1、 2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 设函数f(x)满足，f(0)=0. 则 =_.解 应填 2.由，于是 = =(2) 设连续，若在点(0,0)处关于x,y的偏导数均存在，则应满足_.解 应填 由题设 在x=0处关于x的导数存在，得(3) 已知，且f(1)=1，则f(x)=_.解 应填 -x+2.由 ,有 ，即 ，解此微分方程，得 f(x)=cx+2, 由f(1)=1, 知c=-1, 故 f(x)=-x+2. (4) 二次型的正负惯性指数都是1，则a= .解 应填 -2，由于r(A)=1+1=2若a
2、=1, 则r(A)=1,不合题意；若a=-2符合题意，故a=-2.(5) 设A,B独立，P(A)=0.5, P(B)=0.6，则= . 解 应填 = =(6) 设和为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差，若为的无偏估计，则常数k= . 解 应填 1.由题设，于是，知 k=1. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 设 则f(x)(A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续.(C) 连续但不可导. (D) 可导. 解 应选C.因为 ，所以f(x)在x=0处连续.而 不存在，故应选(C)
3、.(8) 设函数f (x)在(- , +)内连续，. 如果f (x)是单调增加的偶函数，则F(x)是(A) 单调增加的偶函数.(B) 单调增加的奇函数.(C) 单调减少的偶函数.(D) 单调减少的奇函数. 解 应选C.令u = x - t，F(x) =，所以，为奇函数，为偶函数，即F(x)为偶函数.又，即F(x)单调减少.因此，选(C).(9) 设a和b为常数，且，则(A) a=0，b=1 (B) a=-1，b=1 (C) (D) 解 应选D由于， 故应选(D).(10) 设f (x)连续可导，则等于 (A) (B) (C) 2f(0) (D) 2 解 应选A.=故应选(A).(11) 设正项
4、级数的部分和为，又，已知级数收敛，则 (A) 收敛 (B) 发散(C) 条件收敛 (D) 收敛 解 应选B. 由收敛的必要性知，于是 ，故应选(B).(12) 设A为阶矩阵，考虑以下命题：Ax=0只有零解； Ax=b有唯一解；A的行向量组线性无关；A的列向量组线性无关. 则有(A) . （B） . (C) . (D) . 解 应选B.Ax=b有唯一解，知，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13) 设A为n阶矩阵，考虑以下命题：1）A与有相同的特征值与特征向量；2）若AB, 则A,B有相同的特征值与特征向量；3）若A,B有相同的特征值，则A,B一定相似于同一个
5、对角矩阵；4）若A,B有相同的特征值，则r(A)=r(B). 成立的命题有(A) 1个 (B) 2个. (C) 3个. (D) 0个. 解 应选D.A与有相同的特征值但特征向量不相同；AB, 则A,B有相同的特征值但同样特征向量不一定相同；A,B有相同的特征值，但A,B不一定可对角化，从而不一定相似于同一个对角矩阵；A,B有相同的特征值，推不出r(A)=r(B)，如. 故应选(D). (14) 设(X,Y)为二维随机变量，则X与Y独立的充要条件为(A) 独立. (B) 独立. (C) 独立. (D) 独立. 解 应选C.若X,Y 独立，则、均独立；但反过来，只有独立时，才可推导出X与Y独立，即
6、 = =故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15) (本题满分8分)设f(x)=, 其中g(x)具有二阶导数，且，求解 令u=lnx (16) (本题满分9分)设函数f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解 直接解微分方程，或 由f(x)的连续性知f(0)=0. 又由已知条件 2=因此，所求函数为 旋转体的体积为 ，令 又，故当a=-5时，旋转体体积最小.(1
7、7) (本题满分8分)设f(x)在区间a,b上可导，且=，.证明：存在，使证 令，且. 不妨设 ，则, F(c)=0 即结论。(18) (本题满分8分)函数f(x,y)二阶偏导数连续，满足，且在极坐标系下可表成f(x,y)=h(r)，其中，求f(x,y).解 由题设，有 ，根据，得 ，故f(x,y)=(19) (本题满分9分)设 证明当时，幂级数收敛，并求其和函数.解 ，所以在(-1,1)内收敛.由，可得递推式：，于是 ,所以 (20) (本题满分13分) 设为四维列向量组，且线性无关，. 已知方程组有无穷多解，(1) 求a的值；(2) 用基础解系表示该方程组的通解.解 由已知，得矩阵的秩小于
8、3，又线性无关，所以，矩阵不可逆，得a = 2.方程组化为()x = ()，因为线性无关，所以，原方程组与方程组x =同解.容易求得方程组x =的通解为. (21) (本题满分13分) 设是三阶矩阵A的三个特征值，其对应的特征向量依次为 证明：(1) , (2) 把用线性表出，并求. 证 (1) , (2) ,从而= =(22) (本题满分13分)设，对X作两次独立观察，其值分别为，令 (1) 求A及(2) 求与的联合分布律解 (1) 由与独立 (2) = (23) (本题满分13分) 设总体X服从指数分布，概率密度为 为取自总体X的简单随机样本。(1) 证明仍服从指数分布；(2) 求常数C使
9、为的无偏估计； (3) 指出Z与哪个更有效。 解 (1) : （2） (3) , 比DZ更有效。 2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1)设曲线y=f(x)与y=sinx在原点相切，则极限 =_.解 由题设，f(0)=0,于是=(2) 由拉格朗日中值定理有，其中，则_. 解 (3)设，D是全平面，则_.解 (4)设A=，A的伴随矩阵A*的秩为1，且，则Ax=0的通解为_.解 由题设，秩r(A)=n-1, 于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1, 而表明Ax=0有解，故Ax=0的通解为.(5)
10、 已知-2是的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则x= . 解 由题设，有，知x=-4. (6) 设P(A)=0.5, P(B)=0.6，则= . 解 由题设知P(AB)=0.2, 于是= = 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 设 则f(x)(A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续.(C) 连续但不可导. (D) 可导. 解 应选C.因为 ，所以f(x)在x=0处连续.而 不存在，故应选(C).(8) 设f (x)有连续导数且，又. 当时，与是同阶无穷小，则n等于(A) 1. （
11、B） 2. (C) 3. (D) 4. 解 应选C.=，于是 (9) 设a和b为常数，且，则(A) a=0，b=1 (B) a=-1，b=1 (C) (D) 解 应选D由于， 故应选(D).(10) 设，则等于(A) -1 (B) (C) 1 (D) 0 解 应选(A).当x=0时，于是=(11) 若在0，1上有，则的大小比较关系是 (A) (B) (C) (D) 解 应选(C)., 于是，从而有 (12) 设A为阶矩阵，考虑以下命题：Ax=0只有零解； Ax=b有唯一解；A的行向量组线性无关；A的列向量组线性无关. 则有(A) . （B） . (C) . (D) . 解 应选(B).Ax=b
12、有唯一解，知，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13) 设A,B,C两两独立且P(A),P(B),P(C), 则A,B,C不相互独立的充分条件是(A) A与BC独立 (B) C与独立. (C) B与独立. (D) AB与AC独立. 解 应选(D). 若AB与AC独立，则P(, 即 =可见此时A,B,C不相互独立。应选(D).(14) 设随机变量X,Y,Z相互独立，且XN(1,2), YN(2,2), ZN(3,7), 记a=PXY, b=PYb. (B) ab. (C) a=b. (D) a,b的大小关系不能确定 解 应选(A)., ,于是a=PXY=，b=
13、PYb. 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15) (本题满分8分)设可导函数x=x(t)由方程所确定，其中可导函数，求.解 将t=0代入方程，可得x(0)=0. 在方程两边对t求导，得 ，于是得 在此方程两边再对t求导，得 ，于是可得(16) (本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在A,B 两个市场销售，售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为总成本函数为. 若A市场的价格对B市场的价格弹性为2，且=1时，=3/16. 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？解 收益为：利润 =问题转化为求L在条件下的最大值.考虑拉格朗日
14、函数 令 解得 p1=3, p2=4. 由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当p1=3, p2=4时，利润最大. (17) (本题满分9分)已知方程存在实根，常数a1,b0，求a,b 应满足的条件.解 设 ，驻点.当时，单调增加；当时，f(x)单调减少，是最大值. 又，所以，即有，故a,b应满足条件：(18) (本题满分9分)已知函数u=u(x,y)满足方程，试选择常数a,b,使得通过变换把原方程化为以z为未知函数的方程，且其中无一阶偏导数项. 解 ，代入原方程，得 因无一阶偏导数项，故故原方程化为(19) (本题满分8分)设f(t)连续且满足，求f(t). 解 ，于是 解此一阶线性微
15、分方程，得 由于f(0)=0, 得 从而(20) (本题满分13分) 设向量组，（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；(2) p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.解 ，（1）当时，向量组线性无关，此时设，解得 （2）当p=2时，向量组线性相关，此时向量组的秩为3，为其一个极大线性无关组. (21) (本题满分13分)已知A为三阶矩阵，为Ax=0的基础解系，又AB=2B,B为三阶非零矩阵.1) 计算行列式；2）求秩r(A-2E); 3) 求矩阵2A+3E的特征值.解 由题设，是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量，又由AB=2B,B为
16、三阶非零矩阵，不妨设B的第一列非零，则是A的属于特征值2的特征向量，于是令 ，则有 1) A+E, 于是=3.2) A-2E3) 矩阵2A+3E的特征值为3，3，7.(22) (本题满分13分)向平面区域内随机地投掷一点(X,Y)，设，(1) 求A,B恰好发生一个的概率；(2) 问A,B是否独立？并讨论X与Y的独立性.解 D的面积为，故(X,Y)的概率密度函数为 且, ， .(1) (2) 由于，所以A,B不独立。 ， ，即 ，所以X,Y不独立。 (23) (本题满分13分)设(X,Y)的分布律为X Y -1 0 1 -1 1/8 1/12 c 0 a b 1/6 1 1/6 1/8 1/12F(x,y)为(X,Y)的分布函数，若已知cov(X,Y)= , 1）求常数a,b,c. 2） 求数学期望. 解 , , 从而 cov(X,Y)=E(XY)-EXEY, XY -1 0 1 P , 由cov(X,Y)= 2） 0 1 0 1 P P
