1、第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.2 傅里叶积分与付里叶变换傅里叶积分与付里叶变换5.3 函数函数5.1 傅里叶级数傅里叶级数第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.1 傅里叶级数傅里叶级数一、周期函数的傅里叶展开一、周期函数的傅里叶展开21,cos,cos,cos,2sin,sin,sin,xxk xlllxxk xlll)sincos()(10lxkblxkaaxfkkk设设f(x)为周期为为周期为 2l 的函数的函数将将 f(x)展开展开考虑三角函数族考虑三角函数族 为基本函数族为基本函数族1、周期函数族、周期函数族 2、函数、函数f(x)的的 傅里
2、叶展开傅里叶展开0cos1dxlxkll0sin1lldxlxk0coscosdxlxnlxkll)(nk)(nk0sinsindxlxnlxkll0sincosdxlxnlxkll3、再谈周期函数族的正交性、再谈周期函数族的正交性 coscos1coscos211coscos221()()cos 2()1()()cos 2()1sin2()llllllllllllkxnxdxllkxnxkxnxdxllllkxnxkxnxdxdxlllllknxknxdknlllknxknxdknlllkn()1()sin0002()llllknxllknxknl验算一个！验算一个！coscos1()llk
3、 xn xdxnkll 4、利用三角函数族的正交性展开利用三角函数族的正交性展开 f(x)，并且求，并且求 f(x)的展开系数的展开系数)sincos()(10lxkblxkaaxfkkkllkkklldlkblkaadf)sincos()(10lldfla)(210即即由由得得 )sincos()(10lxkblxkaaxfkkkllkkdlkflacos)(12(0)1(0)kkk llkkklldlnlkblkaadlnfcos)sincos(cos)(10llkdlkflacos)(1由由得得lldfla)(210结合结合 合写系数：合写系数：函数的傅函数的傅 氏氏级数为级数为01()
4、sin(cossin)sinllkkllknkknfdaabdllllllkdlkflbsin)(1kkab、称称 为周期函数的为周期函数的傅里叶系数！傅里叶系数！由由得得llkkdlkflacos)(12(0)1(0)kkk4、狄里希利定理：、狄里希利定理：若若f(x)满足满足：(1)(1)处处连续，或在每个周期有处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；有限个第一类间断点；(2)(2)或在每个周期有有限个极值或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且点，则级数收敛，且(在连续点在连续点x)(xf级数和级数和 =)0()0(21xfxf(在间断点在间断点x)狄里希利定理是傅里叶级数的收
5、敛条件狄里希利定理是傅里叶级数的收敛条件!二、奇函数与偶函数的傅里叶展开二、奇函数与偶函数的傅里叶展开1、奇函数、奇函数()()fxf x 2、奇函数展开式只有正弦项、奇函数展开式只有正弦项1()sinkkkxf xbl其系数为其系数为lkdlkflb0sin)(23、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：(0)0()0ff l llkkdlkflacos)(100cos)(1cos)(1lklkdlkfldlkfl0011()()cos()cos()llkkkkfdfdllll3、奇函数展开式（正弦项）、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下的系数求法如
6、下:（1）其其偶次项偶次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：0011()cos()cosllkkkkfdfdllll0011()cos()cosllkkkkfdfdllll0011()cos()cos0llkkkkfdfdllll 00111()sin()sin()sinllkllkkkkkkbfdfdfdllllll0011()cos()sinllkkkkfdfdllll000112()cos()cos()sinlllkkkkkf xdfdfdlllllllkdlkflb0sin)(2最后得最后得 （2）其其奇次项奇次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：llkdlkflb
7、sin)(100sin)(1sin)(1lldlkfldlkxfl0011()sin()sinllkkf xdfdllll4、偶函数、偶函数的的傅里叶傅里叶展开展开及其展开系数及其展开系数0011()sin()sin0llkkf xdfdllll 其奇次项的系数为零其奇次项的系数为零1()coslklkafdll0011()cos()cosllkkfdfdllll0011()cos()cosllkkfdfdllll 02()coslkfdll10cos)(kklxkaaxflkkdlkfla0cos)(2最后得最后得(1)(1)(0)0()0ffl 例例1，要求在（要求在（-，）上，）上，f(
8、x)=x2,展开为展开为Fourier 级数，在本题级数，在本题 展开所得中置展开所得中置 x=0，由此验证，由此验证:12413121122220011()coscos(kkkkkxf xaaaakxl2230001133ad解：解：f(x)=x2，为偶函数；为偶函数；0kb20022()cos()cos()kafkdkd 200212sin()sin()kkdkk22214(1)cos()3kkxkxk x=0124131211222220022()cos()cos()kafkdkd 22044cos()(1)kdkkk三、定义在有限区间上的三、定义在有限区间上的 函数的傅里叶展开函数的傅
9、里叶展开定义在有限区间上的函数，如在定义在有限区间上的函数，如在(0，l)上的上的 f(x)，可以延拓其成为周期函数可以延拓其成为周期函数 g(x)，使，使在在(0，l)上有上有 g(x)f(x)；然后对然后对g(x)进行进行傅里叶展开；傅里叶展开；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；0)()0(lff如果如果 ，奇延拓成奇周期函数；奇延拓成奇周期函数；0)()0(lff如果如果 ，偶延拓成偶周期函数；偶延拓成偶周期函数；1、任意函数、任意函数的傅里叶的傅里叶展开方法展开方法2、偶延拓或奇延拓的使用原则、偶延拓或奇延拓的使用原则 例例2，要求，要求f(x)=
10、cosax在它的定义区间的边界在它的定义区间的边界 上为零，而且要求在区间（上为零，而且要求在区间（0，）上进）上进 行行展开。展开。解：解：因为因为在区间（在区间（0，）上）上为零，所以要为零，所以要将函数将函数 进行进行奇延拓成奇周期奇延拓成奇周期函数，其展开式为函数，其展开式为1sin)(kklxkbxf0)sin()(2dkfbk0)sin(cos2dkax1sinkkxkb其展开系数为其展开系数为 12221(1)coskkkabaka 122121(1)cos()sinkkaf xkkxaka 0)2cos()2cos(212dkakaa02cos()cos()2()2()kaka
11、akaka 其结果为其结果为 四、复数形式的傅里叶级数四、复数形式的傅里叶级数1、复数形式的基本正交函数族、复数形式的基本正交函数族,1,lxkilxilxilxkieeee2、复数形式的傅里叶级数、复数形式的傅里叶级数()kxilkkf xc e形式形式求系数求系数*()()()2kkkiiilllllkkllkfedc eedlc*1()()2killklkkcfedlcc 5.2 傅里叶积分与傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换)sincos()(10lxkblxkaaxgkkk设设f(x)为定义在为定义在-x 0,有有1)(dd)(df)
12、()(df)()(df)()(对于对于-,0，有：，有：()()()()()fdfdf )0()()(fdf)()()(00tfdtf 所以，得所以，得对于对于-,有有0()()(0)limfdf 同理，可同理，可 以证明：以证明：证毕！证毕！+d 时间间隔冲量：时间间隔冲量：df)(瞬时力：瞬时力：)()(tdfbadtftf)()()(d)(f)(tftab 4、持续力的、持续力的 函数表示函数表示注意注意 函数的函数的量纲！量纲！持续力可以用持续力可以用 函数表示为：函数表示为：()()()()()baf tfdtftd 持续力的冲量图持续力的冲量图)()()()(000 xxxfxxx
13、f若若f(x)为为x0 处连续的普通函数，则处连续的普通函数，则sin(0)xx 例：求例：求0sin(0)0 xxx证：证：0()()()xxf xx dx)()(00 xxf0000()()()()()()xxf xx dxf xxxx dx)()(00 xxf sin()xx解：解：证毕！证毕！5、如如(x)=0的实根的实根为为xk为单根，则为单根，则kkkxxxx)()()(00()0()()0 xxx 0()()kkkxcxx 证明：证明：0()()kkkxcxx ()()nnnnxxkkxxkx dxcxx dx 11()()()()nnnnxxxxnx dxxdxx ()()nn
14、nnxxkknnnxxkcxx dxcxx dxc 1()nncx证毕！证毕！()()()xdx dxddxx三、三、函数是一种广义函数函数是一种广义函数1、函数是某些普通函数的极限函数是某些普通函数的极限1()lim rec()lxxtll矩形脉冲表示法：矩形脉冲表示法：辛格函数：辛格函数：xkxxksin1lim)(抽样函数：抽样函数：221()limxx 2、矩形函数是、矩形函数是 函数的证明函数的证明 )(xgx1/l/2l/2l1()12rect0()2lxlxllx001limrect00lxxxll001limrectlimrect1llxdxdll 符合符合 函数的积分定义！函
15、数的积分定义！证毕！证毕！P85另外两个函数的证明方法类似。另外两个函数的证明方法类似。矩形函数矩形函数deCxxi)()(11()()22ixCx edxdexxi21)(四、四、函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换1、函数函数的傅立叶变换的傅立叶变换 函数的傅立叶积分变换系数函数的傅立叶积分变换系数 函数的傅立叶积分函数的傅立叶积分 2、广义广义的傅立叶变换的傅立叶变换dexxi21)(kkxikdelim21ixeexikxikklim21xkxksin1lim 例例1，求常数，求常数A的傅里叶变换的傅里叶变换解：解：dxAeAxi21kkxikdxeA21limsinlim()kkAA i
16、eeAikikk21lim 解：解：3111()()(2)ik rrcrc Aedxdydzrr2cos23000111()()sin(2)ikrrr cr c erdrd drr cos20011()(cos)(2)ikrrrc edikrdrik cos2001()(cos)(2)ikrrrc erddr 例例2，计算，计算 三重的傅里叶变换三重的傅里叶变换1()rcr cos20011()(cos)(2)ikrrrc edikrdrik cos2001()(cos)(2)ikrrrc erddr 2011()()(2)ikrikrrrceedrik211()(2)ikrikreeik (
17、0)(;)0(0)xexH xx)(xHx10(0)()1(0)xHxx0()H x dxdx 因为因为构建函数构建函数例例3、阶跃函数的傅立叶变换、阶跃函数的傅立叶变换解：解：所以，其傅立叶变换不存在。所以，其傅立叶变换不存在。00(0)()lim(;)lim0(0)xexH xH xx()00()011(;)22111122xi xixixH xeedxedxeii 22220011()limlim()2()2H xii 2200(0)lim(0)其中，其中，而而 2200limlimarctan()22d 所以，所以，220lim()2200(0)lim1(0)又，又，2200(0)1lim1(0)记，记，因此，我们可以得到因此，我们可以得到阶跃函数的傅立叶变换：阶跃函数的傅立叶变换：11()()22iH x 五、多维五、多维 函数函数END-5本章练习本章练习（P73）4（4）；（）；（P82）（）（4）；（）；（P89）（）（1）；）；1、考虑三维空间的质量密度考虑三维空间的质量密度()()rmr2、三维空间三维空间函数函数的定义的定义0(0)()()1(0)rrr drr3、三维直角坐标系三维直角坐标系函数函数的表式的表式()()()()rxyz 84谢谢！谢谢！85
