1、成 绩中国矿业大学08级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间2008年12月研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 中国矿业大学研究生培养管理科印制一（15分）计算(1) 已知可逆，求（用矩阵或其逆矩阵表示）； （2）设是给定的常向量，是矩阵变量，求；（3）设3阶方阵的特征多项式为，且可对角化，求。二（15分）设微分方程组，（1）求的最小多项式； （3）求； （3）求该方程组的解。三（15分）对下面矛盾方程组（1）求的满秩分解；（2）由满秩分解计算；（3）求该方程组的最小2范数最小二乘解。四（10分）设求矩阵的QR分解（要求的对角元全为正数，方法不限）。五（10分） 设（1）证明的最小多
2、项式是；（2）求的Jordan形（需要讨论）。六（10分）设，（1）证明；（2）的通解是。七（10分）证明矩阵（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。八（15分） 设是可逆矩阵，（这里矩阵范数都是算子范数），如果，证明（1）是可逆矩阵；（2）；（3）。参考答案一（15分）计算(1) 已知可逆，求（用矩阵或其逆矩阵表示）； （2）设是给定的常向量，是矩阵变量，求；（3）设3阶方阵的特征多项式为，且可对角化，求。解（1）（2） 由，得（3）的特征根为，.由于可对角化, 即存在可逆矩阵，使，从而.故二（15分）设微分方程组，（1）求的最小多项式； （3）求； （3）求该方程组的解。解（1），；
3、（2），；（3）三（15分）对下面矛盾方程组（1）求的满秩分解；（2）由满秩分解计算；（3）求该方程组的最小2范数最小二乘解。解（1）（不唯一）（2）；（3）；四（10分）设求矩阵的QR分解（要求的对角元全为正数，方法不限）解五（10分） 设（1）证明的最小多项式是（2）求的Jordan形（需要讨论）。证（1）易知，故又对任意的一次多项式，。反证，如果当时，矛盾。当时，矛盾。（2）由根知，的特征值只能是或当时，无重根，可对角化，再由知当时，的特征值全是，由知对应的特征向量只有的线性无关的，从而六（10分）设，（1）证明；（2）的通解是。证（1）所以。（2）由，知的列都是的解，其中又有个线性无关的，故其线性组合就是通解。七（10分）证明矩阵（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。证：（1）互不交，说明有个不同的特征值，从而可对角化。（2）关于实轴对称，如果有复特征值必成对共轭出现，而中只有一个特征值，所以必为实数。八（15分） 设是可逆矩阵，（这里矩阵范数都是算子范数），如果，证明（1）是可逆矩阵；（2）；（3）。证 （方法一）（1） （*）因此，说明可逆。（2）由式（*），取由算子范数的定义得（3）（方法二）引理：设，若，则可逆，并有。（1） （*）由引理知，可逆，从而可逆。（2），由式（*）和引理（3）同上。12 / 13
