1、平面向量的概念及线性运算单元测试题一选择题:1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,162=BC|,AB AC AB AC +=-则|AM |=( A.8B.4C.2D.12.已知ABC 中,点D 在BC 边上,且2,CD DB CD r AB sAC =+则r+s 的值是( 24.33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在R,使b= aD.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0 4.已知O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( .2.
2、22112.3333A OA OBB OA OBC OA OBD OA OB-+-+ 5.设D E F 分别是ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB = 则AD BE CF +与BC 是( A.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB=a+b,AC =a+b,(,R,那么A 、B 、C三点共线的充要条件为( A.+=2B.-=1C.=-1D.=1 二填空题:7.若点O 是ABC 所在平面内的一点,且满足|2|OB OC OB OC OA -=+-,则ABC 的形状为_.8.在平行四边形ABCD 中,E
3、F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =AE +u ,AF其中,uR,则+u=_.9.如图,平面内有三个向量OA OB ,OC其中OA 与OB 的夹角为120,OA 与OC 的夹角为30,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =OA + OB(,R,则+的值为_.10.如图,在ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交 直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,AB mAM AC nAN =则m+n 的值_.EFDCB A三解答题:11.若a ,b 是两个不共线的非零向量,t R ,若a ,b 起点相同,t 为何值时,a ,tb ,13(a +b 三向量的终点在
4、一条直线上?12.设a 、b 是不共线的两个非零向量,(1若2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;(2若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.13.如图所示,ABC 中,点M 是BC 的中点,点 N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP PM 的值. 课后练习 一、选择题1、设P 是ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC +=2、如图 D ,E ,F 分别是ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点
5、,则( A .0AD BE CF +=B .0BD CF DF -+=C .0AD CE CF +-=D .0BD BE FC -=3、在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,或AF AE AC +=,其中R 、 ,则=+ _.0.w.w4、如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD xAB yAC =+,则 x = ,y = 5、P 是ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA =,则P 是ABC 的A .外心B .内心C .重心D .垂心6、 点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA =,则 点O 是A
6、BC 的( (A 三个内角的角平分线的交点 (B 三条边的垂直平分线的交点(C 三条中线的交点(D 三条高的交点7、计算BA CD DB AC +等于( . (A 0 (B 0 (C 2DB (D 2 AC8、对于向量a 、b 、c 和实数,下列命题中是真命题的是( A.若a b =0,则a =0或b =0B.若a =0,则=0或a =0C.若a 2=b 2,则a =b 或a =-b D.若a b = a c ,则b =c 9、已知O 是ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点,且02=+OC OB OA , 那么( A.OD AO =B.OD AO 2=C.OD AO 3=D.OD AO
7、=2 10、在四面体A B C O -中,c OC b OB a OA =,D 为BC 的中点,E 为AD 的中 点,则OE = (用a,b,c 表示11,已知,AD BE 分别是ABC 的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b = ,则BC为A. 4233a b +B. 2433a b +C. 2233a b -D. 2233a b -+12.已知,AB a BC b CA c = ,则0a b c += 是,A B C 三点构成三角形的( A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件13、对平面内任意的四点A,B,C,D ,则AB BC CD D
8、A +=.14、ABCD 是梯形,/AB CD 且2AB CD =,M N 分别是DC 和AB 的中点,设,AB a AD b = , 试用,a b 表示BC 和MN15、,D E F 分别是ABC 的边,BC CA AB 的中点,且,BC a CA b =给出下列命题12AD a b =- 12BE a b =+ 1122CF a b =-+0AD BE CF += 其中正确的序号是16,己知向量,a b 且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的三点是( A A 、B 、D B A 、B 、C C B 、C 、D D A 、C 、D17.在平行四边
9、形ABCD 中,若AB AD AB AD +=-,则必有 ( A. 0AD = B. 00AB AD =或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形18.已知8,5AB AC =,则BC 的取值范围是 ( A. 3,8B. (3,8C. 3,13D. (3,13 19.下列说法中错误的是( A.向量AB 的长度与向量BA的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同. 20、已知正方形ABCD 的边长为1,AB a BC b AC c = ,则a b c +的模等于 A.0 B.3 C.2 D.
10、 2221.若O E F ,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A .EF OF OE =+B .EF OF OE =-C .EF OF OE =-+D .EF OF OE =-22.如图,在ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC于不同的两点M N ,若AB mAM = ,AC nAN =,则m n +的值为.23.已知12,e e 不共线,1212,a ke e b e ke =+=+,当k =_时,a b 共线。答案:1,解析:由|AB AC AB AC +=-可知,AB ,AC 则AM 为RtABC 斜边BC 上的中线,因此,|1|2,2AM BC
11、 =选C.答案:C2,解析:2CD DB =22(33CD CB AB AC =-22,33CD AB AC =- 又,CD r AB sAC =+r=22,33s =-,r+s=0.故选D.答案:D3,解析:a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量,故B 错.当b=a 时,a,b 一定共线,若b0,a=0.则b=a 不成立,故C 错.排除A 、B 、C,故选D. 答案:D4,解析:22(,OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-2,OC OA OB =- 故选A. 答案:A5,解析:12,332,3AD AB BD AB
12、BC BE BC CE BC CA CF CA AF CA AB =+=+=+=+=+=+55433354541(.33333AD BE CF AB CA BCAB CA BC CB BC BC +=+=+=+=- 故选A. 答案:A6,解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A 、B 、C 三点共线 AB AC AB mAC =a+b=ma+m b (-ma=(m -1b.因为a,b 不共线, 所以必有,10mm =-=故可得=1.反之,若=1,则=1.所以11AC a b =+= (a+b=1,AB AB ,AC 所以A 、B 、C 三点共线. 故选D. 答案
13、:D7,解析:2,OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OCCB AB AC +-=-+-=+-=-|,AB AC AB AC +=-故A B C 为矩形的三个顶点,ABC 为直角三角形.答案:直角三角形8,解析:设,BC b BA a = 则11,22AF b a AE b a AC =-=-=b-a,代入条件得=u=23,+u=43.答案:439,解析:过C 作OA 与OB的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由BOC=90,AOC=30,|23OC =,得平行四边形的边长为2和4,故+=2+4=6. 答案:610,解析:由于MN 的任意性可用特殊位置法:当MN
14、 与BC 重合时知m=1,n=1,故m+n=2. 答案:211,解:设a -tb =m a -13(a +b ,m R ,化简得23m -1a =m3-t b , a 与b 不共线,23m -1=0m 3-t =0m =32,t =12.t =12时,a ,tb ,13(a +b 的终点在一条直线上.12解:(1证明:AB =(3a+b-(2a-b=a+2b.而BC =(a-3b-(3a+b=-2a-4b=-2,AB AB 与BC共线,且有公共端点B,A、B 、C 三点共线.(28a+kb 与ka+2b 共线,存在实数使得8a+kb=(ka+2b (8-ka+(k-2b=0, a 与b 是不共线的两个非零向量, 8-k =0,k -2=0,8=22=2,k =2=4.13,解:设BM=e 1,CN = e 2,则AM AC CM =+ =-3e 2-e 1,BN = 2e 1+e 2, A P M 和B P N 分别共线,存在R,使AP =AM =-e 1-3e 2,BP=BN=2e 1+e 2.故BA BP AP =-=(+2e 1+(3+e 2,而BA BC CA =+=2e 1+3e 2,由平面向量基本定理得+2=23+=3,=45=35,4,5AP AM =即AP:PM=4:1.
