1、 - 1 - 抚州市 2020 年高中毕业班教学质量监测卷 文科数学 说明： 1.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集 U1， 0， 1， 2， 3， 4， 集合 A1， 1， 2， 4， 集合 BxN|y42x， 则 A( U B) A.1，2，3，4 B.1，4 C.1，2，4 D.0，1 2.已知 i 为虚数单位，z 2 1i 12
2、i，则复数 z 的虚部是 A. 3 2 B. 3 2 i C. 1 2 i D. 1 2 3.已知等差数列an满足 a2a46，a5a710，则 a18 A.12 B.13 C.13 3 D.14 3 4.已知 a，bR，则“a2b0“是“ a b 2”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 11 32 3 2 ,5,log 2 的大小关系是 A. 11 32 3 25log 2 B. 11 32 3 52log 2 C. 11 32 3 log 252 D. 11 32 3 5log 22 6.已知 tan( 6 ) 3 5 ，则 s
3、in(2 3 ) A. 8 17 B. 8 17 C. 15 17 D. 15 17 7.设 x，yR，a(x，1)，b(2，y)，c(2，2)，且 ac，b/c，则|2a3bc| A.234 B.26 C.12 D.210 8.设函数 f(x)ex2x4 的零点 a(m， m1)， 函数 g(x)lnx2x25 的零点 b(n， n1)， 其中 mN，nN，若过点 A(m，n)作圆(x2)2(y1)21 的切线 l，则 l 的方程为 - 2 - A.y 3 1 3 x B.y3x1 C.y1 D.x0，y1 9.若点(x，y)在不等式组 10 10 330 xy xy xy 表示的平面区域内
4、，则实数 z 21 1 y x 的取值范围是 A.1，1 B.2，1 C. 1 2 ，1 D.1， 1 2 10.已知三棱锥 ABCD 的顶点均在球 O 的球面上，且 ABACAD3，BCD，若 H 是点 A 在平面 BCD 内的正投影，且 CH2，则球 O 的表面积为 A.43 B.23 C.9 D.4 11.函数 f(x)lnx 1 4 x2的大致图像是 12.已知点 F 为双曲线 E： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，若在双曲线 E 的右支上存在点 P，使得 PF 中点到原点的距离等于点 P 到点 F 的距离，则双曲线 E 的离心率的取值范围是 A.(1，3) B.
5、(1，3 C.(1，3 D.3，3 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两个部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.中华文化博大精深，丰富多彩。 “纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一， “组合花纹”是常见 的一种传统纹样，为了测算某组合花纹(如图阴影部分所示)的面积，作一个半径为 1 的圆将其 包含在内，并向该圆内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分，据此可估计阴 影部分的面积是 。 14.抛物线 yax2(a0)的焦点与
6、椭圆 2 2 1 10 y x的一个焦点相同，则抛物线的准线方程 - 3 - 是 。 15.已知函数 f(x) 2 log,4 23,4 x x axx ，对任意 x1，x2(，)，都有 12 12 0 f xf x xx ， 则实数 a 的取值范围为 。 16.在三角形 ABC 中， |AB|2， 且角 A， B， C 满足 2 7 2sin 24 C 1 2 cos2(AB)， 三角形 ABC 的面积的最大值为 M，则 M 。 三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分。 17.(本小题满分 12 分)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状走向速度厚度颜色 等的
7、变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云， 地上雨淋淋” “日落云里走， 雨在半夜后” 小波同学为了验证 “日落云里走， 雨在半夜后” ， 观察了所在地区 A 的 200 天日落和夜晚天气，得到如下 22 列联表： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd (1)根据上面的列联表判断，能否有 99%的把握认为“当晚下雨”与“ 日落云里走出现”有 关? (2)小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天 气中按分层抽样法抽取 4 天，再从这 4 天中随机抽出 2 天进行数据分析，求抽
8、到的这 2 天中 仅有 1 天出现“日落云里走”的概率。 18.(本小题满分 12 分)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S749，a2a818。 (1)求数列an的通项公式 (2)若 S3、a17、Sm成等比数列，求 S3m。 19.(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为对角 线的交点，E 为 PD 上的一点，PD平面 ABE，PA平面 ABCD，且 PA2，AB1，AC 5。 (1)求证：ABAD。 (2)求三棱锥 PABE 的体积。 - 4 - 20.(本小题满分 12 分)已知离心率为 2 2 的椭圆 C： 22 22 1(0
9、) xy ab ab 的左顶点为 A，左 焦点为 F，及点 P(4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。 (1)求椭圆 C 的方程 (2)斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记PMPN，线段 MN 上的点 Q 满足MQQN，试求OPQ(O 为坐标原点)面积的取值范围。 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lnxax。 (1)若函数 f(x)在定义域上的最大值为 1，求实数 a 的值 (2)设函数 h(x)(x2)exf(x)，当 a1 时，h(x)b 对任意的 x( 1 3 ，1)恒成立，求满足条件 的实数 b 的最小整数值。 请考
10、生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的参数方程为 6cos 1 sin xt yt (t 为参数)， 在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin( 4 )20。 (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程。 (2)设点 P 是圆 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最小值 23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数
11、f(x)|x2|x1，函数 g(x)|x4|x2m1。 (1)当 f(x)0 时，求实数 x 的取值范围。 (2)当 g(x)与 f(x)的图像有公共点时，求实数 m 的取值范围。 - 5 - 2020 年高三质量监测文科数学参考答案 1. 【答案】B. 解析: 依题意可知， 1,0,1,2,3,4U ，0,1,2B ，所以 1,3,4 U C B ， 所以()-1,4 U AC B. 故选 B. 2. 【答案】D 解析: (1 i)(12i)31 222 zi ，所以z的虚部是 1 2 . 故选 D. 3. 【答案】B 解析: 由题意，设公差为 d，则 1064 63 11 11 dada
12、dada ，解得 3 2 3 5 1 ，da， 所以 181 1713aad，故选 B. （巧解） 由题意， 数列 n a是等差数列， 可得 3 26=10aa6，2， 所以 63 2 6 33 aa d ， 183 18-313aad（） ，故选 B. 4. 【答案】B. 解析:当20ab成立时，不妨设0ab，此时不满足2 a b ，所以不是充分条件；当 2 a b ，则有 2ab，即20ab，所以是必要条件. 故选 B. 5. 【答案】D. 解析：122 0 3 1 ， 33 1 1log 2log3 2 ， 1 2 111 5 254 所以 11 32 3 5log 22 6. 【答案】
13、D. 解析：设 6 ，则22 3 ， 3 tan()tan 65 ， 2 2tan15 sin2. 1tan17 7. 【答案】A. 解析: - 6 - 2201(1,1),/ /4202(2, 2)acxxabcyyb 23106232 34abcabc（ ， ）,. 8. 【答案】A. 解析: 依题意，f(0)30，f(1)e20，且函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)的零点 a (0,1)，g(1)30，g(2)ln 230，且函数 g(x)在(0，)上是增函数，因此函数 g(x)的 零点 b(1,2)，于是=0=1(0,1)mnA，设切线 l 的方程为1(),ykxk 显然 存在
14、故由点线距离 公式或平面几何知识，可得 3 3 k ，选 A. 9. 【答案】C. 解析: 由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，其中 )(1,0B ， )(0,1C ， 设 1 1 2 21 y kz x 表示定点 1 ( 1,) 2 P 与)xy（ ，连线的 斜率，显然 minmax 11 , 42 PBPC kkkk-， 故 1 , 2 1 z ，选 C. 10. 【答案】 C. 解析: 因为 3ABACAD ，所以由三角形全等可得HB HCHD ， 即H是BCD的外心，即H是斜边BD的中点，则球心 O 在AH上，由勾股定理可得 222 ABBHAH ，得 1AH ，设球 O 的半径为
15、R，则 2 2 12RR，所以 3 2 R . 所 以球 O 的体积为 2 49R，故选 C. 11. 【答案】A. 解析：因为 f (x)1 x 1 2 x2x 2 2x (x0)，所以当 02时， f (x)0，所以函数 f (x)在(0,2)上是增函数，在(2，)上是减函数，故 C，D 选项错 误. max( ) ( 2)fxf 1 2 ln2 1 2 0. 故选 A. 12. 【答案】 B. - 7 - 解析: 设PF中点为M，双曲线E的左焦点为H，由题意知=OMPF， 当点P异于双曲线E的右顶点时，连接PH， 则由三角形中位线性质，可得 1 = 2 PHPF， 且2PHPFa，则=2
16、PFa，又因为2HFc，由三角形任意两边之和大于第三边 可得， 242 224 aac aca ，即13 c a . 当点P是双曲线E的右顶点时，则 2 ca OMa ，PFca ， 由题意得 2 ca aca ，即3e. 综上，得13,13. c e a 故选 B. （填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分） 13. 【答案】 3 5 . 解析： 半径为 1 的圆的面积 圆 S，设阴影部分的面积为 S阴， 该圆内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分， 600 1000 阴 圆 S S ，解得 S阴 6006003 . 1000
17、10005 圆 S 估计阴影部分的面积是 3 5 14.【答案】3y . 解析： 椭圆 2 2 1 10 y x的焦点为(0, 3)， 抛物线) 0( 2 aaxy的焦点坐标为(0,3)， 抛 物线的准线方程是3y . 15. 【答案】 5 0 8 a. 解析: 由题意，( )f x在R上单调递增， 20 832 a a ，解得 5 0 8 a. - 8 - 16. 【答案】 3 . 3 解析: 2 8sin2cos2()7 2 C AB，即 2 8sin2cos2()70 2 C AB 因为 2 1 cos 8sin2cos2()82cos2 22 CC ABC 22 44cos2cos24
18、4cos2 2cos14cos4cos6CCCCCC ， 即 2 4cos4cos10CC ，解得 1 cos 2 C ，所以 2 3 C ， 设cba,分别为角CBA,的对边， 由余弦定理得 222 2coscababC，即 22 4abab . 又因为 22 423ababababab，即 4 3 ab ，当且仅当= a b时等号成立. 所以三角形 ABC 的面积 133 sin. 243 SabCabM 17 （本小题满分 12 分） 解析： （1）根据列联表,计算 2 2 ()n adbc K abcdacbd 2 200 (90 30 10 70) =12.56.635 100 10
19、0 160 40 ， 5 分 所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“ 日落云里走出现”有关. 6 分 （2）从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取 4 天，则从出现“日落云里走”的天气中应 抽取 1 天，从未出现“日落云里走”的天气中应抽取 3 天. .9 分 随机抽出 2 天，总的情况数为 6 种，仅有 1 天出现“日落云里走”的情况数为 3 种，所以根 据古典概型的公式得 31 62 P 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解析:（1）设等差数列 n a的公差为d， n SQ为等差数列 n a的前n项和， 7 49S ， 82 18aa 4 2 7 5 4 85 7497 2189
20、Saa aaaa ，解得2d ，4 分 - 9 - 4 421 n aandn. .6 分 （2）由（1）知 2 1 21 2 n nn Sn 8 分 3 S、 17 a、 m S成等比数列， 2 317m S Sa， 9 分 即 22 933m ，解得11m， 11 分 因此， 2 3 331089. m S .12 分 19.（本小题满分 12 分） 解析: (1) , PAABCD ABPA ABABCD 平面 平面 2 分 , PDABE ABPD ABABE 平面 又 平面 4 分 且 ,PAPDPABPAD ADPAD平面平面 ABAD. 6 分 (2)由（1）知底面ABCD为长方
21、形， ADAB ，1= 5ABAC， AD=2, 所以 E 为 PD 的中点， 7 分 又,ADPA ABAPA，AD平面PAB， EPABPAB点 到平面的距离等于点D到平面的距离的一半. 9 分 11 . 23 P ABEE PABD PAB VVV .12 分 20. （本小题满分 12 分） 解析： （1）依题意： 2 2 2 4 c a ac ，解得 2, 2 2 2 c b a ， 4 分 - 10 - 所以椭圆C的方程是 22 1 84 xy ； 5 分 （2）解法一： 设 112233 ( ,),(,),(,)M x yN xyQ x y，则 2222 1111 222222
22、2 2222 11 8484 1 8484 xyxy xyxy ， 相减得： 12121212 ()()()() 1 8(1)(1)4(1)(1) xxxxyyyy (*) 7 分 又由PMPN，知 12 4 1 xx ， 12 0 1 yy ， 由MQQN，知 12 3 1 xx x ， 12 3 1 yy y ， 9 分 代入(*)式得： 3 1 ( 4)01 8 x ，即 3 2x ， 10 分 又因为点Q在椭圆内，所以 22 3 3 ( 2) 10 |2 84 y y ， 11 分 所以OPQ 的面积 33 1 4| 2| (0,2 2) 2 Syy. 12 分 解法二：设 11223
23、3 ( ,),(,),(,)M x yN xyQ x y，则 12 12 4(4)xx yy ， 12 3 1 yy y ， 7 分 设直线l的方程为4(0)xtyt，代入椭圆C的方程得： 22 (2)880tyty，由0得 2 2t ，| |2t . 8 分 所以 2 2 2 2 2 8 (1), 2 8 2 t y t y t ，消去 2 y得到 22 2 (1)8 2 t t ， 所以 2 3 222 228282 11(2)(1)(1)2 ytt y ttt , 11 分 因此 OPQ 的面积 3 14 4|(0,2 2) 2| | Sy t . 12 分 解法三：设直线l的方程为4(
24、0)xtyt，代入椭圆C的方程得： - 11 - 22 (2)880tyty，由0得 2 2t ，| |2t . 6 分 所以 12 2 12 2 8 , 2 8 2 t yy t y y t ， 2 12 |1|MNtyy， 7 分 2 2 111 PQPMMQMNMNMN ， 原点O到直线l的距离 2 4 1 d t 9 分 所以OPQ 的面积 2 12 2 2 124 1 | 2|1| 1 Styy t 12 2 4 | |1| yy 因为 1 12 2 y yy y ，所以 1 2 122 1 2 2 4 | |1| y y Syy y y 12 12 4 | y y yy 4 (0,
25、2 2) | | t . 12 分 21.（本小题满分 12 分） 解析： （1）由题意，函数的定义域为0,， 1 fxa x 当0a 时， 1 0fxa x ， f x在区间0,上单调递增， ( )f x在定义域上无最大值. .2 分 当0a时，令 1 0fxa x ， 1 x a , 由 0fx ，得 1 0,x a ， 0fx ， 1 ,x a , f x的单调递增区间为 1 0, a ， f x的单调递减区间为 1 , a ,4 分 所以函数 max 2 111 ( )( )= ( )ln11,f xf xfa aae 极大值 - 12 - 即 2 ae为所求. .6 分 （2）由 2
26、ln x h xxexax，因为 h xb对任意的 1 ,1 3 x 恒成立， 即2ln x bxexax，当 1a时，对任意的 1 ,1 3 x 恒成立， 1a，0x. 2ln2ln xx xexaxxexx, 只需2ln x bxexx对任意的 1 ,1 3 x 恒成立即可. 9 分 构造函数 2ln x g xxexx, 11 111 xx gxxexe xx , 1 ,1 3 x ，1 0x ,且 1 x t xe x 单调递增， 1 2 1 20 2 te ， 1 10te ,一定存在唯一的 0 1 ,1 2 x 骣 桫 ，使得 0 0t x 即 0 0 1 x e x = ， 00
27、 lnxx . g x单调递增区间为 0 1 , 3 x ，单调递减区间为 0,1 x 0 00000 max 0 1 2ln124, 3 x g xg xxexxx x , b的最小整数值为3. .12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 44： 极坐标系与参数方程 解析： （1）由 6cos 1 sin xt yt 消去参数t，得 22 6+11xy， 所以圆C的普通方程为 22 6+11xy. .2 分 由sin()2=0 4 ，得sincos =2， .3 分 所以直线l的直角坐标方程为20xy. .5 分 （2）设点P的坐标为6cos , 1+sin tt，则点P到直线l的距离为
28、 - 13 - 32cos 6cos +1 sin24 22 t tt d ， .8 分 当cos1 4 t 时，d取最小值， min 323 2 1 22 d. .10 分 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 解析： （1）当( )0f x 时，即|2|1xx 1 分 即有 12 02 xx x 或 12 02 xx x ，即 x 或 x 2 1 ， 4 分 故实数 x 的取值范围为（， 2 1 ） ； 5 分 （2）因为函数 124mxxxg与函数( )yf x的图像有公共点， 则|4|21xxm |2|1xx 有解. 6 分 即 2|2|4|mxx有解, 7 分 |2|4| |2-4 |=2xxxx（），所以221mm，. 所以当 xg与 xf的图像有公共点时，m的取值范围为1,). 10 分
