1、1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示1.1 集集 合合第第1 1课时课时 集合的含义集合的含义1通过实例了解集合的含义，体会元素与集合通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系的从属关系2了解集合中元素的三个性质了解集合中元素的三个性质(确定性、互异确定性、互异性、无序性性、无序性)1集合的含义：一般地，我们把研究集合的含义：一般地，我们把研究_统统称为元素，把一些元素组成的称为元素，把一些元素组成的_叫做集合叫做集合(简称简称集集)2集合中元素的特性：集合中元素的特性：_ _3集合的相等关系：只要构成两个集合的元集合的相等关系：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合
2、是素是一样的，我们就称这两个集合是_的的自学导引自学导引对象对象总体总体无序性无序性相等相等确定性、互异性、确定性、互异性、4元素与集合的关系：元素与集合的关系：(1)如果如果a是集合是集合A的元素，就说的元素，就说_，记作，记作_.(2)如果如果a不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说_，记作记作_.5常用数集及表示符号：常用数集及表示符号：a属于集合属于集合AaAa不属于集合不属于集合Aa A名称名称 自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集 有理数集有理数集实数集实数集符号符号_N*或或NZNQR1你能否确定，你所在班级中，最高的你能否确定，你所在班级中，最高的3位同位同学构成的
3、集合？学构成的集合？答答：能确定因为所在班级中最高的：能确定因为所在班级中最高的3位同学是位同学是确定的，元素是确定的，可以构成集合确定的，元素是确定的，可以构成集合2你能否确定，你所在班级中，高个子同学构你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由成的集合？并说明理由答答：不能确定因为：不能确定因为“高个子高个子”这个标准不明这个标准不明确，不符合集合中元素的确定性，类似的确，不符合集合中元素的确定性，类似的“漂亮的同漂亮的同学学”，“个子很矮的同学个子很矮的同学”也不能构成集合也不能构成集合自主探究自主探究1下列语句能确定是一个集合的是下列语句能确定是一个集合的是 ()A著名
4、的科学家著名的科学家B留长发的女生留长发的女生C2010年广州亚运会比赛项目年广州亚运会比赛项目D上海世博会好看的展馆上海世博会好看的展馆解析解析：选项：选项A、B、D中的标准不明确，故选中的标准不明确，故选C.答案答案：C预习测评预习测评2由由a2,2a,4组成一个集合组成一个集合A，A中含有中含有3个元素，个元素，则实数则实数a的取值可以是的取值可以是()A1 B2 C6 D2解析解析：验证，看每个选项是否符合元素的互异性：验证，看每个选项是否符合元素的互异性答案：答案：C3以方程以方程x22x10的解为元素的集合有的解为元素的集合有_个元素个元素解析解析：集合中的元素是互异的，：集合中的
5、元素是互异的，x22x1(x1)20，x1.答案：答案：14用用“”或或“”填空填空(1)3_N；(2)3.14_Q；(5)1_N*；(6)0_N.解析解析：根据元素与集合的关系填空：根据元素与集合的关系填空答案答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1集合中元素的特性集合中元素的特性(1)确定性：设确定性：设A是一个给定的集合，是一个给定的集合，x是某一具是某一具体对象则体对象则x或者是或者是A的元素，或者不是的元素，或者不是A的元素，的元素，两种情况必有一种且只有一种情况成立如：大于两种情况必有一种且只有一种情况成立如：大于3小于小于11的偶数分别为的偶数分别为4,6,8,10，它们是确
6、定的，可构，它们是确定的，可构成集合，而成集合，而“我国的小河流我国的小河流”，由于，由于“小小”这个标准不这个标准不确定，所以构不成集合确定，所以构不成集合要点阐释要点阐释(2)互异性：互异性：“集合中的元素必须是互异的集合中的元素必须是互异的”，就，就是说，是说，“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的是不同的”如方程如方程(x1)20的解构成的集合为的解构成的集合为1，而不能记为，而不能记为1,1(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合如集合a，b，c与与b，a，c是同一集合是同一集合2元素与集
7、合的关系元素与集合的关系(1)aA与与a A取决于取决于a是不是集合是不是集合A的元素，的元素，根据集合中元素的确定性，根据集合中元素的确定性，可知对任何可知对任何a与与A，在，在aA与与a A这两种情况中必有一种且只有一种成这两种情况中必有一种且只有一种成立立(2)符号符号“”，“”是表示元素与集合之间的关是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意要特别注意题型一集合的概念题型一集合的概念【例例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；著名的数学家；(2)某校某校
8、2010年在校的所有高个子同学；年在校的所有高个子同学；(3)不超过不超过20的非负数；的非负数；解解：(1)“著名的数学家著名的数学家”无明确的标准，对于某个无明确的标准，对于某个人是否人是否“著名著名”无法客观地判断，因此无法客观地判断，因此“著名的数学家著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；也不能构成集合；(3)任给一个实数任给一个实数x，可以明确地判断是不是，可以明确地判断是不是“不超过不超过20的的典例剖析典例剖析非负数非负数”，即，即“0 x20”与与“x20或或x0”，两者必居，两者必居其一，且仅居其一，故其一，且仅居其一，故“不
9、超过不超过20的非负数的非负数”能构成能构成集合集合 点评点评：判断指定的对象能不能形成集合，关键：判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性集合中元素的互异性、无序性1下列对象能构成集合的是下列对象能构成集合的是()A中国大的城市中国大的城市B方程方程x290在实数范围内的解在实数范围内的解C直角坐标平面内第一象限的一些点直角坐标平面内第一象限的一些点答案答案：B题型二集合中元素的特性题型二集合中元素
10、的特性【例例2】已知集合已知集合A是由三个元素是由三个元素m，m21,1组组成，且成，且2A，求，求m.解解：2A，则，则m2或或m212，m2或或m1，当当m2时，集合中的元素为：时，集合中的元素为：2,5,1，符合集合，符合集合中元素的互异性中元素的互异性当当m1时，不符合元素的互异性，舍去时，不符合元素的互异性，舍去当当m1时，集合中的元素为：时，集合中的元素为：1,2,1，符合，符合集合中元素的互异性集合中元素的互异性综上可知综上可知m2或或m1.点评点评：对于解决集合中元素含有参数的问题：对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异一定要全面思考，特别关
11、注元素在集合中的互异性，分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的性，分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握握2设设1,0，x三个元素构成集合三个元素构成集合A，若，若x2A，求，求实数实数x的值的值解解：若：若x20，则，则x0，此时，此时A中只有两个元素中只有两个元素1,0，这与已知集合，这与已知集合A中含有三个元素矛盾，故舍去中含有三个元素矛盾，故舍去若若x21，则，则x1.当当x1时，时，集合为集合为1,0,1，舍去；，舍去；当当x1时，时，集合为集合为1,0，1，符合，符合若若x2x，则，则x0或或x1，不
12、符合互异性，都舍去不符合互异性，都舍去综上可知：综上可知：x1.题型三元素与集合的关系题型三元素与集合的关系【例例3】设设S是由满足下列条件的实数所构成的是由满足下列条件的实数所构成的集合：集合：(1)若若2S，则，则S中必有另外两个数，求出这两中必有另外两个数，求出这两个数；个数；(3)在集合在集合S中元素能否只有一个？若能，把它中元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由求出来，若不能，请说明理由(3)解：集合解：集合S中的元素不能只有一个中的元素不能只有一个理由：假设集合理由：假设集合S中只有一个元素中只有一个元素因此集合因此集合S不能只有一个元素不能只有一个元素点评点评：(
13、1)aA与与a A取决于元素取决于元素a是不是集合是不是集合A的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与与A，aA与与a A这两种情况有一种且只有一种成这两种情况有一种且只有一种成立立(2)对于元素与集合之间的关系，一定要明确对于元素与集合之间的关系，一定要明确集合是由怎样的元素构成，然后再确定或应用某集合是由怎样的元素构成，然后再确定或应用某对象是否为集合中的元素对象是否为集合中的元素(3)解决这类比较复杂的集合问题要充分利用解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化
14、为比较熟悉的问题解决化为比较熟悉的问题解决误区解密因忽略集合中元素的互异性而出错误区解密因忽略集合中元素的互异性而出错【例例4】写出方程写出方程x2(a1)xa0的解的集合的解的集合错解错解：x2(a1)xa(xa)(x1)0，所以方，所以方程的解为程的解为1，a，则解集为，则解集为1，a错因分析错因分析：错解没有注意到字母：错解没有注意到字母a的取值带有不确的取值带有不确定性，得到了错误答案定性，得到了错误答案1，a事实上，当事实上，当a1时，不时，不满足集合中元素的互异性满足集合中元素的互异性正解正解：x2(a1)xa(xa)(x1)0，所以方，所以方程的解为程的解为1，a.若若a1，则方
15、程的解集为，则方程的解集为1；若；若a1，则，则方程的解集为方程的解集为1，a纠错心得纠错心得：集合中的元素具有确定性、无：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三个特性中互异性序性、互异性，集合元素的三个特性中互异性对解题的影响最大，特别是类似本题这种带有对解题的影响最大，特别是类似本题这种带有字母参数的集合，隐含着对字母参数的要求字母参数的集合，隐含着对字母参数的要求1充分利用集合中元素的三大特性是解决集合充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础问题的基础2两集合中的元素相同则两集合就相同，与它两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关们元素的排列顺序无关3解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤特别把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视视课堂总结课堂总结
