1、1 第三章第三章 西南大西南大 学学本章教材分析本章教材分析一、一维基本图形一、一维基本图形二、一维基本图形示例二、一维基本图形示例一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比二、交比的性质二、交比的性质三、有关交比的例题三、有关交比的例题23本章地位本章地位平面射影几何的核心内容之一平面射影几何的核心内容之一本章内容本章内容重点介绍一维射影几何学，讨论重点介绍一维射影几何学，讨论的是一维几何图形，即用一个独的是一维几何图形，即用一个独立参数描写的几何图形（即点列立参数描写的几何图形（即点列和线束）；引进射影不变量和线束）；引进射影不变量交交比；讨论两个基本图形间的关比；讨论两个基本图形间的关系系
2、一维射影几何基本定理一维射影几何基本定理。此。此外，还要讨论两个特殊的一维射外，还要讨论两个特殊的一维射影对应：透视对应、对合对应。影对应：透视对应、对合对应。本章教材分析本章教材分析4一、一维基本图形一、一维基本图形 (1)点列点列(同一直线上点同一直线上点的集合的集合)记号记号l(A,B,C,)或或 l(P)底底元素元素 (1)线束线束(平面上过同一平面上过同一点的直线的集合点的直线的集合)记号记号L(a,b,c,)或或 L(p)束心束心元素元素西南大西南大 学学（2 2）点列和线束统称为）点列和线束统称为一维几何图形一维几何图形（流流形形），它们互为对偶图形。），它们互为对偶图形。5（4
3、）设有两线）设有两线l(a)、m(b)，它们确定一个交，它们确定一个交点点L，通过，通过L的任意一条直线的任意一条直线u可表为：可表为：（3）取定直线）取定直线l上的两点上的两点A(a)、B(b)a=b=,则则l上任一点上任一点M（x）可表为：）可表为：123(,)bbb123(,)aaa.()xabxab或 者读 作“成 正 比”.(/)uabuab或 者一、一维基本图形一、一维基本图形西南大西南大 学学6(5)在一维几何基本图形中，在一维几何基本图形中，a,b称为称为基底元素基底元素，为简便起见，参数就用为简便起见，参数就用表示，表示，=0时表示基时表示基底元素底元素a，规定，规定=时表示
4、基底元素时表示基底元素b.一、一维基本图形一、一维基本图形西南大西南大 学学例：例：7二、一维基本图形示例二、一维基本图形示例设有共线三点设有共线三点x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),试将试将z表为表为x,y的线性组合。的线性组合。124(1,1,1)(1,0,2)(1,1,1 2),/1(1)/(2)(1 2)/(4)3/2.124(1,1,1)3/2(1,0,2).解：设（，）于是得：（-1+）由此可解得所以，（，）8一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1.概念概念交比交比 最根本的射影不变量最根本的射影不变量 定义定义.设设A,B,C,D为点列为点
5、列l(P)中四点中四点,且且A B.把把(AB,CD)表示表示为这共线四点构成的一个为这共线四点构成的一个交比交比.定义为定义为(3.1)(,).()AC BDAB CDAD BC右端使用的是有向线段易见，交比是简比的比：易见，交比是简比的比：()(,).()A B CA BC DA B D西南大西南大 学学证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非齐次坐标，再用齐次坐标，再用A,BA,B的非齐次坐标线性表示的非齐次坐标线性表示C,DC,D的非的非齐次坐标，
6、利用定比分割公式，易求点齐次坐标，利用定比分割公式，易求点C C、D D分割分割A A、B B的分割比分别是：的分割比分别是：9一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比(3.2)定理定理3.1.设取设取A,B为基底，将这四点的齐次坐标顺次为基底，将这四点的齐次坐标顺次表为表为a,b,则则12(,).AB CD12,ab ab33123312()(,).()bbaaABCAB CDABD因此，10 定理定理3.2 设点列设点列l(P)中四点中四点A、B、C、D的齐次坐标的齐次坐标为为p+iq(i=1,2,3,4).则则1324142312341234()()(,).()()AB CD 我们把等式
7、右端的表达式称为四个数、顺这次序的交比，记作（，），从而点列中四点的交比，等于相应参变数的交比。(3.3)一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比11 证明定理证明定理3.2.重新选择重新选择A,B,为基点，参数表示为基点，参数表示C,D.设设从中解出从中解出p,q,得得于是，于是，A,B,C,D的坐标可表示为的坐标可表示为132412341423()()(,).()()AB CD （，）p+1q=r,p+2q=s.212121,.rsrspq 13143242,rs rs rs由定理由定理3.1，有，有西南大西南大 学学 推论：设点列上四点推论：设点列上四点A A、B B、C C、D D的齐
8、次坐的齐次坐标为标为12,1,2,3,4iipq i则1122334422113344（A B,C D）=一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比西南大西南大 学学例例1 1（习题（习题3.43.4）：求四点）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。顺这次序的交比。13一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1212332 解：取解：取(2,1,-1),(1,-1,1)为基点，将其余两点表为它为基点，将其余两点表为它们的线性组合。易求们的线性组合。易求 (1,0,0)(2,1
9、,-1)+(1,-1,1)，(1,5,-5)(2,1,-1)-3/2(1,-1,1)，故所求交比为：故所求交比为：西南大西南大 学学例例2 2：已知：已知A A、B B分别是分别是y y轴、轴、x x轴上的无穷远点，轴上的无穷远点，C C是斜率为是斜率为1 1的直线上的无穷远点，且的直线上的无穷远点，且（AB,CDAB,CD）=3,=3,求求D D的坐标。的坐标。14一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比解：按题设条件，点解：按题设条件，点A,B,C的坐标分别为的坐标分别为：A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取取A、B为基底，为基底，则由则由(1,1,0)(0,1,0)+
10、(1,0,0)得出得出 =1.=1.设设D DA+B，于是，于是 3=(AB,CD)=/=1/=1/得得=1/3=1/3，故故D D点的坐标为（点的坐标为（1/31/3，1 1，0 0）或）或(1(1，3 3，0).0).15 1.1.交比的组合性质交比的组合性质 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关中的次序有关.改变次序一般会改变交比值改变次序一般会改变交比值.因此，因此，依次序不同，共线四点可以构成依次序不同，共线四点可以构成4!=244!=24个交比个交比.下面来下面来探讨这探讨这2424个交比的规律个交比的规律.二、交比的性质二、
11、交比的性质定理定理3.33.3.将某两点互换，同时互换其余两点，则将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变。交比不变。),(),(),(),(BADCABCDDCBACDAB,),(1),(CDABDCAB1(,).(,)BA CDAB CD 定理定理3.43.4.只限于一对点之间的交换，则交比值转只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数。即变为其倒数。即西南大西南大 学学定理定理3.5.3.5.交换中间两点，则交比值转化为交换中间两点，则交比值转化为1 1与与原值之差原值之差:(AC,BD)=1-(AB,CD):(AC,BD)=1-(AB,CD)111,1,;11 16二、交比的性质二
12、、交比的性质 定理定理3.3定理定理3.5说明：说明：（1）共线四点的排列虽有）共线四点的排列虽有4!=24个，但个，但其互其互异之值只有异之值只有6 6个，若记个，若记(AB,CD)=，则，则6个互异交比值为个互异交比值为：1.1.交比的组合性质交比的组合性质西南大西南大 学学（2 2）不考虑复点及四点重合的情况，当且仅当）不考虑复点及四点重合的情况，当且仅当（AB,CDAB,CD）=-1=-1时，交比值为：时，交比值为：-1,2.-1,2.定义定义：若（：若（AB,CDAB,CD）=-1=-1，则称，则称C C、D D调和分割线调和分割线段段ABAB，或称，或称C C、D D 对线段对线段
13、ABAB成成调和共轭点偶调和共轭点偶。注意注意：在调和分割中，两对点的关系是完全：在调和分割中，两对点的关系是完全对等的。对等的。C C、D D调和分割线段调和分割线段ABAB时，一为时，一为内分点，另一为外分点。调和分割是交比内分点，另一为外分点。调和分割是交比研究的一个重要特例，由此，可引出交比的研究的一个重要特例，由此，可引出交比的几何性质。几何性质。17二、交比的性质二、交比的性质1.1.交比的组合性质交比的组合性质西南大西南大 学学（1 1）三角形中一个角的内角和外角平分线和）三角形中一个角的内角和外角平分线和对边的交点，调和分割对边。对边的交点，调和分割对边。（2 2）一线段被它的
14、中点和这直线上的无穷远）一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割。（详见教材点所调和分割。（详见教材P P3737）18二、交比的性质二、交比的性质2.2.交比的几何性质交比的几何性质23.6(,)1.AB CDOCDOCOA OB (3)定理为线段的中点，则西南大西南大 学学2(,)10()()()()2()()()0(.AB CDOCDAC BDAD BCOCOA ODOBODOA OCOBOA OBOC ODOAOB OCODOCDOA OBOC ODOC 设且为线段的中点，则化简，整理：为中点）19二、交比的性质二、交比的性质2.2.交比的几何性质交比的几何性质证明定理证明定理3
15、.63.6：（必要性）：（必要性）西南大西南大 学学221.1.OCDOCOA OBAA BCDOCOA OBOA OBOA OBOAOAAAABCD （同一法）设为线段的中点，且，在上作一点使（，）则由必要性，有，从而或这样（，）20二、交比的性质二、交比的性质2.2.交比的几何性质交比的几何性质证明定理证明定理3.63.6：（充分性）：（充分性）西南大西南大 学学例例3 32222222222sin,cos,tan,csc,sec,cot.:(,),111,1,.1101sin,1 csc,0,tancot.AB CD 证明：四个数的交比总可以写成证 令 六个交比值是：若 ,可令 若 则可令若 则可令或其余的五个交比都包括在所列出的式子中21三、有关交比的例题三、有关交比的例题
