1、2103最新概率论与数理统计试题库及答案试题一、填空题1设 是来自总体 的简单随机样本，已知，令 ，则统计量服从分布为（必须写出分布的参数）。2设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为。3设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为。4已知，则。5和都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称是比有效的估计。6设样本的频数分布为X01234频数13212则样本方差=_。7设总体XN（，），X1，X2，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）_。8设总体X服从正态分布N（，），其中未知，X1，X2，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应
2、_。9设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_。10设样本X1，X2，Xn来自正态总体N（，1），假设检验问题为：则在H0成立的条件下，对显著水平，拒绝域W应为_。11设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取_。12设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，则假设：的检验使用的统计量是。（用和表示）13设总体，且已知、未知，设是来自该总体的一个样本，则，中是统计量的有。1
3、4设总体的分布函数，设为来自该总体的一个简单随机样本，则的联合分布函数。15设总体服从参数为的两点分布，（）未知。设是来自该总体的一个样本，则中是统计量的有。16设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是。17设，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则服从的分布是。18设，容量，均值，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是 (查表）19设总体，X1，X2，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）_。20设总体X服从正态分布N（，），其中未知，X1，X2，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的
4、检验统计量应_。21设是来自正态总体的简单随机样本，和均未知，记,则假设的检验使用统计量。22设和分别来自两个正态总体和的样本均值，参数，未知，两正态总体相互独立，欲检验 ，应用检验法，其检验统计量是。23设总体，为未知参数，从中抽取的容量为的样本均值记为，修正样本标准差为，在显著性水平下，检验假设，的拒绝域为，在显著性水平下，检验假设（已知），的拒绝域为。24设总体为其子样，及的矩估计分别是。25设总体是来自的样本，则的最大似然估计量是。26设总体，是容量为的简单随机样本，均值，则未知参数的置信水平为的置信区间是。27测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+
5、1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28设是来自正态总体的样本，令 则当时。29设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值=，样本方差=30设X1,X2,Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1.是来自总体的一部分样本，设：，则（ ）2.已知是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ） +A +10 +53.设和分别来自两个相互独立的正态总体和的样本,和分别是其样本方差，则下列服从的统计量是( )4.设总体，为抽取样本，则是（ ）的无偏估计 的无偏估计 的矩估计 的矩估计5、
6、设是来自总体的样本，且，则下列是的无偏估计的是（ ）6设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当_ _时，一般采用统计量(A) (B)(C)(D)7在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_ _ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异8在一次假设检验中，下列说法正确的是_(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则
7、犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误9对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间(A)平均含总体95%的值(B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值(D)有95%的机会的机会含的值10在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是（）(A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率(C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率11. 设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A） （B
8、） （C） （D）12.服从正态分布，是来自总体的一个样本，则服从的分布为_。(A)N(,5/n) (B)N(,4/n) (C)N(/n,5/n) (D)N(/n,4/n)13设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当_ _时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)14在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异15在一次假设检验中，下列说法正确的是_ _(A)第
9、一类错误和第二类错误同时都要犯(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误16设是未知参数的一个估计量，若，则是的_ _(A)极大似然估计(B)矩法估计(C)相合估计(D)有偏估计17设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_。(A) 0.1(B) 0.15(C) 0.2(D) 0.2518.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（A）检验法 （
10、B）检验法 （C）检验法 （D）检验法19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A）样本值与样本容量 （B）显著性水平 （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立20.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A）必须接受 （B）可能接受，也可能拒绝（C）必拒绝 （D）不接受，也不拒绝21.设是取自总体的一个简单样本，则的矩估计是（A）（B）（C） （D）22.总体，已知，时，才能使总体均值的置信水平为的置信区间长不大于（A）/ （B）/ （C）/ （D）23.设为总体的一个随机样本，为 的无偏估计，C （A）/ （B）/
11、 （C） 1/ （D） /24.设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A） （B） （C） （D）25.设是来自的样本，那么下列选项中不正确的是(A)当充分大时，近似有(B)(C）(D）26.若那么(A） (B） (C） (D）27.设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是(A) (B) (C) (D) 28.设X1,X2,Xn，Xn+1, ,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是(A) (B) (C) (D) 29设，其中已知,未知,为其样本，下列各项不是统计量的是() ()()()30. 设，其中已知，未知，为其
12、样本，下列各项不是统计量的是（ ）(A) ()() (D)三、计算题1.已知某随机变量服从参数为的指数分布，设是子样观察值，求的极大似然估计和矩估计。（10分）2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（，）（8分）3.某包装机包装物品重量服从正态分布。现在随机抽取个包装袋，算得平均包装袋重为，样本均方差为，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（）（）（8分）4.设某随机变量的密度函数为 求的极大似然估计。（6分）5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为
13、滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）6.某种动物的体重服从正态分布，今抽取个动物考察，测得平均体重为公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为公斤。（）（8分）（）7.设总体的密度函数为：， 设是的样本，求的矩估计量和极大似然估计。（10分）8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取个子样算得，求的置信区间（，）（8分）9某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得175.9，172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(1，
14、2)，Y-N（2，2）其中2未知。试求12的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）10（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得（分钟），无偏方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。11（10分）设总体服从正态分布，且与都未知，设为来自总体的一个样本，其观测值为，设，。求和的极大似然估计量。12（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表出现点数123456次数 20 20 20 20 40若我们使用检验，
15、则取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受？13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，。问(1)在显著性水平下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？(2) 在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？(3)你觉得该天包装机工作是否正常？14（8分）设总体有概率
16、分布取值1 2 3概率现在观察到一个容量为3的样本,。求的极大似然估计值?15（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间（秒）和腐蚀深度（毫米）的数据见下表： 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46 假设与之间符合一元线回归模型（1）试建立线性回归方程。（2）在显著性水平下，检验16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量机器IIIIII日产量138144135149143163148152146157155144159141153现把上述数据汇总成方差分析
17、表如下方差来源平方和自由度均方和比352.93312893.7331417.（10分）设总体在上服从均匀分布，为其一个样本，设(1)的概率密度函数(2)求18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？19.（10分）设总体服从正态分布，是来自该总体的一个
18、样本，记，求统计量的分布。20某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得175.9，172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(1，2)，Y-N（2，2）其中2未知。试求12的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）试题参考答案一、填空题1 （1） （2） （3） 或 2 0.7， 33/7 ， 44/7! = 1/1260 ， 50.75， 6 1/5， 7，1/2， 80.2， 92/3， 104/5， 11， 12F(b,c)-F(a,c)， 13F (a,b)， 141/2
19、， 151.16， 167.4， 171/2， 1846， 198520； 21， 22，1/8 ， 23=7，S2=2 ， 24， 二、选择题1A2D 3B 4D 5D 6C 7B 8B 9C 10 C11C 12A 13C 14C 1 5B 16B 17C 18B 19A 20 C21C 22B 23A 24B 25C 三、解答题1. 8/15 ； 2.（1）1/15，（2）1/210， （3）2/21; 3.（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4. 0.92;5.取出产品是B厂生产的可能性大。 6. m/(m+k);7.（1）123410/13(3/13)(10/1
20、2)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)（2）8. （1）A1/2 ， （2）， （3）9. ， 10. 11. 提示：，利用后式求得（查表）12. A=1/2，B=； 1/2； f (x)=1/(1+x2)12313/83/83/431/81/81/41/83/83/81/8113.14. （1） ；（2） ；（3） 独立 ；15. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8) 16. （1）（2） 17. （1） ； （2）不独立18. ；19. 20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场23. ;24. k = 2, E(XY)
21、=1/4, D(XY)=7/14425. 0.9475 26. 0.9842 27. 537 28. 29. 1630. 提示：利用条件概率可证得。31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为 ，利用的反函数即可证得。试题参考答案一、填空题1， 2=1.71， 3， 40.5， 562 ， 7， 8(n-1)s2或， 90.15 ， 10，其中11 , 385； 12 13 ，； 14为，15； 16，17， 18(4.808，5.196)， 19， 20(n-1)s2或 ， 21， 22， ，23 ，24 ， 25 ， 26， 272 ， 281/8 ， 29=7， S2=2， 30二、选择
22、题1D 2B 3B 4D 5D 6C 7D 8A 9D 10C11A 12B 13D 14D 15C 16D 17B 18B 19D 20A21D 22B 23C 24A 25B 26A 27B 28C 29C 30A三、计算题1（分）解：设是子样观察值 极大似然估计： 矩估计：样本的一阶原点矩为：所以有：2（分）解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：由题得：代入即得：所以为：3（分） 解：统计量为：，：，代入统计量得 所以不成立，即其方差有变化。4（6分）解：极大似然估计： 得 5（分） 解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：由题意得：代入计算可得 化间得：6（8分）
23、解：，所以接受，即可以认为该动物的体重平均值为。7（10分）解： 矩估计为：样本的一阶原点矩为：所以有：极大似然估计：两边取对数：两边对求偏导数：=0所以有：8（8分）解：由得 ，所以的置信区间为：， 将，代入得 ， 9解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知， (2分) =3.1746, （4分）选取t0.025(9)=2.2622, 则置信度为0.95的置信区间为： (8分)-0.4484,8.2484. (10分)注：置信区间写为开区间者不扣分。10解：由于未知，故采用作枢轴量（2分）要求（2分）这等价于要求，也即（2分）而（2分）所以，故（1分）故的置信水平为的置信下限为由于这
24、里，所以由样本算得（1分）即的置信水平为0.95的置信下限为2.155。11 解：写出似然函数（4分）取对数（2分）求偏导数，得似然方程（3分）解似然方程得：，（1分）12解：设第点出现的概率为，中至少有一个不等于 (1分)采用统计量 (1分)在本题中， (1分)所以拒绝域为(1分)算实际的值，由于，所以(1分)所以由题意得时被原假设被接受即，故取之间的整数时，(2分)此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受。(1分)13.解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验(1)（检验均值，总共6分），选统计量，并确定其分布确定否定域统计量的观测值为因为，所以
25、接受。(2)（检验方差，总共6分），选统计量确定否定域统计量的观测值为因为，所以拒绝(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。14解：此时的似然函数为（2分）即（2分）（1分）（1分）令（1分）得的极大似然估计值.（1分）15解：(1)解：根据公式可得其中（2分）（1分）（1分）用上述公式求得（2分）即得线性回方程为(2)，（1分）检验假设（1分）的检验统计量为（1分）的临界值（1分）由前面的计算可知（1分）所以在显著性水平下，拒绝原假设，认为。（1分）16解： (1)方差来源平方和自由度均方和比352.9332176.4673.916540.81245.067
26、893.73314（每空1分，共5分）(2)又因为，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。（2分）17 解：(1)由公式可得的概率密度函数（5分）即（2分）(2) （3分）18 解：，（2分）选统计量（2分）确定否定域（1分）统计量的观测值为（1分）因为，所以拒绝（1分）19解：因为正态分布的线性组合还是正态分布所以服从正态分布（2分）所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。由于（3分）由于与是相互独立的，且求得（2分）（2分）可知统计量服从正态分布（1分）20解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知， (2分) =3.1746, （4分）选取t0.025(9)=2.2622, 则置信度为0.95的置信区间为： (8分)-0.4484,8.2484. (10分)注：置信区间写为开区间者不扣分。
