1、1（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）第五章第五章 刚体定轴转动刚体定轴转动25.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5.7 旋进旋进本章目录本章目录3CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体刚体（rigid body）的概念的概念t t
2、+t 才才感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度k v（k劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ，此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。4 显然，刚体是个理想化的模型，显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，质点系的规律都可用于刚体，般
3、的般的质点质点系有所简化。系有所简化。通常通常v固体固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。就可把固体视为刚体。实际的意义。实际的意义。但是它有但是它有51.1.平动平动（平移）（平移）运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。持方向不变。刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动的轴线的转动特点：特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加
4、速度。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。研究方法：用研究方法：用质心质心代表整个代表整个刚体的运动刚体的运动。可视为质点可视为质点。6 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。为刚体的转动。这条直线称为转轴。转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。zO特点：特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。度。刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的
5、规律转动的规律75.刚体的一般运动刚体的一般运动 刚体的一般运动可视为随刚体上刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点某一基点A的平动和绕该点的定点的平动和绕该点的定点转动的合成转动的合成.OO O O O 将刚体的运动看作将刚体的运动看作质心的平动质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平与相对于通过质心并垂直运动平面的面的轴的转动轴的转动的叠加。的叠加。3.平面平行运动平面平行运动 刚体运动时刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定点转动刚体定点转动刚体运动时，始终绕一固定点
6、转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.8O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三.刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fixed point）转动却相同，转动却相同，或或 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）9角位置：角位置：(1).定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述()t角位移：角位移：)()(0tt角速度：角速度：
7、ddt角加速度：角加速度：22dtddtd 角速度和角加速度均为矢角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。右手螺旋定则。(2).角量和线量的关系角量和线量的关系 rv2raran10 在刚体作匀角加在刚体作匀角加速转动时，速转动时，=常数常数，有以下有以下相应的公式相应的公式:200t21tt002022 在质点作匀加速直在质点作匀加速直线运动时，线运动时，a=常数常数，有以下有以下相应的公式相应的公式:20021attvxx atvv 0)(20202xxavvt 3、匀变速转动的公式、匀变速转动的公
8、式刚体获得角加速度的原因？刚体获得角加速度的原因？115.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外 OtLM )(2iiirm)(dd轴轴对对外外 ztLMzz iiiiiizzrmLLviiizrmJ2令令转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zmiriFi12vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zFiimiri zzJL则则tJtLMzzzdddd 外外 zzJM 外外即即转动定律转动定律其中其中 iiiizrFM sin外外定轴情况下，可不
9、写下标定轴情况下，可不写下标 z，记作：，记作：JM 与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F，J 相应相应 m，相应相应 a。132iirmJ连续体：连续体：dmrJ21.转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。2.转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量大小有关因素转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及与刚体的质量及质量相对于给定轴的分布有关。质量相对于给定轴的分布有关。注注:在定轴转动定律中，不论是对在定轴转动定律中，不论是对M还是对于还是对于J，首先都要，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，明确的是转轴的位置，只有轴
10、确定，M和和J才有意义。才有意义。在（在（SI）中，）中，J 的单位：的单位：kgm25.3 转动惯量的计算转动惯量的计算dmrm转轴转轴14JdtdJMdmrJ2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分分别为质量的线密别为质量的线密度、面密度和体度、面密度和体密度。密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布转动惯量：转动惯量：153.常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 Lm细棒细棒231mLJ 细棒细棒2121mLJ mL薄圆环薄圆环或薄圆筒或薄圆筒2mRJ 圆盘或圆盘或圆柱体圆柱体薄球壳薄球壳221mRJ R
11、m232mRJ 球体球体252mRJ RmRm164.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性 iJJ 平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行2mdJJC minJJC （证明见书（证明见书P260P262）173.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO 2iizrmJ 22iiiiymxmyxzJJJ 即即如图如图mL2121mLJc Lm22)2()121(LmmLJ 231mL c 例：例：185.4 转动定律应用举例转动定律应用举例定轴定轴 ORthmv0=0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）已
12、知：已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑动，滑动，下落时间下落时间 t=3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J=？解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：JRTT=TmgmaRGTN对对m：maTmg 运动学运动学关系：关系：Ra (3)221ath (4)(1)(2)绳轮间无相对绳轮间无相对19(1)(4)联立解得：联立解得：22)12(mRhgtJ 分析结果：分析结果：量纲对；量纲对；h、m 一定，一定，J t，若若J=0，得，得 ，221gth 代入数据：代入数据：2mkg14.1 正确。正确。合理；合理；222.01)15.1238.9(J此为一种用实验测转动惯
13、量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。20例例1.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体，m1 m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz点的点的 不平行于不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，若质量对转轴分布对称，轴轴 L zzJkLL （对对轴轴）（对对点点）下面我们就讨论这种下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称质量对转轴分布对称对转轴不对称，对转轴不对称，的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。
14、例如，图示的情形：例如，图示的情形：质量质量则：则：则对轴上则对轴上O61MdLmgOLtLMdd。MtMLdd LM LL d从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。L玩具陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，62 sinsinJMLM JM ，时时当当90 sinLd LOLd 旋进角速度：旋进角速度：tdd tMLLddsind ，1 演示演示 车轮旋进车轮旋进（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转旋进防止炮弹翻转（注（注2）631.1.车轮的旋进车轮的旋进（演示）（演示）oLL MLd o讨论：讨论：改变改变 的方向，旋进方向是否改变？的方向，旋进方向是
15、否改变？改变配重改变配重 ，对旋进有什么影响？，对旋进有什么影响？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？G2 2、炮弹的旋进（录像）、炮弹的旋进（录像）c rvfgm643.3.回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩：轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt=dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内
16、侧车轮上翘）。L65 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴随着地球自转轴的旋进，北天极方的旋进，北天极方向不断改变。向不断改变。北极星北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T=25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面7223o 地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量地球自转角动量（F1F2）M地球自转轴旋进地球自转轴旋进66地轴地轴旋进旋进旋进周期旋进周期25800年年 秋分点秋分点春分点春分点西西分点每年在黄分点每年在黄道上道上西移西移50.2 太阳年（回归年）
17、：太阳年（回归年）：太阳由春分太阳由春分秋分秋分春分春分恒星年（时间长）：恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间地球绕太阳一周的时间岁差岁差（precession）岁差岁差=恒星年恒星年 太阳年太阳年=20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黄道面黄道面赤道面赤道面 太阳太阳东东67我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每每50年差年差1度（约度（约72/年）年）前汉（公元前前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。刘歆发现岁差。晋朝（公元晋朝（公元265 316）虞喜最先确定了岁差：虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：将岁差引入历法：391年有年有144个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之
18、（公元429 500）编编大明历大明历最先最先（精确值为（精确值为50.2/年）年）68当旋进发生后，总角速度当旋进发生后，总角速度 。总总只有刚体高速自转时，才有只有刚体高速自转时，才有 ，总总 JL 这时也才有这时也才有 和以上和以上 的表示式。的表示式。当考虑到当考虑到 对对 的贡献时，的贡献时，总总 自转轴在旋自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫运动叫章动章动（nutation）。）。这种这种第五章结束第五章结束牛顿力学全部结束牛顿力学全部结束AO69质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一一)
19、质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量m,力力F转动惯量转动惯量 ,力矩力矩M力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能质心势能质心势能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp CpmghE dmrJ270质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动运动定律运动定律转动定律转动定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒动能定理动能定理动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒amF JM .const pkEE.const iiivm.const J.const pkEE2022121 JJW 21222121mvmvW 00ppdtFt 1122 JJdtM 71几几种种常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量
