1、1第三节 逆矩阵2,111 aaaa,11EAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.A1 A一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得3二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩
2、阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA,使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB4说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.AA:若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC.CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB证明证明5例例 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,dcbaBA则则 dcbaAB0112 1
3、001 100122badbca求逆矩阵方法之一求逆矩阵方法之一:待定系数法待定系数法6 ,1,0,02,12badbca .2,1,1,0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB7 ,0,2且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若kAkA 3,A BAB若为同阶方阵且均可逆则亦可逆(可推广到n维）且 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AkkA .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质EABAB)(11同理8 TTTAAA
4、A11 TE,E .11TTAA 证明证明 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 9 .1,511AAAA 则有则有可逆可逆若若证明证明EAA 111 AA.AA11 因此因此10方阵的可逆条件方阵的可逆条件矩阵1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为 A 的伴随矩阵伴随矩阵定义定义:设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);11,0时时当当 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA21222121211121222211
5、1211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211,AAAAOO非对角线上为什么等于零非对角线上为什么等于零?EA12EAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 13?)?()(,|0|*1*1*AAAAAn问时，证明：当.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是
6、是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA*2?,()?AAAA是3阶方阵，例例例例141,ABABE,0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 证毕证毕1,.AB EBA EBA若A,B是方阵，且或则证明证明1A E1A推论推论15例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.343122321A解解343122321 A20,.1存在存在 A,2341211 A,3331212 A三、逆矩阵的求法根据定理根据定理,求伴随矩阵法求伴随矩阵法,最笨的方法之一最笨的方法之一16同理可得同理可得,2,6,6,223222113 AAAA,2,5,43332
7、31 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 17*1264015,()003AA例求18,0!5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例19 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 1A20 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,满满足足
8、关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例2111000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB22,130231,3512,343122321 CBA例例 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解,02343122321 A,013512 B.,11都存在都存在 BA23,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E24证证明明,022 EAA由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 212 EAA.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A25022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA ,13412 EAEA26四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.0 A逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 ;21AAA 利用公式利用公式逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法
