1、联考高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x24x+30，B=x|2x4，则AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）2已知等差数列an中，若a2=1，a6=13则公差d=（）A10B7C6D33若b0a，dc0，则下列不等式中必成立的是（）AacbdBCa+cb+dDacbd4ABC外接圆半径为R，且2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，则角C=（）A30B45C60D905已知tan（x+）=2，则的值为（）ABCD6不等式ax2+5x+c0解集为，则a、c
2、的值为（）Aa=6，c=1Ba=6，c=1Ca=1，c=6Da=1，c=67直线a，b，c及平面，下列命题正确的是（）A若a，b，ca，cb则cB若b，ab则aC若a，=b则abD若a，b则ab8如图，在长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1BDC的大小为（）A90B60C45D309已知等比数列an，且a4+a8=2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A6B4C8D910一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是
3、（）海里A10B20C10D2011一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D1812已知数列an满足an=logn+1（n+2）（nN*），定义：使乘积a1a2a3ak为正整数的k（kN*）叫做“期盼数”，则在区间1，2016内所有的“期盼数”的和为（）A2036B4076C4072D2026二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13已知a=，b=，则a，b的等差中项为14设x、y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是15已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=16
4、用x表示不超过x的最大整数，例如3=3，1.2=1，1.3=2已知数列an满足a1=1，an+1=an2+an，则=三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=2，S3=9（1）求an的通项公式an；（2）求2的前n项和Sn18已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），f（x）=（1）求f（x）的解析式及最小正周期（2）求f（x）的单调增区间19如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值20围建一个面积为
5、360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用21在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+cb）=（2+）ac（1）求角B；（2）求cosA+sinC的取值范围22已知函数（）求f（x）+f（1x），xR的值；（）若数列an满足an=f（0）+f
6、（）+f（）+f（）+f（1）（nN*），求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n+1an，Sn是数列bn的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn4bn对于一切的nN*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由联考高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x24x+30，B=x|2x4，则AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【考点】交集及其运算【分析】根据题目中A=x|x24x+30的解集求得A，再求它们的交集即可【解答】
7、解：因为A=x|x24x+30=x|1x3，B=x|2x4，所以AB=x|2x3故选：C2已知等差数列an中，若a2=1，a6=13则公差d=（）A10B7C6D3【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意和等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得【解答】解：等差数列an中a2=1，a6=13，1+4d=13，解得d=3，故选：D3若b0a，dc0，则下列不等式中必成立的是（）AacbdBCa+cb+dDacbd【考点】不等式的基本性质【分析】由已知中b0a，dc0，结合不等式的性质，对题目中的四个答案逐一进行分析，即可得到结论【解答】解：b0a，dc0，ac0，bd0，则acbd恒不成立，故
8、A不满足要求；同理，则恒不成立，故B不满足要求；由不等式的同号可加性可得a+cb+d一定成立，故C满足要求；但acbd不一定成立，故D不满足要求；故选C4ABC外接圆半径为R，且2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，则角C=（）A30B45C60D90【考点】余弦定理【分析】先根据正弦定理把2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值【解答】解：ABC中，由2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，根据正弦定理得a2c2=（ab）b=abb2，cosC=，角C的大小为30，故选A5已知tan（
9、x+）=2，则的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切【分析】先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得【解答】解：tan（x+）=2，=2，解得tanx=；tan2x=故选：A6不等式ax2+5x+c0解集为，则a、c的值为（）Aa=6，c=1Ba=6，c=1Ca=1，c=6Da=1，c=6【考点】一元二次不等式的解法【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出【解答】解：不等式ax2+5x+c0解集为，方程ax2+5x+c=0的两个实数根为，且a0，解得故选B7直线a，b，c及平面，下列命题正确的是（）A若a，b，c
10、a，cb则cB若b，ab则aC若a，=b则abD若a，b则ab【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】选项A，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件“相交直线”，选项B，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“平面外一直线”，选项C，列举出所以可能，选项D，根据线面垂直的性质定理进行判定【解答】解：选项A，若a，b，ca，cb则c，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件“相交直线”，故不正确；选项B，若b，ab则a，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“平面外一直线”，故不正确；选项C，若a，=b则ab，也可能异面，故不正确；选项D，若a，b则ab，该命题就是线面垂直的性质定理；故选D8如图，在长方体
11、中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1BDC的大小为（）A90B60C45D30【考点】二面角的平面角及求法【分析】过C作CEBD，垂足为E，连结EC1，利用三垂线定理证出C1EBD，因此C1EC是二面角C1BDC的平面角矩形ABCD中算出CE=，从而得到RtC1EC中tanC1EC=，可得C1EC=30，即得二面角C1BDC的大小【解答】解：过点C作CEBD，垂足为E，连结EC1CC1平面ABCD，可得CE是C1E在平面ABCD内的射影由CEBD，得C1EBD，因此，C1EC就是二面角C1BDC的平面角矩形ABCD中，四边形ABCD是正方形，可得CE=RtC1EC中，C1C=tanC1E
12、C=，可得C1EC=30故二面角C1BDC的大小为309已知等比数列an，且a4+a8=2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A6B4C8D9【考点】等比数列的性质【分析】将式子“a6（a2+2a6+a10）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得，a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，将条件代入得到答案【解答】解：由题意知：a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，a4+a8=2，a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=4故选B10一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向
13、直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（）海里A10B20C10D20【考点】解三角形的实际应用【分析】根据题意画出图象确定BAC、ABC的值，进而可得到ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值【解答】解：如图，由已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=20，从而ACB=45在ABC中，由正弦定理可得BC=sin30=10故选：A11一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据
14、，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=21+故选：A12已知数列an满足an=logn+1（n+2）（nN*），定义：使乘积a1a2a3ak为正整数的k（kN*）叫做“期盼数”，则在区间1，2016内所有的“期盼数”的和为（）A2036B4076C4072D2026【考点】数列的求和；对数的运算性质【分析】an=logn+1（n+2）=，可得乘积a1a2a3ak=当且仅当k+2=2n（nN*）时，满足题意在区间1，2016内所有的“期盼数”为222，232，2102再
15、利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：an=logn+1（n+2）=，则乘积a1a2a3ak=当且仅当k+2=2n（nN*）时，满足题意在区间1，2016内所有的“期盼数”为222，232，2102在区间1，2016内所有的“期盼数”的和=29=2026故选：D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13已知a=，b=，则a，b的等差中项为【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知直接结合等差中项的概念得答案【解答】解：a=，b=，由等差中项的概念得：a，b的等差中项为故答案为：14设x、y满足约束条件，则z=3x+
16、2y的最大值是5【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图，当直线z=3x+2y过点A（1，1）时，即当x=y=1时，zmax=5故填：515已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=2【考点】球内接多面体【分析】正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的直径，利用正方体的外接球的半径为，即可求出a【解答】解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为： a，因为正方体的外接球的半径为，所以a=2，所以
17、a=2故答案为：216用x表示不超过x的最大整数，例如3=3，1.2=1，1.3=2已知数列an满足a1=1，an+1=an2+an，则=0【考点】数列递推式【分析】由已知结合数列递推式可得数列an是递增数列，且an0，进一步得到，可得1，结合已知定义得答案【解答】解：a1=1，an+1=an2+an0，数列an是递增数列，且an0，则由an+1=an2+an，得，=，又，=0故答案为：0三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=2，S3=9（1）求an的通项公式an；（2）求2的前n项和Sn【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项
18、公式【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出（2）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a1=2，S3=932+d=9，解得d=1an=a1+（n1）d=n+1（2）由（1）知，是以4为首项，2为公比的等比数列，18已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），f（x）=（1）求f（x）的解析式及最小正周期（2）求f（x）的单调增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再利用三角函数的周期性，得出结论（2）根据正弦函数的单调性求得f（x）
19、的单调增区间【解答】解：（1），f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（x）的 最小正周期（2）由，求得，所以f（x）的单调递增区间（kZ）19如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）如图所示，要证AO平面BCD，只需证AOBD，AOCO即可，用运算的方式来证明结论（2）取AC中点F，连接OFOEEF，由中位线定理可得EFAB，OECD所以OEF（或
20、其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在RtAOC中求解【解答】解：（1）证明：ABD中AB=AD=，O是BD中点，BD=2AOBD且=1BCD中，连接OCBC=DC=2COBD且AOC中AO=1，CO=，AC=2AO2+CO2=AC2故AOCOAO平面BCD（2）取AC中点F，连接OFOEEFABC中EF分别为BCAC中点EFAB，且BCD中OE分别为BDBC中点OECD且异面直线AB与CD所成角等于OEF（或其补角）又OF是RtAOC斜边上的中线等腰OEF中20围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一
21、个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【考点】函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙
22、的总费用最小值，及相应的x值【解答】解：（）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x2）+1802a=225x+360a360由已知ax=360，得，所以（II）因为x0，所以，所以，当且仅当时，等号成立即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元21在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+cb）=（2+）ac（1）求角B；（2）求cosA+sinC的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由条件化简可得a2+c2b2=，根据余弦定理可求得：cosB=，结合B是锐角，即可求B的值（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得
23、cosA+sinC=sin（A+），求出A范围，即可得解【解答】解：（1）由条件可得，（a+c）2b2=（2+）ac，即a2+c2b2=，根据余弦定理得：cosB=，B是锐角，B=（2）B=，A+C=即C=，cosA+sinC=cosA+sin（）=cosA+sincosAcossinA=sin（A+）又ABC是锐角三角形，即，A，cosA+sinC22已知函数（）求f（x）+f（1x），xR的值；（）若数列an满足an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（nN*），求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n+1an，Sn是数列bn的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn
24、4bn对于一切的nN*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与不等式的综合【分析】（）在中以1x代x，即得f（1x），再利用指数幂的运算法则计算化简即可（）利用倒序相加的方法an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）an=f（1）+f（）+f（）+f（）+f（0），相加，结合（）的结论，可求得（）根据求得的bn=2n+1an=（n+1）2n，应用错位相消法可求出Sn=n2n+1，不等式knSn4bn对于一切的nN*恒成立即为kn22n20对于一切的nN*恒成立法一：式分离参数k，得k对于一切的nN*恒成立，转化为求f（n）=的最大值法二：式首先对n=1成立时
25、，得出k4，再由k4时g（n）=kn22n20即可【解答】解：（）f（x）+f（1x）=+=+=1（）an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）an=f（1）+f（）+f（）+f（）+f（0）由（）知，f（x）+f（1x）=1相加得2an=（n+1），（）bn=2n+1an=（n+1）2n，Sn=221+322+423+（n+1）2n 2Sn=222+323+423+n2n+（n+1）2n+1 得Sn=4+22+23+2n（n+1）2n+1，所以Sn=n2n+1使不等式knSn4bn对于一切的nN*恒成立，即kn22n20对于一切的nN*恒成立法一：由可得k对于一切的nN*恒成立，令f（n）=（n+1）+在nN*上是单调递增的，n+1）+的最小值为2+=，所以f（n）max=4，所以k4法二：对于式，当n=1时，k220成立，即k4，设g（n）=kn22n2，当k4时，由于对称轴n=1，且g（1）=k220，而函数g（x）在1，+）上单调递增，所以不等式knSn4bn恒成立，即当k4时，不等式knSn4bn对于一切的nN*恒成立2016年8月21日第13页 共13页
