1.4 协方差传播律.ppt

1、1、几个名词误差测量误差(观测误差)相对误差真误差绝对误差方差中误差平均误差或然误差极限误差名词偶然误差随机误差精确度系统误差衡量精度的指标粗差精度准确度回 顾2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。4、统计规律在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。回 顾1.4 协方差传播律 现在提出这样几个

2、问题：观测值函数的精度如何评定？观测值函数中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从观测值的中误差得到观测值函数中误差？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。1.4 协方差传播律 协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。1.4 协方差传播律例如，在一个三角形中，观测了三内角、例如，在一个三角形中，观测了三内角、，其闭合差其闭合差 和将闭合差平均分配后所得的各角的和将闭合差平均分配后所得的各角的最或然值最或然值 、分别为分别为1L2L3L1L2L3L)3,2,1(31;180321iLLLLLi603231316

3、031323160313132321332123211LLLLLLLLLLLL1.4 协方差传播律BPBPsxxcosBPBPsyysin360BABP)arctan(BABABAxxyy 1.4 协方差传播律 又例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。P点坐标为：内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4 协方差传播律一、基本概念1.协方差2.相关3.协方差阵 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y,它们的协方差定义为：)()(YEYXEXExy)(yxxyE)(1l

4、imlim2211nnyxyxyxnyxnxynnnyxxy1.协方差 由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。2.相关 如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。2.相关 在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度和方向等，都是独立观测值，而经过计算才得到的观测量就不是独立观测值或称为相关观测值。假定有假定有 个不同精度的相关观测值个不同精度

5、的相关观测值 ，数学期望和方差分，数学期望和方差分别为别为 和和 ，它们两两之间的协方差为，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为用矩阵表示为:iXiX2iXjiXX)(ji n，TnXXXX.21)(.21XETXXXXnXXD3.方差-协方差阵2222122121211)(nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXTXXXXXXED(1-20)(1-20)为观测值向量的方差-协方差阵，简称为。注意:矩阵中各元素的含义2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXD3.方差-协方差阵22200000021nXXXX独立时X独立同精度时222000000100010001

6、2I 2设有观测值向量设有观测值向量 和和 ，它们的数学期望分别为，它们的数学期望分别为 和和 。令：。令：;则则 的方差阵为：的方差阵为：1,nX1,rY1,nX1,rYYXZZZDZYYYXXYXXZZDDDDDXYDrnnnrryxyxyxyxyxyxyxyxyxXYD2122212121113.方差-协方差阵是X关于Y的。YXTTYXXYDYXED)(即与互为转置。即与互为转置。XYDYXD 当当 和和 的维数的维数 （即（即 、都是一个观测值）时，互协方差阵就是都是一个观测值）时，互协方差阵就是 关于关于 的协方差。的协方差。XY1 rnXYYX若，则称与是相互独立的观测若，则称与是

7、相互独立的观测向量。向量。0XYDXY3.方差-协方差阵内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4 协方差传播律 设有观测值向量设有观测值向量 ，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差，协方差阵为阵为 ,即即 XXXXD2212222111221212121),()()()(,nnnnnXXnnXnDXEXEXEXEXXXX02211kXkXkXkZnn又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：X二、观测值线性函数的方差如何求Z的方差？协方差传播律.21nkkkK 1,101,11,1kXKZnn000)()(

8、)(kKkXKEkKXEZEXTZZZZEZZEZED)()(211TXXkKkKXkKkKXE)(0000TTXXKXXKE)(TTXXKXXKE)(TXXZZZKKDD2二、观测值线性函数的方差02211kXkXkXkZnn则令：133112212222222121222kkkkkkkDnnZZZnnnnnnkkkk,111122当向量中的各分量当向量中的各分量 两两独立时两两独立时),2,1(niXi22222221212nnZZZkkkD二、观测值线性函数的方差ZZD的纯量形式：（中误差传播律）则：0KKXZTXXZZKKDD二、观测值线性函数的方差线性函数的协方差传播律：设有函数：函

9、数的协方差阵函数的协方差阵=函数的系数阵函数的系数阵自变量的协方差阵自变量的协方差阵系数阵的转置阵系数阵的转置阵最后写成:例例1-2 1-2 在在1 1：500500的图上，量得两点间的距离的图上，量得两点间的距离 d=23.4mm,dd=23.4mm,d的测量中误差为的测量中误差为 =0.2mm0.2mm，求，求该两点实地距离该两点实地距离 及中误差及中误差 。dSSmmmdS7.11117004.23500500222500dsmmmmmdS1.0100)2.0(500500mS1.07.11解：例1-3L1、L2、L3为独立观测值，已知其中误差，321747271LLLXmm31mm2,

10、2mm1,3?x例1-4在测站A上，BAC=，观测角1和2的中误差和它们的协方差分别为21221)(1,4.1?x1ABCx2内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4 协方差传播律设有观测值向量1,nX;21nXXXX;)()()(2121nXXXXXEXEXEn2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXD三、多个观测值线性函数的协方差阵令：0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZttZZZZ211

11、,tnttnnntkkkkkkkkkK212222111211,020101,0ttkkkK现求Z的协方差阵？1,01,1,tnnttKXKZ三、多个观测值线性函数的协方差阵若有t个X的线性函数：00)()(KKKKXEZEx)()(,TttZZZEZZEZED)(TxxKKXKKXETTxxKXXKE)(tnTnnXXntttZZKDKD,函数：函数的协方差阵：1,01,1,tnnttKXKZtnTnnXXntttZZKDKD,1,01,1,tnnttKXKZ三、多个观测值线性函数的协方差阵推导过程：Z的协方差阵：协方差传播律设另有的r个线性函数：0221120222212121012121

12、111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfYrrYYYY211,rnrrnnnrfffffffffF212222111211,020101,0rrfffF0FFXY三、多个观测值线性函数的协方差阵0FFXY0)(FFYEXrnTnnXXnrrrYYFDFD,)()(TYZZEZYEYED)(TXXKKXFFXETZYYZDDtnTnnXXnrtrYZKDFD,rnTnnXXntrtZYFDKD,三、多个观测值线性函数的协方差阵TTXXKXXFE)(1,01,1,tnnttKXKZ已知协方差阵的变量的函数。00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZ

13、ZKDFDFKDDFDFDKKDD00FFXWKKXZTXXZWTXXWZTXXWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD协方差传播律技巧：将要求协方差阵的量表示成 0KKXZ0FFYWWZSFYKXR求：、ZZDWWDWZDSSDRRDZXDZYD例:设有函数：的协方差阵的协方差阵 ，的协方差阵的协方差阵 ，关于关于 的的互协方差阵为互协方差阵为 ，其中，其中 为常系数阵。且为常系数阵。且 XXXDYYDYXYDTXYYXDDK0KF0FXY1 1计算计算 、ZZDWWDWZDTXXZZKKDDTYYWWFFDDTXYZWFKDDTZWWZDD0KKXZ0FFYWWZSFYKXRTYYT

14、YXTXYTXXWWWZZWZZSSFFDKFDFKDKKDDDDDDSSD2 2计算计算YXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFDKFDFKDKKDFKDDDDFKD0KKXZIXX,（表示单位阵）表示单位阵）ZXD4 4计算计算IXXTXXZXKDIKDDRRD3 计算0KKXZ0FFYWWZSFYKXR0KKXZIYY XYTXYZYKDIKDD000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKDIKDKDIDDDDKD000ZYD5 计算或:0KKXZ0FFYWWZSFYKXR解：例例1-51-5:设在一个三角形中，同精度独立观测到三个设在

15、一个三角形中，同精度独立观测到三个内角值内角值 、，其中误差均为，其中误差均为 。试求将。试求将闭合差平均分配后的各角最或然值闭合差平均分配后的各角最或然值 、的的协方差阵。协方差阵。1L2L3L1L2L3L（提示：把（提示：把 表示成表示成 的函数）的函数）LL180321LLL603131323132111LLLLL603132313132122LLLLL603231313132133LLLLL606060323131313231313132321321LLLLLLL222000000LLD应用协方差传播律得:222323133221231211LLLLLLLLLLLLLLLLLD3231

16、31313231313132000000323131313231313132222222222222323131313231313132内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4 协方差传播律),(21nXXXfZ设有观测值设有观测值 的非线性函数的非线性函数1nX已知已知X X的协方差阵的协方差阵 ,求求Z Z的方差的方差 。XXDZZDTnnXXXX002011,0)()(),(0110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf四、非线性函数的协方

17、差传播1单个非线性函数)()(),(0110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010),(iniinXkXXXfk002211kKXkXkXkXkZnnTXXZZKKDD002010210,)(),2,1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdXKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。),(),(),(2121222111nttnnXXXfZXXXfZXXXfZnnttttnnnn

18、dXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ02021010220221012201202110111)()()()()()()()()(设有观测值设有观测值 的多个非线性函数的多个非线性函数1nX四、非线性函数的协方差传播2多个非线性函数将函数求全微分得nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ02021010220221012201202110111)()()()()()()()()(nndXdXdXdX211,ttdZdZdZdZ211,00201022201201021011,)()(

19、)()()()()()()(ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKKdXdZ TXXZZKKDD两组非线性函数时怎么做？例例1 1：量得某矩形的长和宽为：量得某矩形的长和宽为 和和 ，且且 ，计算该矩形面积的方差。，计算该矩形面积的方差。aabb0ababs dbdaabadbbdads2222222babbaabasabababbaslnlnlnbdbadasdsdbdaabadbbdads2222222babbaabasababab解：面积：线性化:用协方差传播律得：先取对数然后再全微分能简化计算例例2:2:设：设：，和和 的方差为零，的方差为零，的方差为的方差为 ，的方的

20、方差为差为 ，且，且计算计算？)cos(BABPsxx)sin(BABPsyyBxByBAs2s20sPPPPyxyx,22ddsssdydxBABABABAPP/)cos()sin(/)sin()cos(222200)cos()sin()sin()cos(sBABABABAYXYYXXssPPPPPP)cos()sin()sin()cos(BABABABAss22222)sin()(cos(BAsBAXsP22222)cos()(sin(BAsBAYsP2222)cos()sin()sin()cos(BABAsBABAYXsPP为什么要除以?解:点位方差也可用下式计算：)(8.206264)

21、(3438)(29578.571800秒分度206265222PPYXP22222ssp2222su 通常通常 称为纵向方差，它是由边长称为纵向方差，它是由边长BPBP方差引起的。方差引起的。在在BPBP边的垂直方向的方差边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。的坐标方位角的方差引起的。2S2u222uSp 在测量工作中，常用来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即：1.按要求写出函数式：12,1,2,iinZfXXXit1212000,1,2,iiiinnfffdZdXdXdXitXXX2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化3.将微分关系写成矩阵形式：4.应用协方差传播律求方差或协方差阵TZZXXDKDKKXZ KdXdZ 或或应用协方差传播律的具体步骤内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4 协方差传播律