1、第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-1-知识梳理双基自测2311.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;如果f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)=0 第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-3-知识梳理双基自测231检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取
2、得.f(x)=0 极大值 极小值 第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双基自测2313.函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求f(x)在(a,b)内的;将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3、f(a)f(b)f(a)f(b)极值 f(a),f(b)第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数
4、与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双基自测234152.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数 答案解析解析关闭因为导数大于0的区间是函数的递增区间,导数小于0的区间是函数的递减区间,所以由图象可知在区间(4,5)内f(x)0,故f(x)在区间(4,5)内是增函数.答案解析关闭C 第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理
5、核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双基自测234153.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2 答案解析解析关闭 f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2.易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)的极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.答案解析关闭D 第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-8-考点1考点2考点3y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行
6、.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-9-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-10-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-11-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核
7、心考点学科素养核心考点-12-考点1考点2考点3解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,
8、x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=x-aln x(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(
9、2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点1考点2考点3从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极
10、值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-22-考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(
11、a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.解(1)对f(x)求导,得f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-23-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极
12、值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-24-考点1考点2考点3当x0;当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,从而f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-25-考点1考点2考点3第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-26-考点1考点2考点3解(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).当且仅当x
13、=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)内单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),即(x-2)ex+x+20.由(1)知,f(x)+a在定义域上单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-10时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)由题意知函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a.若a0,则f(x)=ex-a0,故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上单调递增;若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)=ex-a0;因此,f(x)在(-,ln a)内单调递减,在(ln a,+)内单调
14、递增.第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-30-考点1考点2考点3(2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上单调递增,而f(1)0,所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点.第三章第三章3.2导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 知识梳理核心考点学科素养核心考点-31-考点1考点2考点3设此零点为,则有(1,2).当x(0,)时,g(x)0;所以g(x)在(0,+)上的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3).由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.
