1、中心力场与角动量中心力场与角动量林志珺林志珺 钱怡婷钱怡婷江扬帆江扬帆 李敏李敏一、小结一、小结中心力场 无论经典力学或是量子力学中,中心力场都占有重要的地位.最重要的几种中心力有：Coulomb场或万有引力场 各向同性谐振子场 无限深球方势阱 这些场量子力学中能够精确求解的少数几个问题中的几个。粒子中心力场中运动的最重要特点是：角动量守恒角动量守恒。中心力场中U=U(r),与 无关，具有中心对称性 在球坐标系中讨论 1.球坐标系中薛定谔方程 2.从量子力学角度说明主量子数n,角量子数l,磁量子数m,自旋量子数ms关系及物理意义 3.氢原子（及类氢原子）4.无限深球方势阱 5.各向同性谐振子
2、6.角动量 7.自旋球坐标系中薛定谔方程分离变量法分离变量法令令 r:(1)(2)(3)球坐标系中薛定谔方程1.角向方程 解（3）式得：解（2）式得：关联勒让德函数：罗德里格公式：（4）（5）（6）（7）球谐函数对对R和和Y分别归一化：分别归一化：得归一化角波函数（球谐函数）：得归一化角波函数（球谐函数）：当当m=0时，时，；当当m=0时，时，。（8）2.径向方程 对径向部分，由（1）式：令解出 代入（1）式可得：（9）（10）（11）离心项：使粒子有向外的倾向（背离原点）主量子数n,角量子数l,磁量子数m,自旋量子数ms关系及物理意义 在解薛定谔方程的过程中,为了得到电子运动状态合理的解,必
3、须引入某些特定的参数,称为量子数,它们是n,l,m和ms.主量子数n=1,2,3,4 角量子数l=0,1,2,3(n-1)磁量子数m=-l,-l+1,-1,0,1,l-1,+l 自旋量子数ms1.主量子数n 主量子数n是决定原子中电子能量以及离核的平均距离的主要因素.它只能取1,2,3,等正整数.n越大,表示电子离核越远,能量越高.n相同的电子处于同一个电子层内.2.角量子数 l:角量子数l是确定原子轨道的形状并在多电子原子中和n一起决定电子的能级的量子数.由 为使其有意义，l=0,1,2,又 所以l=n-1.故：l=0,1,2,n-1.3.磁量子数m：磁量子数m表示原子轨道或电子云在空间的伸
4、展方向,每一个磁量子数代表一个伸展方向.在 中为使：则m必须为整数：为使有意义,lml=l,故：m=-l,-l+1,-1,0,1,l-1,+l4.自旋量子数ms:n,l,m三个量子数是由氢原子波动方程解出,与实验相符合,但用高分辨率的光谱仪得到的氢原子光谱大多数谱线其实是由靠得很近的两条谱线组成,这一现象用前三个量子数是不能解释的.所以引入了第四个量子数,称为自旋量子数ms,它表示电子的两种不同运动状态,这两种状态有不同的“自旋”角动量,其值只能取+1/2或-1/2,或者用箭头和来表示.125.电子层,能级,原子轨道和运动状态与四个量子数的关系：1.电子层：n相同的电子处在同一层,即电子层由一
5、个量子数(n)决定.2.能级(又称亚层)n和l相同的电子处在同一能级,即能级是由两个量子数(n,l)共同决定.3.原子轨道 n,l和m相同的电子处在同一条原子轨道上,即每条原子轨道由n,l和m三个量子数决定.4.电子运动状态 n,l,m和ms四个量子数共同决定一个电子的运动状态,而且是唯一的运动状态氢原子 势能：径向方程：令：则径向方程可写为：引入：和得到：氢原子 1.径向波函数在 的渐近行为：当 时，一般解为：（1）当 时 。故 较大时有：。（2）当 时离心项起主要作用，近似的有：其一般解为：当 时 ，取 。故当 很小时，。氢原子 2.能级与波函数 引入新函数 解出 和 代入径向方程可得：假
6、定 。逐项求导确定展开系数：得氢原子 令同幂次项相等有：则递推公式为：若上式成立，则有：从而：当 趋于无穷大时 趋于无穷大。故级数必须在某处中断。固有 使：所以：氢原子令 则有：由可求得能级：n=1时，n=2时，氢原子 波函数 n=1,l=0,m=0得基态波函数：可求得归一化氢原子波函数为：无限深球方势阱在势阱外，波函数是零；在势阱里，径向方程为：边界条件：u(a)=0.当l=0时，又：R(r)=u(r)/r当r 0时，cos(kr)/r 无穷大。故选择B=0.无限深球方势阱又边界条件要求u(a)=Asin(ka)=0.故ka=n k E.能量为：归一化u(r)可得：可得：当l为任意值时，一般
7、解为：l阶球贝塞尔函数定义为：l阶球诺伊曼函数定义：无限深球方势阱 当x较小时，将sinx,cosx泰勒展开代入球被塞尔和球诺依曼函数有：在原点，球诺依曼函数为无穷大，故选择Bl=0。因此：加上边界条件 故k必须满足：即（ka）是第l阶球贝塞尔函数的零点。球贝塞尔函数是振荡的，有无限多个零点。边界条件要求：是l阶球贝塞尔函数的第n个零点。无限深球方势阱 能量为：波函数为：各向同性谐振子（见例题讲解）23角动量 1.本征值 角动量L各个分量之间不对易：但 与L各个分量对易:即因此，我们希望找到 与L各个分量的共同本征函数。24角动量 引入升降算符 目的：寻找共同本征态寻找共同本征态和故：可求得：
8、若f是 和 的本征函数，那么 也是 和 的本征函数。25角动量存在最高阶梯 ，使存在最低阶梯 ，使26角动量与Lz的共同本征函数由l和m表征：解释了球谐函数的正交性：它们是厄米算符属于不同本征值的本征函数。27自旋1，自旋算符28自旋（更多见知识拓展）2.泡利矩阵和自旋算符291，一电子静止在一振荡磁场中其中 和 为常数。0B0cos()BBt k()00(0)()2xxtabxcdtB（）构造这个体系的哈密顿矩阵。（）这个电子的初始态（时）为处于 轴方向的 上自旋太（即）。确定以后任意时刻 的。（）如果测量S,求出得到的概率。（）迫使完全翻转所需要的最小磁场（）是多大？二、题目讲解二、题目讲
9、解30HB S 00cos()10cos()012zBt SBt zS在的表象中讨论问题：az（）构造这个体系的哈密顿矩阵。若磁场沿 轴方向：31()()()ttt()()dtiHtdt010cos()012Bit 0cos()2Bt()0 (0)()xbxtt（）这个电子的初始态（时）为处于 轴方向的 上自旋太（即）。确定以后任意时刻 的。它满足含时薛定谔方程：设自旋波函数为：320cos()()2iBtt 0cos()()2iBtt 0()exp(sin()2BtAit0()exp(sin()2BtBit(0)11(0)(0)12AB ()(0)2 xxx波函数的初始条件是，轴方向的上自旋
10、态，即S 本征值为的本征态。3312AB00expsin()21()2expsin()2BittBiwt34（c）如果测量 ，求出得到 的概率。xs()22xxababt00expsin()2expsin()2BaitBbit20-=sin(sin(t)22Ba bP 3500(d)=1=BmPBe迫使其完全反转，则最小为多少？362、一个三维谐振子，其势函数为：给出其允许的能量值。221()2V rmr解一：因为 相同，2222rxyz有：2222122xyzHmrHHHm 可分离变量，令：(,)()()()x y zX x Y y Z zxxH XE XyyH YE YzzH ZE Z37
11、可看出每个方程都是一个一维谐振子，所以有：1()2xxEn1()2yyEn1()2zzEn3()2xyzEEEEN()xxxNnnn38解二：径向方程：2222221(1)()02lllml lRREmrRrr为书写简单，采用自然单位 ：(1)m222(1)20llll lRRErRrr是方程的两个奇点，在 的领域，方程渐进地表示为：0,r 0r 22(1)0llll lRRRrr方程有两解：(1)(),ll llR rr r后一解是物理上不可接受的，予以抛弃，所以：()llR rr39r 当时，方程可化为：20llRr R2()exp(2)lR rr得：但在不满足边界条件，所以：2()exp
12、(2)lR rr2()exp(-2)()lR rrr 综上，可令方程的解为：2()=exp(-2)()lllR rrru r22(1)2(23)0lllulruElur 则：40再令：2r方程化为:22313 2()()0222llld udullEudd这正是合流超几何方程，方程中相应的参数为：1(3 2)23 2lEl 整数(,)uF 23(1)(1)(2)1.(1)2!(1)(2)3!41 径向波函数在时趋于，故要求无穷级数中断为多项式：1(3 2),0,1,2.2rrlEn n 23 2rEnl 加上自然单位，得：(23 2)rEnl 2rNnl令，得：3(),0,1,2.2NEENN
13、与之前的解是一样的。42此外，两种方法都可以讨论其简并度：1(1)(2)2NfNN43/()/23(a)()()()/1/2,ziLziL ninffefLL nnenS ne，对于一个能用泰勒级数展开的函数，证明：其中为任意角度。由于这个原因，被称为绕z轴转动的转动生成元。更普遍地，是 方向的转动生成元，在这个意义上，的作用是产生绕 方向角度为 的一个转动。在自旋情况下，转动生成元为。特别的，对自旋。222()1()1()()().2!nnndfd fd fffddnd解：/zLi /()ziLef44()180bx构造一个表示绕 轴旋转的(2 2)矩阵，证明：它使自旋向上()变为自旋向下(
14、)。()/2/2()/222,11()()()22!2!2niniinllnnneeeiiil 使旋量转动 的算符为把它写成(2 2)的矩阵，得：=1+.+.解：()()lnnIll当 为偶数当 为奇数45()/2cos(/2)sin(/2)inneIi=x 当绕 方向，有：()/2+()/2+0=0/21=00=1inzinieiSei 本征值为的本征态为：所以：464，对于（）的共同本征态Y10，求 的可能值及相应概率。解：的可能测量值即本征值为 、0、-，设相应概率 、，计算这三个概率（可以设法找出三个方程将概率解出）总概率为1：+=12,zL LxLxL01110147 为 的本征态，
15、属于本征值 ,则zLm基本对易式：yzzyxL LL Li L 10Y1010zL YmY1010zYLmY求平均值：10101010 xyzzyiLYL L YYL L Y101010100yymYL YmYL Y 11110 xL因此：即：1148此外，的本征方程为：2L221010(1)LYl lY1010zLYmY基本对易式：yzzyxL LL Li L zxxzyL LL Li L 可得：2()xyzzyxi LL LL LL()yxzyzyxLL Li LL L L2yyxzzyxi LL L LL L L1010zYLmY49在 态下，求平均值：10Y2210101010 xyy
16、xzzyxiLiLYL L L YYL L L Y210101010yyxyxiLmYL L YmYL L Y即 22xyLL由于2222xyzLLLL22(1)l lm因此22221/2(1)xyLLl lm2 50即22211111101111由得111/200在 态下，的可能值为 ，概率各为1/2 10YxL515，推广自旋1/2（式4.145和式4.147），自旋1（习题4.31）和自旋3/2（习题4.52）的情况，对于任意自旋是s,给出它们的自旋矩阵。解：此题为在 ，的共同表象中求自旋矩阵。对于任意自旋s,的取值为 。用 代表 为 的态，即 矩阵元 在自身表象 是一对角矩阵zS2Sz
17、S,1,2,.ssssmzSmzSmmmzznmnmSn SmmzS52由式4.136(1)(1)(1)Ssms sm ms m()(1)(1)sm sms m()(1)1nmSn Smsm smn m得1,1mn mb,1nn mb 1nbsnsn 令升降算符xySSiS53同理可得,1()(1)n mnmSn S msm sm,1mn mb54而1/2xSSS1/2ySi SS所以55Classical beat phenomena in quantum optics三、课外扩展三、课外扩展56J-C model The JaynesCummings model(JCM)is a theo
18、retical model in quantum optics.It describes the system of a two-level atom interacting with a quantized mode of an optical cavity,with or without the presence of light(in the form of a bath of electromagnetic radiation that can cause spontaneous emission and absorption).57Collapse and revival pheno
19、mena in the Rabi oscillations of atomic inversion in the JCM58 Different with earlier semi-classical theory of field-atom interaction,in JCM,both atom and the field are quantized.The JCM serves to find out how quantization of the radiation field affects the predictions for the evolution of the state
20、 of a two-level system in comparison with semi-classical theory of light-atom interaction.59Formulation The Hamiltonian that describes the full system 6061EigenstatesAs the states and are degenerate with respect to for all n,the next step is to find the fine states to diagnolize in the substatesUsin
21、g the degenerate perturbation theory,we get Where is the Rabi frequency 62 The eigenstates associated with the energy eigenvalues are given by Where the angle is defined through63Schrdinger picture dynamics Weve got the fine states of the JCM Hamiltonian,It is now possible to abtain the dynamics of
22、a general state by expanding it on to the noted eigenstates The initial state of the system is then the state vector for times is just given by64JCM with a Kerr nonlinearity Hamiltonian is expressed in the form We assume that the field is initially prepared in a superposition6566 In the state vector
23、 (2)we obtain the expectation value of denoted by W(t)W(t)is a weighted sum of individual Rabi oscillations.Thus its behaviors strongly depend on the amplitude A(n)and generalized Rabi frequency Q(n)of each Rabi oscillator.67 if the field is initially prepared in such states,where the AVG of the opt
24、ics is We would like to put our emphasis on the following case:The oscillator at is called principal oscillator(PO)while the corresponding frequency is referred to as the principal frequency(PF).68Principal beat When 5=6,the PF is very close to the frequencies of two nearest-neighbor oscillators.The
25、n,the PO together with them forms steady beat”Such beats are named principal beats which determine the period of atomic inversion.We can get 2 two principal beat,the right and the left 69 respectively,where the superscripts L(R)denote the left(right)principal beat.In fact,tP=tP,so that ttt=tt,=tP.in
26、 this case the collapse and revival in atomic inversion should be called the super-collapse and-revival.70 The initial states of the optical field In the following we will discuss three initial states for the field,a binomial state(BS),a thermal state(TS),and a squeezed vacuum state(SV),(All these states can be or have been produced in experiment)
