1、1 1.求 3232 11xxxxy的反函数 2.设)(xf在0x处连续， 且对x， 有xxfxfcos)()2(， 求在0x时)(xf的表达式。 3.求极限n n n n 1 ) 1(4321 1 lim 4.设)0()2(2lim)( 2 xxxxf n nn n ，讨论)(xf的可导性 5.设数列 n x满足 2 1 1 x， 2 1 1 n n x x ，求 n n xxxx 321 lim 6.设1 1 a，) 1( 1 kk aka，试计算 n k k n a 1 1 1lim 7. （1）设)(xf为在,ba上的连续正值函数。求证：)(max)(limxfdxxf bxa n b
2、 a n n （2）设数列 n x满足 2 , 0 n x且 2 0 sin 2 sin xdxx n n n ，计算 n n x lim 8.计算 )2(642 ) 12(531 lim n n n 9.计算 ) 1ln( 1 2 1 1 lim n n n 10.计算)2(sinlim 2 xxxx x 11.计算 2 0 3cos2coscos1 lim x xxx x 12.计算 2 ) 1 1 ( lim x x x x e 13.计算 n n n n ! lim 14.计算 x ex xxxxx x x )ln( 11lim 2332 专升本必做120道基础习题 2 15.设)(x
3、yy 是二阶常系数微分方程 x eqyypy 3 满足初始条件0)0()0( yy的 特解，求 )( )1ln( lim 2 0 xy x x 16.计算 4 sin 0 ) 1() 1sin( lim x ee xx x 17.计算 2 0 2 2 0 12 sin sin lim xdx xdx n n n 18.设函数)(xf在), 1 上具有连续导数，满足 )(2 1 )(0 2 xfxx xf ，且1) 1 (f， 求证：)(limxf x 存在且 2 3 )(lim xf x 19. （1）设 2 2 2 1 sin1 )arcsin()( x x xxxf ，求)0( f （ 2
4、 ） 设 函 数)(),(xgxf在),(上 有 定 义 ， 且 对 于),(,yx， 恒 有 )()()()()(xgyfygxfyxf， 且0)0(f，1)0(g，1)0( f ，0)0(g， 求)(x f 20.设数列 n a满足2 1 a，12 2 1 nn aa，计算 121 2 lim n n n n aaa a 21.设)(lim2)( 1 xfxxf x ，计算)(lim 3 xf x 22.设函数)(xf在) 1, 1( 00 xx内无穷次可导，证明，对任意的正整数n，都有如下式子 成立。 1 )()()( lim 0 )1( 0 0 0 n xf xx xfxf dx d
5、n n n xx 3 23.设)(xf在 1 , 0上有连续导数，且有0) 1 ()0( ff。求证： （1） 1 0 2 1 0 2 )( 4 1 )(dxxfdxxf （2） 1 0 2 1 0 2 )( 8 1 )(dxxfdxxf 24.计算 24 ) 1(x dx 25. （1）计算2 0 )ln(sin dxx （2）利用（1）计算2 0 tan dx x x 26. （1）计算)(sinlim 22 nn n （2）计算)1sin(lim 2 n n 27.记)(C为 )1 (x在0x处的幂级数的展开式中 8201 x的系数，计算积分 dy yyy yC 1 0 2018 1 .
6、 2 1 1 1 ) 1( 28.设函数),(yxf在单位圆域上有连续偏导数，且在边界上的值恒为0，求证： D yx dxdy yx f yf x f 22 0 2 1 lim)0 , 0( 其中D是圆域1 222 yx. 29.设函数)(xf在), 0 具有二阶连续导数，已知0)0()0( ff，对), 0 x，都 有0)(2)(3)( xfxfxf成立，求证：0)(xf 4 30.设)(xf在 1 , 0上连续，记 1 0 2 )()(dxxfxfI， 1 0 2 )()(dxxxffJ，求函数)(xf使 得)()(fJfI最大 31.求不定积分 dxe x x x x 1 1 1 32.
7、计算 n i n in n i n 1 2 tan lim 33. （1）设函数xxf)(，),x。将函数)(xf展开为傅里叶级数 （2）利用（1）的结论证明 6 1 2 1 2 k k （3）求积分 0 1 du e u u 的值 34.设函数),(yxf是定义在10 , 10yx上的二元函数，0)0 , 0(f，且在点)0 , 0(处 ),(yxf可微，求极限 4 0 0 4 2 1 ),( lim x xt x x e duutfdt 35.求 100 1 2 1 n n的整数部分 36.设 0,arctan 2 ln 1 lim 0, 1 321 lim )( 321 xn n x n
8、 x n n x n n x n n x xf n n n nnn n ，求)(xf的表达式 37.设函数),(yxf具有一阶连续偏导数，满足dyeyxdxyeyxdf yy )1 (),(，及 5 0)0 , 0(f，求),(yxf 38.已知函数),(yxzz 具有二阶连续偏导数，且满足方程z x z yx z x z 2 2 2 。求证：经 变换)( 2 1 yxu，)( 2 1 yxv， y zew ，以u、v作自变量，w作因变量，方程可化 为w vu w u w 2 2 2 2 39.设)(xyy 满足 )0)(2)( 222222 ayxayx，求 )( 222 ayxy dx I
9、 40.若 4 22 yxD：，求 D dxdy yx x )tan()tan(1 )tan( 22 2 41.设 2 1 arcsin )( x x xf ，求)0( )2017( f 42.求满足 1 0 )()( )( dttutu dt tdu 及1)0(u的可微函数)(tu 43.设)(xf在) 1 , 1(内具有二阶连续导数且0)( x f，对于) 1 , 1(内任意的0x，存在唯 一的) 1 , 0()(x，使得xxxffxf)()0()(成立，计算)(lim 0 x x 44.设,.,2 , 1, 10nan且q n an n ln 1 ln lim（有限或） ，求证： （1）
10、当1q时级数 1n n a收敛，当1q时级数 1n n a发散； （2）判断级数 2 2 2 ln2 1 n n n n 的敛散性 45.设a、b均为常数，2a，0a，求实数a、b，使得 6 1 0 2 1 2 )1ln(1 )2( 2 drrdx axx abxx 成立 46.计算 D dxdy yx yx cos，其中D是由直线1 yx与两坐标轴围成的三角形区域 47.设一平面过原点和点)2 , 3, 6( ，且与平面824zyx垂直，求该平面方程 48.设函数)(xf在区间,ba上非负可积，求证： （1）当10时， b a b a dxxf ab dxxf ab )( 1 )( 1 （2
11、）当1或0时， b a b a dxxf ab dxxf ab )( 1 )( 1 49.计算定积分 dx x xx I x 4 cos1 )2017(arccotsin 50.求函数 222 ),(zyxzyxu在1)( 22 zyx条件下的极值 51.计算 n k n k 1 2 2 1 arctanlim 52.计算)0()()( 0 xdttxgtf x ，其中0x时xxf)(，而 2 , 0 2 0,sin )( x xx xg 53.设)(xf为连续函数，求证： 4 1 4 1 2 2 2ln ln2 2x dxx x fdx x x x x f 54.设函数)(xf是连续函数，
12、且满足 D x dxdyxyfdttxfxxxf)()()( 2 0 22 ， 其中D 7 是以) 1, 1(，) 1, 1 ( ，) 1 , 1 (为顶点的三角形，0) 1 (f，求 1 0 )(dxxf 55.计算dx x nx n n 2 0 2 sin sin ln 1 lim 56.求由曲线) 10(2 3 1 3 1 xxxyL：绕直线xyL 3 4 2 ：旋转所生成的旋转曲面的面 积。 57.设函数)(xf在0x时具有连续导数且2) 1 (f，在右半平面)0( x内存在可微函数 ),(yxuu 使得dyxxfydxxdu)(4 3 ，求函数)(xf和),(yxu 58.设锐角三角
13、形ABC的外接圆半径是一定值，且A、B、C所对的边长分别是a、 b、c，求证：0 coscoscos C dc B db A da 59.设曲线)( 1: 22 NnyxC nn n ，记 n L为 n C的长，求证：8lim n n L 60. （1）记 2222 41nn n n n n n An ，求A，使得AAn n lim （2）记)(AAnB nn ，求B，使得BBn n lim （3）记)(BBnC nn ，求C，使得CCn n lim 61.设函数)(xf在区间 1 , 0上连续，求证：) 1 ()(lim 1 0 fdxxfnxn n 62.设函数),(yxf在区域 222
14、),(ayxyxD上具有一阶连续偏导数，且满足 2 222 ),(ayxf ayx ，以及 2 2 2 ),(max a y f x f Dyx ，其中0a，求证： 4 3 4 ),(adxdyyxf D 8 63.计算 3 3 3 2 1 )1)(1 (xe dx x x 64. 设 函 数)(xf在,ba上 连 续 ， 且 在),(ba可 微)0(ba ，0)()(bfaf， 1)( 2 b a dxxf，证明： 4 1 )( 22 b a dxxfx 65.设函数)(x f 连续，0)( x f，0)0(f，0)0( f ，求 x xu x dttf dttf 0 )( 0 0 )( )
15、( lim。其中)(xu 是曲线)(xfy 上点)(,(xfxP处的切线在x轴上的截距。 66.设函数)(xf是 1 , 0上的可积函数且满足1)()( 1 0 1 0 dxxxfdxxf， 求证：4)( 1 0 2 xf 67.设数列 n x为), 2 , 1(33,33, 3 221 nxxxx nn ，求证：数列 n x 收敛并求极限 68.设)(xf在), 0 上可导，0)0(f，其反函数为)(xg，若 x xfx x exdtxtg 2 )( )( ， 求)(xf 69.求过点)0 , 0 , 2(和)0 , 2, 0( 且与锥面 222 zyx的交线为抛物线的平面方程。 70.设函
16、数)(xf在闭区间 1 , 0上具有连续导数，且0) 1 ()0( ff，求证： 1 0 2 2 1 0 )( 45 1 )(dxxfdxxxf取等号的条件是当且仅当)()( 3 xxAxf时成立，其中 A为常数 71.设函数),(zyxf在区域1),( 222 zyxzyx上具有二阶连续偏导数，且满足 222 ),(zyxzyxfdivgrad计算 dV z f z y f y x f xI 72.已知平面区域D是1| ),( 22 yxyx，L是D的边界正向一周，求证： 9 100920182017 22 sinsin L xy yx dxyedyxe I 73.设函数)(xf是连续函数，
17、且满足 1 )()( 2 1 1)( x dyxyfyfxf，求 1 0 )(dxxf 74.设函数)(xf在闭区间,ba上二阶可导，0)(af，0)(bf，且对任意的,bax， 有0)(, 0)( xfxf， 又对于数列 n x， 其满足 )( )( 1 n n nn xf xf xx ，,.2 , 1 , 0n，bx 0 。 （1）求证：方程0)(xf在),(ba内恰有一个根 （2）求证：数列 n x收敛于 75.设0s，计算 0 dxexI sxn n 76.设函数)(xf在 1 , 0上连续，且) 1,.,1 , 0(0)( 1 0 nkxfxk，1)( 1 0 dxxfxn，求证：
18、1 , 0 0 x，使得 n nxf2) 1()( 0 77.设x,y, Rz，求方程组 621147 1 333 222 zyx zyx 的解 78.设0 n a， n k kn aS 1 （1）当1 1 a且 n n Slim时，判断级数 1 1 ln n nn n SS a 和 1 2 ln n nn n SS a 的敛散性 （2）当0时，求证：级数 2 1 n nn n SS a 收敛 79.设 C yxyx dyxdxy rI )222( ) 1() 1( )( 22 ，其中曲线C为 222 ) 1() 1(ryx，取正向。 求极限)(lim 0 rI r 10 80.设函数)(xf
19、在 1 , 0上可积， 且Mxfm)(0， 求证： mM Mm xf dx dxxf 4 )( )( )( 2 1 0 1 0 81.设函数)(xf在 1 , 0上具有二阶连续导数，且有Axfff )(, 0) 1 ()0(。求证：对 任意的 1 , 0x，有 2 )( A xf 82.设1，求证：级数 1 321 n n n 收敛 83.设),(yxf为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任意的x、y、t，都有 ),(),( 2 yxfttytxf. （1）求证：),(2),( 2 yxfyxf y y x x （2）设D是由4: 22 yxL正向一周所围成的闭区域，求证： DL dxdy
20、yxfdivdsyxf),(),(grad 84.设函数)(xf在区间,ba上连续，1)( af，)(xg在,ba上正值连续，如果 ),()(,)()()()(xaxdttgxfdttgtf x a x a ，求 ax ax ax )( lim 85.已知平面区域D是1| ),( 22 yxyx，L是D的边界正向一周，求证： 5 4 2 22 sinsin L xy yxyx dxyedyxe I 86.设函数)(xf在 1 , 0上具有一阶连续导数，且1) 1 (, 0)0(ff，求证：对任意的 1 , 0x，有 e dxxfxf 1 )()( 1 0 87.求证：对任意的0, 0yx，有
21、2 22 4 yx e yx 11 88.设函数)(xf、)(xg在,ba上连续，且满足 x a x a dttgdttf)()(，,bax， b a b a dttgdttf)()(，求证： b a b a dxxxgdxxxf)()( 89.设函数)(xf二阶可导且0)(xf，对任意的x，有0)()()( 2 xfxfxf，求证： （1）对 21,x x，有 2 )()( 21 2 21 xx fxfxf （2）若1)0(f，求证：对Rx，都有 xf exf )0( )( 90.设n为自然数， x n tdtttxf 0 22 sin)()(，求证：)(xf在), 0 可取得最大值，且 )
22、32)(22( 1 )(max ), 0 nn xf x 91.设 1n n a与 1n n b为正项级数，求证： （1）若nnbaba nnnn ,.,2 , 1, 11 ，则级数 1 1 n n a 发散时， 1n n b发散； （2）若对某个正常数a，有,.2 , 1, 1 1 naa b b a n n n n ，则级数 1 1 n n a 收敛时， 1n n b收 敛。 92.设 1 )sin()( x x t dtexf，求证：2)(xfex 93.设 xux vu x dudve e x xF 00 4 33 3 )(，求)(limxF x 或者证明它不存在 94.设L为曲线 2
23、22 Ryx（常数0R）一周，n为L的外法线向量，),(yxu具有二阶 连续偏导数且 22 2 2 2 2 yx y u x u 。求 L ds u n 12 95.设二次函数)(xy（其中 2 x项的系数为1）的图形与x轴的交点为 0 , 2 1 及)0 ,(B， 其中 x dte dx d B x t x 1 2lim 0 sin 0 ， 求使二元函数 1 0 2 )()(),(dxxxI取得 最小的实数、的值 96.设 n k kk n a 1 2 tan 2 1 ，其中0且 2 k，求 n n a lim 97.计算 0 arctanarctan dx x xx 98.设 dxyf y
24、x y )()(, )( 1 )( 2 1 22 ，其中x,为任意实数，y为正 实数，求)(xf的初等函数表达式 99.设函数)(xf在 1 , 0上具有二阶连续导数，0)0()0( ff，1) 1 () 1 ( ff，求证： 24 1 2 121 )(lim 1 1 0 2 n k n n k f n dxxfn 100.计算 0 222 6 22 4 2 2753 ) 642422 1)( 642422 (dx xxxxxx x 101.计算 0 2) sin(dxx（提示： 2 0 2 dxe x ） 102.求证：对于任意的自然数n，有n n knn n k 6 34 3 2 1 10
25、3.求极限 n k n k n k n n 1 2 21 lim，其中 x表示不超过x的整数部分 13 104.计算 a dx xa x x 0 3 105.设函数)()()(xgxfxF，其中)(xf与)(xg满足：)()(xgxf，)()(xfxg， 0)0(f， x exgxf2)()(，求)(xF 106.已知 a dx x xf)( 存在，求证： a b fdx x bxfaxf ln)0( )()( 0 107.计算 3 3 3 1 2 4 1 lndxe x xx x x 108.设0x，设函数 x xt t dttfxg t x xf 0 )()(,1lim)( （1）求函数)
26、(xg在0x部分的水平渐近线 （2）求函数)(xg与其水平渐近线及y轴在0x部分所围成的图形的面积A 109.求平面曲线C，使得C上两点),(),1 , 0(yx之间的弧长为1 2 y 110.设函数)(xf在2 , 0上具有一阶连续导数，且0)( x f，求证：对任意正整数n，有 n ff nxdxxf )0()2(2 sin)( 2 0 111.设函数)(xf连续，)0( f 存在，并且对于Ryx,，有 )()(41 )()( )( yfxf yfxf yxf （1）求证：)(xf在R上可微 （2）若 2 1 )0( f ，求)(xf 14 112.求曲线)0( )1 ( 1 x x x
27、y x x 的非铅直渐近线 113.设函数)(xf在 1 , 1上连续，计算 1 1 22 0 )( limdx xh xhf h 114. 设)(xf是 二 次 可 微 的 函 数 ， 满 足0)0(, 1)0(ff， 且 对0x， 有 0)(5)(6)( xfxfxf，求证：对0x，都有 xx eexf 32 23)( 115.已知抛物线cbxaxy 2 在点)2 , 1 (M处曲率圆的方程为 2 1 2 5 2 1 22 yx， 求常数cba, 116.计算 0 2 )1 ( dx e xe x x 117.设函数)(xf在 2 1 , 0上二阶可导，且)0()0(ff，0) 2 1 (f，求证：至少存在一点 ) 2 1 , 0(，使得 21 )(3 )( f f 118.设正值函数)(xf在区间 1 , 0上连续，求证： 1 0 )(ln )( 1 0 dxxfe dxxf 119.设)(xyy 由方程xyyx3 33 确定，求 dx xy xyy 2 )1 ( 120.设函数)(xg在R内具有非负二阶导数，求证：对于 2 , 0 上连续函数)(xf，有： 2 0 2 0 sin)(sin)( xdxxfFxdxxfF
