1、第六章第六章 应用问题应用问题一、行程问题一、行程问题二、工程问题二、工程问题 三、分数及百分数三、分数及百分数 四、比和比例应用题四、比和比例应用题 五、平均数问题五、平均数问题 六、市场经济问题六、市场经济问题第一节第一节 行程问题行程问题v问题问题:两地相距两地相距5050千米，甲、乙二人同时从两千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行。甲每小时走地出发相向而行。甲每小时走3 3千米，乙每小千米，乙每小时走时走2 2千米甲带着一只狗，狗每小时走千米甲带着一只狗，狗每小时走5 5千千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往
2、乙这就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。问这只狗一共走了多边走，直到两人碰头。问这只狗一共走了多少千米路？少千米路？v在解答行程问题时，往往不是直接给出两个在解答行程问题时，往往不是直接给出两个条件。况且行程问题还涉及到运动的物体个条件。况且行程问题还涉及到运动的物体个数（一个、两个或三个物体运动等）、运动数（一个、两个或三个物体运动等）、运动的方向（相向、背向、同向）、出发时间的方向（相向、背向、同向）、出发时间（同时、不同时）、地点（同地、不同地）、（同时、不同时）、地点（同地、不同地）、运动途径（直线、环绕）、结果（相遇、相运动途径（直线、环绕）、结果（相遇、相距、
3、交叉、追及）等变化多端的因素。因此，距、交叉、追及）等变化多端的因素。因此，在解题时应根据具体情况作具体分析，寻找在解题时应根据具体情况作具体分析，寻找解题方法。解题方法。v问题问题6.1.16.1.1小王骑车到城里开会，以每小时小王骑车到城里开会，以每小时1212千米的速度行驶，千米的速度行驶，2 2小时可以到达。车行小时可以到达。车行了了1515分钟后，发现忘记带文件，以原速返分钟后，发现忘记带文件，以原速返回原地，这时他每小时行多少千米才能按回原地，这时他每小时行多少千米才能按时到达？时到达？v分析：分析：要求小王返回原地后到城里的速度，要求小王返回原地后到城里的速度，就必须知道从家到城
4、里的路程和剩下的时就必须知道从家到城里的路程和剩下的时间。根据题意，这两个条件都可以求出。间。根据题意，这两个条件都可以求出。v问题问题6.1.26.1.2龟、兔进行龟、兔进行10001000米的赛跑。小兔米的赛跑。小兔每分钟能跑每分钟能跑100100米，乌龟每分钟只能跑米，乌龟每分钟只能跑1010米，米，比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有4040米米时，小兔醒了，拔腿就跑。请解答两个问时，小兔醒了，拔腿就跑。请解答两个问
5、题：题：v（1 1）它们谁胜利了？）它们谁胜利了？v（2 2）胜者到终点时，另一个距终点还有几）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？米？v问题问题6.1.36.1.3甲、乙二人分别从东、西两镇同甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行。出发时出发相向而行。出发2 2小时后，两人相距小时后，两人相距5454千米；出发千米；出发5 5小时后，两人相距小时后，两人相距2727千米。千米。问出发多少小时后两人相遇？问出发多少小时后两人相遇？v分析：分析：根据根据2 2小时后相距小时后相距5454千米，千米，5 5小时后小时后相距相距2727千米，可以求出甲、乙二人千米，可以求出甲、乙二人3 3小时行
6、小时行的路程和为（的路程和为（54-2754-27）千米，即可求出两人）千米，即可求出两人的速度和。根据相遇问题的解题规律的速度和。根据相遇问题的解题规律:v相隔距离相隔距离速度和速度和=相遇时间相遇时间.v5+275+27（54-2754-27）（5-25-2）=8(=8(小时小时)v问题问题6.1.46.1.4一条隧道长一条隧道长360360米，某列火车从米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了车头入洞到全车进洞用了8 8秒钟，从车头入秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了洞到全车出洞共用了2020秒钟。这列火车长秒钟。这列火车长多少米？多少米？v分析：分析：如图如图 39-239-2，火车，火车8
7、 8秒钟行的路程是火秒钟行的路程是火车的全长，车的全长，2020秒钟行的路程是隧道长加火车秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（长。因此，火车行隧道长（360360米）所用的时米）所用的时间是（间是（20-820-8）秒钟，即可求出火车的速度。）秒钟，即可求出火车的速度。问题问题6.1.56.1.5有甲、乙、丙三人，甲每小时行有甲、乙、丙三人，甲每小时行3 3千米，乙每小时行千米，乙每小时行4 4千米，丙每小时行千米，丙每小时行5 5千米。千米。甲从甲从A A地，乙、丙从地，乙、丙从B B地同时相向出发。丙遇地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出到甲后立即返回，
8、再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了发时间开始算经过了1010小时。求小时。求A A、B B两地之两地之间的距离。间的距离。解：丙解：丙1010小时比乙多走的路程：小时比乙多走的路程：5 510-410-410=1010=10（千米）。（千米）。甲、丙二人的相遇时间：甲、丙二人的相遇时间：10-1010-102 25=95=9（小时）（小时）A A、B B两地间的距离：两地间的距离：（3+53+5）9=729=72（千米）。（千米）。答：答：A A、B B两地间的距离为两地间的距离为7272千米。千米。v问题问题6.1.66.1.6某船往返于相距某船往返于相距180180千米的两港之间，顺
9、千米的两港之间，顺水而下需用水而下需用1010小时，逆水而上需用小时，逆水而上需用1515小时。由于暴小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需雨后水速增加，该船顺水而行只需9 9小时，那么逆小时，那么逆水而行需要几小时？水而行需要几小时？v分析：分析：这道行程问题除了涉及到路程、船速、时间这道行程问题除了涉及到路程、船速、时间外，还涉及到水流速度，因此我们称它为外，还涉及到水流速度，因此我们称它为“流水问流水问题题”。其数量关系式为：静水速度。其数量关系式为：静水速度+水流速度水流速度=水速水速度。度。v静水速度静水速度-水流速度水流速度=逆水速度。逆水速度。v根据和差问题的算法，可得到下列
10、关系式：根据和差问题的算法，可得到下列关系式：v（顺水速度（顺水速度+逆水速度）逆水速度）2=2=静水速度。静水速度。v（顺水速度（顺水速度-逆水速度）逆水速度）2=2=水流速度。水流速度。v解：船在静水中的速度是解：船在静水中的速度是（181810+18010+1801515）2=152=15（千米（千米/小时）。小时）。暴雨前水流的速度是暴雨前水流的速度是（18018010-18010-1801515）2=32=3（千米（千米/小时）。小时）。暴雨后水流的速度是暴雨后水流的速度是 1801809-15=59-15=5（千米（千米/小时）。小时）。暴雨后船逆水而上需用的时间为：暴雨后船逆水而
11、上需用的时间为：180180（15-515-5）=18=18（小时）。（小时）。答：逆水而上需要答：逆水而上需要1818小时。小时。v问题问题 6.1.76.1.7小明步行上学，每分钟行小明步行上学，每分钟行7070米。离家米。离家1212分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280280米的速米的速度去追小明。问爸爸出发几分钟后追上小明？度去追小明。问爸爸出发几分钟后追上小明？v分析：分析：当爸爸出发时，小明已经走了当爸爸出发时，小明已经走了12分钟到达分钟到达A地，地，这段路就是爸
12、爸要追赶的路程，称为这段路就是爸爸要追赶的路程，称为“追及路程追及路程”（或距离差）。爸爸每分钟比小明快（或距离差）。爸爸每分钟比小明快（280-70）米，）米，即即210米米/分，称为分，称为“速度差速度差”。追及路程里面有多少。追及路程里面有多少个个210米，就需要多少分钟追上。这个时间称为米，就需要多少分钟追上。这个时间称为“追追及时间及时间”。v总结出追及问题的基本数量关系式：总结出追及问题的基本数量关系式：v追及路程追及路程速度差速度差=追及时间。追及时间。v于是得上题的综合算式：于是得上题的综合算式：v70701212（280-70280-70）=4=4（分钟）。（分钟）。v问题问
13、题 6.1.86.1.8铁路旁边有一条公路与铁路平行。铁路旁边有一条公路与铁路平行。一列长一列长160160米的火车以每小时米的火车以每小时5454千米的速度向千米的速度向东驶去。上午东驶去。上午7 7时时1010分迎面遇上向西行走的一分迎面遇上向西行走的一位工人，位工人，1010秒钟后离开这位工人；秒钟后离开这位工人；7 7时时2020分又分又迎面遇上向西奔驰的摩托车，迎面遇上向西奔驰的摩托车，5 5秒后离开摩托秒后离开摩托车。问摩托车将在什么时间追上工人车。问摩托车将在什么时间追上工人 分析：分析：要求摩托车何时追上工人，就必须知道摩托车要求摩托车何时追上工人，就必须知道摩托车要追及的路程
14、和摩托车与工人的速度差。关键是要先要追及的路程和摩托车与工人的速度差。关键是要先求出摩托车与工人的速度。由于火车与工人、火车与求出摩托车与工人的速度。由于火车与工人、火车与摩托车均属相遇问题，因此可以求出工人和摩托车的摩托车均属相遇问题，因此可以求出工人和摩托车的速度。又火车遇到工人后经过速度。又火车遇到工人后经过1010分钟遇到摩托车，这分钟遇到摩托车，这段时间内火车与工人是作背向运动，因此也能求出摩段时间内火车与工人是作背向运动，因此也能求出摩托车与工人的相隔距离，即摩托车的追及路程。托车与工人的相隔距离，即摩托车的追及路程。v问题问题 6.1.86.1.8铁路旁边有一条公路与铁路平行。一
15、列铁路旁边有一条公路与铁路平行。一列长长160160米的火车以每小时米的火车以每小时5454千米的速度向东驶去。千米的速度向东驶去。上午上午7 7时时1010分迎面遇上向西行走的一位工人，分迎面遇上向西行走的一位工人，1010秒秒钟后离开这位工人；钟后离开这位工人；7 7时时2020分又迎面遇上向西奔驰分又迎面遇上向西奔驰的摩托车，的摩托车，5 5秒后离开摩托车。问摩托车将在什么秒后离开摩托车。问摩托车将在什么时间追上工人时间追上工人解：火车速度：解：火车速度：5454千米千米/小时小时=900=900米米/分分=15=15米米/秒。秒。工人速度：工人速度：16016010-15=110-15
16、=1（米（米/秒）秒）=60=60米米/分。分。摩托车速度：摩托车速度：1601605-15=175-15=17（米（米/秒）秒）=1020=1020米米/分。分。追及路程：（追及路程：（900+60900+60）（20-1020-10）=9600=9600（千米）。（千米）。追及时间：追及时间：96009600（1020-601020-60）=10=10（分），（分），7 7时时2020分分+10+10分分=7=7时时3030分。分。答：摩托车将在答：摩托车将在7 7时时3030分追上工人。分追上工人。第二节第二节 工程问题工程问题v工程问题的特点：工程问题的特点：无论什么工作，都将它看无论
17、什么工作，都将它看成一个整体，完成这件工作量就是成一个整体，完成这件工作量就是“1”1”。v工程问题有三个基本量：工程问题有三个基本量：工作量、工作效率工作量、工作效率和工作时间。和工作时间。v工作时间、工作效率和工作量这三者之间有工作时间、工作效率和工作量这三者之间有一重要关系：某一时间内完成的工作量，等一重要关系：某一时间内完成的工作量，等于工作者（于工作者（1 1人或几人）的工作效率与工作时人或几人）的工作效率与工作时间的乘积，即间的乘积，即v工作量工作量=工作效率工作效率工作时间。工作时间。v这一关系式是工程问题的本质关系式。这一关系式是工程问题的本质关系式。v问题问题6.2.16.2
18、.1有一项工作，甲需要有一项工作，甲需要6 6天完成，乙需天完成，乙需要要3030天完成。问（天完成。问（1 1）甲、乙合做需要几天完）甲、乙合做需要几天完成？（成？（2 2）如果甲先做了）如果甲先做了3 3天，乙才参加，问乙天，乙才参加，问乙参加进来后几天完成这项工作？（参加进来后几天完成这项工作？（3 3）如果甲、）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，问乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，问完成这项工作用了几天时间？完成这项工作用了几天时间？解：（解：（3 3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天，可以这样考虑：假设甲不休息，那么一天，可以这样考虑
19、：假设甲不休息，那么甲、乙两人完成的总工作量为甲、乙两人完成的总工作量为 ，因此，因此完成这件工作所花费的时间为：完成这件工作所花费的时间为：67611)(65563530161611天v问题问题6.2.26.2.2有一批书有一批书,小明小明9 9天可装订天可装订3/4,3/4,小小丽丽2020天可装订天可装订5/6,5/6,小明和小丽合做共装订了小明和小丽合做共装订了6 6天天,余下的由小丽来装。问装订完这批书共余下的由小丽来装。问装订完这批书共用了多少天？用了多少天？分析分析:要求装订完这批书所需要的时间，关键是要知要求装订完这批书所需要的时间，关键是要知道小明和小丽的工作效率，这由已知条
20、件容易得到。道小明和小丽的工作效率，这由已知条件容易得到。问题问题6.2.36.2.3甲、乙两台不同的拖拉机合耕一块甲、乙两台不同的拖拉机合耕一块地共需要地共需要1010小时，在共同工作了小时，在共同工作了4 4小时后，甲小时后，甲拖拉机发生故障，由乙单独又耕了拖拉机发生故障，由乙单独又耕了1818小时才小时才完成。问甲、乙两台拖拉机单独耕这块地各完成。问甲、乙两台拖拉机单独耕这块地各需要多少小时？需要多少小时？v问题问题6.2.46.2.4一个水池装了两种不同粗细的水管，一个水池装了两种不同粗细的水管，甲种水管甲种水管2 2根，乙种水管根，乙种水管3 3根。甲种水管单独根。甲种水管单独开一根
21、开一根1212小时可把水池注满。乙种水管单独小时可把水池注满。乙种水管单独开一根开一根1818小时可把水池注满。如果小时可把水池注满。如果2 2根甲水管根甲水管先开，放了若干小时后，再打开先开，放了若干小时后，再打开3 3根乙水管，根乙水管，2 2小时将水池注满，问小时将水池注满，问2 2根甲水管放了多少小根甲水管放了多少小时？时？分析：分析：水池注水问题也属工程问题。我们还是分两水池注水问题也属工程问题。我们还是分两段时间考虑现在要求的是第一段时间，即段时间考虑现在要求的是第一段时间，即2 2根甲水根甲水管注水时间，这就得先求它们在第一段时间内的工管注水时间，这就得先求它们在第一段时间内的工
22、作量（即注水量）。为此要先求第二阶段时间内，作量（即注水量）。为此要先求第二阶段时间内，即即5 5管齐开时间内的注水量。管齐开时间内的注水量。v问题问题6.2.56.2.5甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修乙合修6 6天完成了解天完成了解1/31/3，乙、丙合修，乙、丙合修2 2天完成天完成余下工程的余下工程的1/41/4，剩下的再由甲、乙、丙三人，剩下的再由甲、乙、丙三人合修合修5 5天完成，现领工资共天完成，现领工资共180180元，按工作量元，按工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？分配，甲、乙、丙应各得多少元？第三节第三节 分数及百分数应用题分数及百分
23、数应用题v在解有关分数和百分数的问题时，首先要弄清以下在解有关分数和百分数的问题时，首先要弄清以下几个基本问题：几个基本问题：（1 1）如何求一个数的几分之几？）如何求一个数的几分之几？（2 2）如何求一个数是另一个数的几分之几？）如何求一个数是另一个数的几分之几？（3 3）已知一个数的几分之几，如何求这个数？）已知一个数的几分之几，如何求这个数？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到几就得到 求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到数除以后一个数就得到 已知一个数的几
24、分之几，要求这个数，只需要将这已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几个几分之几的数除以几分之几 v问题问题6.3.1 6.3.1 某工厂二月份比元月份增产某工厂二月份比元月份增产1010，三月份比二月份减产三月份比二月份减产1010问三月份比元月问三月份比元月份增产了还是减产了？份增产了还是减产了？v问题问题6.3.26.3.2铁球加温后体积增加了铁球加温后体积增加了1/10,1/10,然后然后温度下降温度下降,体积还原体积还原,问体积减少几分之几问体积减少几分之几?v问题问题6.3.3 6.3.3 一个最简分数，如果把它的分子扩一个最简分数，如果把它的分子扩大
25、大3 3倍，分母缩小为原来的倍，分母缩小为原来的1/21/2，得到，得到 ，求，求这个分数。这个分数。212v问题问题6.3.46.3.4一瓶油第一次吃去一瓶油第一次吃去0.50.5千克千克,第二次第二次吃去余下的吃去余下的3/4,3/4,这时瓶内还剩油这时瓶内还剩油0.20.2千克千克,问原问原来瓶内有多少千克油来瓶内有多少千克油?v问题问题6.3.56.3.5有两筐鸡蛋，甲筐里的鸡蛋比乙有两筐鸡蛋，甲筐里的鸡蛋比乙筐少筐少1818个如果从甲筐里拿出个如果从甲筐里拿出6 6个放入乙筐中，个放入乙筐中，这时甲筐里的鸡蛋相当于乙筐里的这时甲筐里的鸡蛋相当于乙筐里的4/7,4/7,求原来求原来甲、
26、乙两筐中各有多少个鸡蛋甲、乙两筐中各有多少个鸡蛋?综合算式：综合算式：70673306741)2618(v问题问题6.3.66.3.6一桶柴油，第一次用了全桶的一桶柴油，第一次用了全桶的2020，第二次用去第二次用去2020千克，第三次用了前两次的和，千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩这时桶里还剩8 8千克油问这桶油有多少千克？千克油问这桶油有多少千克？综合算式：综合算式：(20(202+8)2+8)(1-2(1-220%)=80(20%)=80(千克千克)第四节第四节 比和比例应用题比和比例应用题问题问题6.4.16.4.1 六年级三个班总共有六年级三个班总共有138138人，（人，（
27、1 1）班人数与（班人数与（2 2）班人数之比为）班人数之比为6565，（，（2 2）班人）班人数与（数与（3 3）班人数之比为）班人数之比为4545求三个班各有求三个班各有多少人多少人)(4822425202413824人分析分析:(1):(1)、(2)(2)、(3)(3)班人数比为班人数比为2424：2020：2525因为三个班人数和为因为三个班人数和为138138人所以人所以(1)(1)班人数为班人数为:(2)(2)班人数为班人数为20202=40(2=40(人人)(3)(3)班人数为班人数为25252=50(2=50(人人)v问题问题6.4.26.4.2 操场上有一群学生在玩一种游戏，
28、其中男操场上有一群学生在玩一种游戏，其中男生与女生的比为生与女生的比为3232后来从教室里又出来后来从教室里又出来6 6名女生参名女生参加进来，此时男生与女生之比为加进来，此时男生与女生之比为5454求原来有多少求原来有多少男生、多少女生？男生、多少女生？v分析：原来男生、女生之比为分析：原来男生、女生之比为3232，加入，加入6 6名女生后变名女生后变为为5454由于男生人数未变，可将两个比的前项写成由于男生人数未变，可将两个比的前项写成一样，就是一样，就是:v32=151032=1510（同乘以（同乘以5 5）,54=1512,54=1512（同乘以（同乘以3 3）.v从上式可看出女生人数
29、增加了从上式可看出女生人数增加了2 2份，因此容易求出男、份，因此容易求出男、女生的人数女生的人数v原女生人数为原女生人数为:10:1066(12-10)=10(12-10)=103=303=30（人）（人）v男生人数为男生人数为 :15:1566（12-1012-10）=15=153=453=45（人）（人）v问题问题6.4.36.4.3某人买甲、乙两种铅笔共某人买甲、乙两种铅笔共100100支，已知甲支，已知甲铅笔每支铅笔每支1 1角角5 5分，乙铅笔每支分，乙铅笔每支1 1角若甲、乙两种角若甲、乙两种铅笔用去的钱一样多，问甲、乙铅笔各买了多少支？铅笔用去的钱一样多，问甲、乙铅笔各买了多少
30、支？v分析：分析：当某种货物单价一定时，所花的钱的总数与当某种货物单价一定时，所花的钱的总数与货物数量成正比；若花钱总数一定，则购物数量与货物数量成正比；若花钱总数一定，则购物数量与单价成反比单价成反比 现甲、乙两种铅笔花钱一样多现甲、乙两种铅笔花钱一样多,因此甲、乙两种铅因此甲、乙两种铅笔数量应与它们的单价成反比笔数量应与它们的单价成反比 因甲、乙两种铅笔单价之比为因甲、乙两种铅笔单价之比为1510=321510=32 因此甲、乙两种铅笔数量之比应为因此甲、乙两种铅笔数量之比应为2323 v问题问题6.4.46.4.4 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒
31、精与水的体积之比为中酒精与水的体积之比为3131，而另一个瓶中酒精，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是与水的体积之比是4141若把两瓶酒精溶液倒入一若把两瓶酒精溶液倒入一个盆中混合，问混合液中酒精与水的体积之比为多个盆中混合，问混合液中酒精与水的体积之比为多少？少？分析分析:甲瓶中酒精占瓶子容积的甲瓶中酒精占瓶子容积的 43133乙瓶中酒精占瓶子容积的乙瓶中酒精占瓶子容积的54144201654,201543因为将将1 1个瓶子的容积看作个瓶子的容积看作2020份，那么份，那么2 2个瓶子的容积为个瓶子的容积为4040份，两个瓶子中的酒精一共占了份，两个瓶子中的酒精一共占了 151516=3116=31（份），（份），因此两个瓶子中的水共占了因此两个瓶子中的水共占了40-31=940-31=9（份），所以混合（份），所以混合液中酒精与水体积之比为液中酒精与水体积之比为319319
