1、高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Ba3b3C2ab1Dlg（ab）12已知sin（30+）+cos，则sin（2+30）（）ABCD3在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP的位置关系是（）A相交B平行C异面但不垂直D异面且垂直4关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）的解集为（）Ax|x1Bx|x1或xCx|x或x1Dx|1x5满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72，则（）
2、A4B+1C2D16一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A9B8C10D127已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2BsinAsinC，1+，则B（）ABCD8若数列an的通项公式为an，则满足an的最小的n的值为（）A1009B1010C1011D10129已知m，n0，+3，则m+n的最小值为（）A3B9C6D410在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若tanC，cosA，b3时，则ABC的面积为（）A3BCD11设Sn是数列an的前n项和，且Sn2an+n（nN*），则an的通项公式为an（）A23nB23nC12nD12n12长方体ABC
3、DA1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中AA12，底面ABCD是正方形，则OA与平面ABCD所成角的大小为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分13若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为 14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，c3，则a 15已知ann2tn+2020（nN*，tR），若数列an中最小项为第3项，则t 16在ABC中，cosA+cosB，AB2当sinA+sinB取最大值时，ABC的外接圆半径为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17ABC中，
4、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中（1）若a2，b，求边c；（2）若sinCcosA，求角C18已知函数f（x）sin（x）+cos（）（1）求函数f（x）在区间，上的最值；（2）若cos，（，），求f（2+）的值19数列an满足a11，anan+1（1+2an）（nN*）（1）求证：数列是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+anan+1，求正整数n的最小值20如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面ABCD，底面ABCD是矩形，点E是AD中点，PBABAE2（1）求证：平面PCE平面PBE；（2）求点D到平面PCE的距离21新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，
5、为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）101x2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22已知等差数列an满足a54，2a6+a918，数列bn的前n项和为Sn，满足Sn2bn1（1）求数列an与bn的通项公式；（2）若任意nN*，a1b1+a2b2+anbn（n2）t+2恒成立，求实数t的取值范围参考答案一、选
6、择题（共12小题）.1若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Ba3b3C2ab1Dlg（ab）1解：取a1，b20，则a2b2，2ab1，lg（ab）1ACD不正确另一方面：考察函数yx3在R上单调递增，ab，a3b3因此B正确故选：B2已知sin（30+）+cos，则sin（2+30）（）ABCD解：sin（30+）+cos，即 cos+sin+cos，花简可得sin（30）则sin（2+30）sin（260+90）cos（260）12sin2（30）12，故选：B3在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线A
7、P的位置关系是（）A相交B平行C异面但不垂直D异面且垂直解：在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，MNBC，APBC，MNAP，且直线MN与直线AP异面，故选：D4关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）的解集为（）Ax|x1Bx|x1或xCx|x或x1Dx|1x解：不等式可化为（ax1）（x1）0，a0，原不等式等价于（x）（x1）0，且不等式对应的一元二次方程的根为 和1；又 1，原不等式的解集为x|x1故选：A5满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72，则（
8、）A4B+1C2D1解：0.618是黄金分割比m的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72，所以2故选：C6一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A9B8C10D12解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是一个棱长与底面边长都是2的正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体该几何体的表面积S故选：D7已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2BsinAsinC，1+，则B（）ABCD解：因为sin2BsinAsinC，由正弦定理可得b2ac，而+，所以a2+c2（1+）ac，由余弦定理可得a2+c2b22accosB，所以（1+）acac2accosB，可得cosB
9、，又B（0，），所以可得B，故选：B8若数列an的通项公式为an，则满足an的最小的n的值为（）A1009B1010C1011D1012解：an，ann1010；又因为n为正整数；故满足an的最小的n的值为1011；故选：C9已知m，n0，+3，则m+n的最小值为（）A3B9C6D4解：m，n0，+3，则m+n（m+n）（）（5+）3，当且仅当且+3即m1，n2时取等号，故选：A10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若tanC，cosA，b3时，则ABC的面积为（）A3BCD解：因为tanC，C（0，），所以sinC，cosC，又因为cosA，A（0，），所以sinA，sinBs
10、in（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+，由正弦定理可得，而b3，所以a2，所以SABCabsinC2，故选：B11设Sn是数列an的前n项和，且Sn2an+n（nN*），则an的通项公式为an（）A23nB23nC12nD12n解：Sn是数列an的前n项和，且Sn2an+n（nN*），a12a1+1a11；当n2时，Sn12an1+n1；可得：an2an2an1+1an2an11an12（an11）；a112；an12n；an12n；故选：C12长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中AA12，底面ABCD是正方形，则OA与平面ABCD
11、所成角的大小为（）ABCD解：长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O的球面上，设球的半径为R，则R3，解得R2，从而长方体的对角线d2R4，设ABa，AA12，底面ABCD是正方形，则a2+a2+2216，解得a，连结AC，过点O作OE平面ABCD，交AC于点E，则OAE是OA与平面ABCD所成角，OA2，OE1，sinOAE则OA与平面ABCD所成角的大小为故选：A二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分13若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，圆台的母线与高所在直线的夹角为，轴截面如图所示；所以圆
12、台的高为h故答案为：14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，c3，则a解：因为b2，c3，可得bccosA6cosA，可得cosA，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA4+9223，可得a故答案为：15已知ann2tn+2020（nN*，tR），若数列an中最小项为第3项，则t（5，7）解：已知ann2tn+2020（nN*，tR），数列an中最小项为第3项，求得 5t7，故答案为：（5，7）16在ABC中，cosA+cosB，AB2当sinA+sinB取最大值时，ABC的外接圆半径为2解：设sinA+sinBt，因为cosA+cosB，所以3+t2sin2A+2s
13、inAsinB+sin2B+cos2A+2cosAcosB+cos2B2+2cos（AB），所以cos（AB），所以当AB时，tmax1，C，此时ABC的外接圆半径为2故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中（1）若a2，b，求边c；（2）若sinCcosA，求角C【解答】（本题满分为12分）解：（1），可得：sinAcosAsinBcosB，可得：sin2Asin2B，可得：2A2B（舍去），或2A+2B，C（A+B），c5分（2）由（1）可知2A2B，或2A+2B，当2A2B时，由
14、sinCcosAsin（A），可得：CA，或C+（A），当CA时，又AB，联合可得A+C+B+C，不合题意；C+（A）时，又AB，代入A+B+C，可得：AC，当2A+2B时，即A+B，可得：C，显然不符合条件sinCcosA，故舍去综上可得：C12分18已知函数f（x）sin（x）+cos（）（1）求函数f（x）在区间，上的最值；（2）若cos，（，），求f（2+）的值解：（1）f（x）sin（x）+cos（），（），x，1sin（x+），故函数的最大值，最小值（2）cos，（，），sin，sin22sincos，f（2+）19数列an满足a11，anan+1（1+2an）（nN*）（1）求证
15、：数列是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+anan+1，求正整数n的最小值解：（1）证明：由anan+1（1+2an）（nN*），可得anan+12anan+1，则2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得1+2（n1）2n1，即an，anan+1（），所以a1a2+a2a3+anan+1（1+）（1），解得n16，所以正整数n的最小值为1720如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面ABCD，底面ABCD是矩形，点E是AD中点，PBABAE2（1）求证：平面PCE平面PBE；（2）求点D到平面PCE的距离解：（1）证明：PB底面ABCD，CE平面ABCD，PBCE，四
16、边形ABCD是矩形，E是AD中点，且ABAE2，DECD2，BAECDE90，BEACED45，BEC90，CEBE，PBBEB，PB，BE平面PBE，CE平面PBE，CE平面PCE，平面PCE平面PBE（2）解：由（1）知ABAEDECD2，BADADC90，BECE2，且CDE的面积为2，PB平面ABCD，BE平面ABCD，PBBE，PB2，PE2，CE平面PBE，CEPE，PCE的面积为2，设点D到平面PCE的距离为d，由VDPCEVPCDE，得，解得d点D到平面PCE的距离为21新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为200万元，每
17、生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）101x2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？解：（1）当0x90时，；当x90时，（2）当0x90时，1600，当x90时，1600，当且仅当，即x90时，y取得最大值，最大值为1800万元综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元22已知等差数列an满足a54，2a6+a918，
18、数列bn的前n项和为Sn，满足Sn2bn1（1）求数列an与bn的通项公式；（2）若任意nN*，a1b1+a2b2+anbn（n2）t+2恒成立，求实数t的取值范围解：（1）设数列an的公差为d，则，解得，所以ana1+（n1）dn1，对于数列bn，当n1时，b1S12b11，所以b11当n2时，由Sn2bn1，可知Sn12bn11，得bn2bn2bn1，即bn2bn1，故bn是以1为首项，2为公比的等比数列，所以（2）设Tna1b1+a2b2+anbn，由（1）知，当n1时，T10，当n2时，得，所以，所以，当n1也符合该式，所以，故题中不等式可化为（n2）2n（n2）t，（*）当n1时，不等式（*）可化为2t，t2；当n2时，不等式（*）可化为00，此时 t一、选择题；当n3时，不等式（*）可化为t2n，因为数列2n是递增数列，所以t8综上，实数t的取值范围为2，8
