化简得,. 由得, 但此时,因为,即式不成立; 当时,式也不成立 综上,直线若
13、与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 即圆内的点都不是“C1-C2型点” . 34（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.【答案】解:()依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ,直线的方程为 设坐标为,由得:,即, 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 ()依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 由得 此时,直线与抛
14、物线恒有两个不同的交点 设:,则 又, 分别带入,解得 直线的方程为,即或 35（2013年高考湖南卷（理）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.(I)若,证明;(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.【答案】解: () . 所以,成立. (证毕) () 则, . . 36（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点(1)求椭圆的方程; (
15、2)求面积取最大值时直线的方程.xOyBl1l2PDA（第21题图）【答案】解:()由已知得到,且,所以椭圆的方程是; ()因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦; 由,所以 ,所以 , 当时等号成立,此时直线 37（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.【答案】 38（2013年普通高等学校招生统一考试安徽
16、数学（理）试题（纯WORD版）设椭圆的焦点在轴上()若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;()设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.【答案】解: (). () . 由. 所以动点P过定直线. 39（2013年高考新课标1（理）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.()求C的方程;()是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3. 设动圆的圆心为(,),半径为R.()圆与圆外切且与圆内切,|P
17、M|+|PN|=4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为. ()对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=2,R2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 当圆P的半径最长时,其方程为, 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=. 当的倾斜角不为时,由R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),设:,由于圆M相切得,解得. 当=时,将代入并整理得,解得=,|AB|=. 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=, 综上,|AB|=或|AB|=. 40（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）
18、试题（含答案）设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【答案】 41（2013年高考江西卷（理）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由在椭圆上得, 依题设知,则 代入解得. 故椭圆的方程为. (2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 代入椭圆方程
19、并整理,得, 设,则有 在方程中令得,的坐标为. 从而. 注意到共线,则有,即有. 所以 代入得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:, 令,求得, 从而直线的斜率为, 联立 ,得, 则直线的斜率为:,直线的斜率为:, 所以, 故存在常数符合题意. 42（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程;() 当点为直线上的定点时,求直线的方程;() 当点在直线上移动时,求的最小值.【答案】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,
20、解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为, 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为. () 由抛物线定义可知, 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以 又点在直线上,所以, 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为. 43（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.()求的方程;()为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.【答案
21、】 44（2013年高考湖北卷（理）如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,.记,和的面积分别为和.(I)当直线与轴重合时,若,求的值;(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.第21题图【答案】解:(I), 解得:(舍去小于1的根) (II)设椭圆,直线: 同理可得, 又和的的高相等 如果存在非零实数使得,则有, 即:,解得 当时,存在这样的直线;当时,不存在这样的直线. 45（2013年高考北京卷（理）已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点,且
22、四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是. (II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为. 由消去并整理得. 设A,C,则,. 所以AC的中点为M(,). 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为. 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶
23、点时,四边形OABC不可能是菱形. 46（2013年高考陕西卷（理）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 【答案】解:() A(4,0),设圆心C () 点B(-1,0), . 直线PQ方程为: 所以,直线PQ过定点(1,0) 47（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.(I)求的值;(II)当在上运动时
24、,求线段中点的轨迹方程.【答案】 48（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为.(I)求;(II)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:成等比数列.【答案】 49（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线 的焦点为.(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则, 因为的坐标为,所以, 由得. 即 解得 代入,得到动点的轨迹方程为. (2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为, 则 解得 若在上,将的坐标代入,得,即或. 所以存在满足题意的点,其坐标为和. 28
