1、集合与简易逻辑测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是【 】（A）若q则p （B）若p则q（C）若q则p （D）p且q2已知集合，那么集合为【 】（A）（B） （C）（D）3设集合,则实数a的取值范围是【 】（A）（B）（C）(1,+) （D）(,1)4“abO”是“2aba2+b2”成立的【 】（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充分必要条件 （D）不充分且不必要条件5设全集U=1，3，5，7，集合M=1，|a5|，=5，7，则a的值为【 】（A）2或8（B）8
2、或2（C）2或8（D）2或86.若为全集,下面三个命题中真命题的个数是【 】（1）若（2）若（3）若（A）个 （B）个 （C）个 （D）个7函数f(x)的定义域是, f(x2-1)的定义域是M, f(sinx) 的定义域是N, 则MN等于 【 】（A）（B）（C）M（D）N8设,若集合,则【 】（A）或（B）（C）或（D）或9定义集合运算：AB=，xA，yB，设集合A=，0，1，B=，则集合AB的所有元素之和为【 】（A）1 （B）0 （C）（D）10. 已知集合M=，且，设，则【 】（A）（B）（C）（D）11. 已知向量，则【 】（A）（B）（C）（D）12“a =1”是“函数在区间上为增
3、函数”的【 】（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13已知命题：函数定义域为；命题：若，则函数在上是减函数有如下命题：命题“且”为真；命题“或非”为假；命题“或”为假；命题“非且非”为假则其中错误的是.14已知集合中至少有一个元素,则的取值范围.15若集合, 则；16若，则集合A的个数为_三、解答题：本大题共6小题，满分74分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17(本小题满分12分)已知；是的必要不充分条件，求实数的取值范围18(本小题满分12分)已知集合，若，求实数的取值范围19(本小
4、题满分12分)设集合，. （1）当时，求A的非空真子集的个数；（2）若B=，求m的取值范围；（3）若，求m的取值范围. 20(本小题满分12分)已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB至多有一个元素；(3)当a10时，一定有AB.21(本小题满分12分)设f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求证：AB;(
5、2)如果A=1，3，求B.22(本小题满分14分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=Tf(x)成立函数f(x)=x 是否属于集合M？说明理由；设函数f(x)=ax（a0,且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=axM；若函数f(x)=sinkxM ,求实数k的取值范围。参考答案一选择题：1C 2D3B 4B 5D 6D 7A 8A 9B 10C 11C 12A答案提示：1因原命题与逆否命题等价，故选C.2由于两集合中的元素都是点（x,y）,两直线的交点为，故选D.3画出数轴,由图可知,选B.4由于当a与b不同号时，2aba2
6、+b2也成立，故选B.5由题意可得：|a5|=3，解得a=2或8,选D.6因为（1）;（2）;（3）证明：,;同理, ;故选D7由解得M=；由解得N=，所以MN=，故选A8若,得,矛盾;若,则,若,则（舍去）;若,得故或，选A9根据题目所给集合定义可算得：AB=，故选BC10由题意有：，选C11令得方程组Oayx1解得，故选12函数的图像如图所示，其单调增区间为当a =1时，函数在区间上为增函数，反之若函数在区间上为增函数，则，故选A二填空题：13145 15 16答案提示：13由，得，所以命题为真，则非为假；又由，易知函数在上是增函数，命题也为假，则非为真所以命题“且”为假，命题“或非”为真
7、，命题“或”为真，命题“非且非”为假故答案为14由题意，当中仅有一个元素时,或;当中有两个元素时,，所以5 15因为xy0,则，于是，解得y=-1,x=1,所以16集合A除了要有元素这个元素外，还需有元素这个元素中的0个或个或个或（）个，所以集合A的个数为三解答题：17解：由，得，即A=；由得，即B=，是的必要不充分条件，且m0。AB，故且不等式组中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得m9为所求18法一：由得，方程在区间上至少有一个实数解，首先，由，解得：或设方程的两个根为、，（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，故、必有一个在区间内，从而知方程
8、在区间上至少有一个实数解，综上所述，实数的取值范围为法二：问题等价于方程组在上有解，即在上有解，令，则由知抛物线过点，抛物线在上与轴有交点等价于或由得，由得，实数的取值范围为19解： A=，集合B可写为.(1）,即A中含有8个元素，A的非空真子集数为（个）；(2)显然只有当m-1=2m+1即m=-2时，B=；(3)当B=即m=-2时，.当B即时（）当m-2 时,B=（m-1,2m+1）,要，只要.综合，知m的取值范围是：mm=-2或.20解：(1)正确.在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上.(2)正确
9、.设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.AB至多有一个元素.(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n0, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10.如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确
10、的.21解：(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0).即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB.(2)证明：A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q=0有两根1和3，应用韦达定理，得f(x)=x2x3.于是集合B的元素是方程ff(x)=x,也即(x2x3)2(x2x3)3=x(*)的根.将方程(*)变形，得(x2x3）2x2=0解得x=1,3,.故B=，1，3.22解：对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，f(x)=因为函数f(x)=ax（a0且a1）的
11、图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx 因为k0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx1，1，sin(kx+kT)1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx 成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2m, mZ 当T=1时，sin(kxk)=sinkx成立，即sin(kxk+)= sinkx成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1), mZ 综合得，实数k的取值范围是k|k=m, mZ
