1、第十二章轴对称复习丹赵路中学 张发海本本 章章 知知 识识 结结 构构生活中的对称生活中的对称轴对称轴对称轴对称图形的坐标特征轴对称图形的坐标特征等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的判定等边三角形的判定含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质两个图形成轴对称两个图形成轴对称轴对称图形轴对称图形等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形轴对称的性质轴对称的性质中垂线的性质与判定中垂线的性质与判定画轴对称图形画轴对称图形应应 用用轴对称的画法轴对称的画法练习：练习：1 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称、
2、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（图形的是（）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C2、小明照镜子的时候，发现、小明照镜子的时候，发现T恤上的英恤上的英文单词在镜子中呈现文单词在镜子中呈现“”的样子，的样子，请你判断这个英文单词是（请你判断这个英文单词是（）(A)(B)(C)(D)A 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成
3、轴成轴对称，则对称，则C C是多少度？是多少度？65 40 FEDCBAL650750CDOBPANM解:PAONONPA 与 关于对称为的中垂线（）DA=DP（）CB=CP同理可有：PCDPC+PD+CDPCDBC+AD+CDABAB15cmPCD周长周长又周长为15cmPPAONBOMABMON已知：为内一点。与 关于对称，P与 关于对称。若长为15cm求：PCD的周长.4.(2)(1)图图(1)能与图能与图(2)重合吗？重合吗？这条直线就是这条直线就是对称轴对称轴图图(1)能与图能与图(2)重合吗？重合吗？这条直线也是这条直线也是_对称轴对称轴关于这条直线对称关于这条直线对称2.两个图形
4、两个图形关于某直线对称：关于某直线对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 它能与另一它能与另一个图形重合，那么我们就说这两个图形个图形重合，那么我们就说这两个图形_。应用应用1、利用轴对称，可以设计出精美的图案。利用轴对称，可以设计出精美的图案。请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案mABCFDE3.定义：经过线段的中点且定义：经过线段的中点且与之垂直的直线就叫与之垂直的直线就叫_ 也叫也叫中垂线中垂线4.轴对称的性质：轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点的连垂直平分线
5、分线那么对称轴是对称点的连垂直平分线分线即：对称点的连线被对称轴垂直且平分即：对称点的连线被对称轴垂直且平分.垂直平分线垂直平分线是是是不是达达 标标 题题 1.找到一组对应点，2.画出以这两点为顶点的线段的垂直平分线。5.如何画如何画作法：作法：2、连接、连接AB、BC、CA。ABC即为所求。即为所求。：如图，已知：如图，已知ABC和直线和直线 ，作出与，作出与ABC关关于直线于直线 对称的图形。对称的图形。1、分别作出点、分别作出点A、B关于关于直线直线 的对称点的对称点A、B；BACAB6.6.轴对称图形的画法轴对称图形的画法 几何图形都可以看作由点组成，几何图形都可以看作由点组成，我们
6、只要分别作出这些（特殊）点关我们只要分别作出这些（特殊）点关于对称轴的对应点，再连接对应点，于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；就可以得到原图形的轴对称图形；同样：同样：对于一些由直线、线段或对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如：端点）的对称点，连接些特殊点（如：端点）的对称点，连接对称点，就可以得到原图形的轴对称图对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。形。7.对称图形（对称点）的坐标关系；点（点（x，y)关于关于x轴对称的电的坐标为：轴对称的电的坐标为：（，）；）；点（点（x，y)关于关于y轴对称的电
7、的坐标为：轴对称的电的坐标为：（，）；）；X -y-X y8.如何利用坐标法画轴对称图形：如何利用坐标法画轴对称图形：只要先求出已制知图形只要先求出已制知图形中的一些特殊点（如多边形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。得到这个图形的轴对称图形。在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知ABCABC顶点顶点A,B,CA,B,C坐标分别为：坐标分别为：A(-2,4),B(-3,2)A(-2,4),B(-3,2)，C(-1,1)C(-1,1)，试作出试作出ABCABC关于关于y y轴的对称轴的
8、对称 ABC.ABC.XY0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -112345ABC.A.B.C(-2,4)(-3,2)(-1,1)(1,1)(3,2)(2,4),作法：作法：1.1.由由Y Y轴对称的坐标特点可知轴对称的坐标特点可知A A，B B，C C各对称点坐标分别为：各对称点坐标分别为：A(2,4),A(2,4),B(3,2)B(3,2)，C(1,1).C(1,1).2.2.在坐标系中作出点在坐标系中作出点ABCABC3.3.连结连结ABAB，AC BC.AC BC.ABCABC就是所求的三角形就是所求的三角形.1 1 等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）相等（等
9、边对等角）2 2等腰三角形顶角的平分线，等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重底边上的中线和底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）合（等腰三角形三线合一）填空题：填空题：1.在在 ABC中，已知中，已知AB=AC，且，且B=80，则，则C=度，度，A=度度.2.在在ABC中，已知中，已知AB=AC，且，且 A=50，则，则B=度，度，C=度度.C=80A=20B=65C=6555 55 和 55 55 或7070和 4040.3在在.等腰等腰 ABC中，如果中，如果AB=AC，且一个角等于，且一个角等于70，求另两个角的度数为，求另两个角的度数为 1 1、“有一个等腰三角形的
10、两条边长有一个等腰三角形的两条边长分别是分别是4cm和和8cm，则周长为，则周长为 20cm2 2、若等腰三角形的一个角为、若等腰三角形的一个角为40400 0，则另外两个角的度数为则另外两个角的度数为700,700 或或 400，10003 3、已知，如图、已知，如图:AB=AC AD=BC=BC:AB=AC AD=BC=BC则则A=A=ABCD360练习：已知，如图AB=AB=CD AD=BD则BAC=ABCD1080 4、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线的垂直平分线交交AC于于D，如果，如果BC=10cm，那么，那么BCD的周长是的周长是_cm.AB
11、CDE26cm5、如图，、如图，P、Q是是ABC边上的两点，边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求求BAC的度数。的度数。PABCQ01206、如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AD CF （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由。AFBDEC（1）证明：ACB=90且BFAC FBC=90又AC=BC 1=45，2=4512 DEAB DEB=FEB=90BD=DC BF=DC在ACD和CBF中AC=CBACD=CBFDC=FB ACD CBF (SAS)3=CFB34
12、4+CFB=90 4+3=905=90 AD CF5676=7=45 BD=BF如图：点如图：点B、C、D、E、F在在MAN的边上，的边上，A=15，AB=BC=CDDE=EF，求，求 MEF的度数。的度数。ABCDEFMN答：答：MEF的度数的度数=90 10.等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简写成：这个三角形是等腰三角形。简写成：等角等角对等边对等边11.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。1、等腰三角形的判定方法有下列几、等腰三角形的判
13、定方法有下列几种：种：。2、等边三角形的判定方法有以下几、等边三角形的判定方法有以下几种：种：。3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是是 。4、运用等腰三角形的判定定理时，应注、运用等腰三角形的判定定理时，应注意意 。1 1定义定义 2 2判定定理判定定理 条件和结论刚好相反条件和结论刚好相反在同一个三角形中在同一个三角形中1 1定义定义 2 2推论推论1 1 3 3推论推论2 212.用法归纳用法归纳 13.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：在已知：在ABC中，中，ABAC2a，ABCACB15，CD是
14、腰是腰AB上的高上的高求：求：CD的长的长 计算：计算：等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15，腰长为，腰长为2a，求腰上的高，求腰上的高ABCD解：解：ABCACB15，DACABCACB 1515=30 CD2121AC2aa(在直角三角形中，如果一个在直角三角形中，如果一个锐角等于锐角等于30，那么它所对的直角边，那么它所对的直角边等于斜边的一半等于斜边的一半)BDC=90ABCDABCDE 在 ABC中A=60 AB=AC，点点D是是AC的中点的中点CE=CD求证：求证：（1）BD=DE.（2）若）若DF BC于点于点F，则，则BF与与EF有何关系？有何关系？F证明：证明：（1 1）
15、AB=AC A=60 AB=AC A=60 ABC ABC是等边三角形是等边三角形.ABC=2 AB=BCABC=2 AB=BCD D是是ACAC的中点的中点 1=ABC1=ABC123BF=EFBF=EF BD=DE DFBD=DE DF BCBC 2 2=3+E=3+E CE=CDCE=CD 3=E 3=E BD=DE.BD=DE.E=E=2 2 2121E=E=2 2（2 2）BF=EFBF=EF1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2,-3)(2,3)(-1,-2)(1,2)(6,-5)(-6,
16、5)(0,-1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)与点与点P(8,b+2).若点若点p与点与点p关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.若点若点p与点与点p关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.练 习246-20(抢答抢答)1.如图，ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道a上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵
17、站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABaD即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点抽水站应建在河边的点D处，处，CE作法：作法：作点作点B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,连接连接AC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。证明：在直线证明：在直线 a 上另外任取一点上另外任取一点E，连接，连接AE.CE.BE.BD,E E E点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,作业：ACBEFMN 如图：点如图：点C C是线段上一点，分别
18、以为边是线段上一点，分别以为边作等边和，连接，与交于作等边和，连接，与交于 点。你能得到点。你能得到那些结论？并选择一个加以证明。那些结论？并选择一个加以证明。聚焦中考 ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE AB于E，作DFAC于F，求证：BE=CFABCDEFM4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道a上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABaD即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点抽水站应建在河边的点D处，处，CE作法：作法：作点作点B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,连接连接A
19、C交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。证明：在直线证明：在直线 a 上另外任取一点上另外任取一点E，连接，连接AE.CE.BE.BD,E E E点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,2、某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点
20、点对称点点D,2.作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB.EDMNGH 3.如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，天的最短路线，作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F,2.作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接EF
21、分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH4.如图，在RtABC中，C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，CAE：DAE=1：2，求B的度数。AEDBC5.如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC6.6.如图：在如图：在ABCABC中，中，DEDE是是ACAC的垂直的垂直平分线，平分线，AC=5AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等的周长等于于1313厘米，则厘米，则ABCABC的周长的周长是是 。ABDEC18厘米厘米三三.（等腰三角形（等腰三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等腰
22、三角形的等腰三角形的性质性质.等腰三角形的两个底角相等。（等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（底边上的高互相重合。（三线合一三线合一）2 2、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（个角所对的边也相等。（等角对等边等角对等边）四四.（等边三角形（等边三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个角都相等，并且每
23、一个角都等于等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。3.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半。所对的直角边等于斜边的一半。1、等腰三角形的一个角为100，底角为_2、等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。4、如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC练习练习040619（10cm）5、已知，如图：、已知，如图：ABC中中 AB=AC E为为AC延长线上的延长线上的一点且一点且CE=BD DE交交BC于于F 求证：求证：DF=FEABCDEFG证明：过点D做DG CE交BC于G，12则，1=2 ，3=EAB=AC2=B 1=BBD=DG3 CE=BDCE=DG45在DGF和 ECF中，GDCEE543 DGF ECF （AAS)DF=EF折叠（对折）
