1、精品文档 用心整理新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【389304 轴对称复习，本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段
2、的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，
3、那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为
4、（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边
5、三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定
6、对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数HEC与ABC关于CD对称；FDB与ABC关于BE对称；GED与ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身所以共3个【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点若ABC的内角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C；解：连接AP，BP，CP，D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFAAP
7、BBPCAPC3602、已知MON40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数. 【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P关于OM、ON的对称点，连接交OM于A，ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长
8、的最小值.举一反三：【变式】（2015乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）若BAE=125，B=E=90，AB=BC，AE=DE，AMN+ANM的度数为 【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求（2）作图如下：（3）作图如下
9、： BAE=125，P+Q=180125=55，AMN=P+PAM=2P，ANM=Q+QAN=2Q，AMN+ANM=2（P+Q）=255=1103、（2016春浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A4 B3 C2 D1【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案【答案】D；【解析】解：该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），对称点到直线x=3的距离为2，点M（a，3）到直线x=3的距离为2，a=1【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根
10、据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键举一反三：【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB与Rt关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因为RtAOB与Rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（2，1）【轴对称复习：例10】【变式2】如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如
11、图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_.点P到AB边的距离PE=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图，PE=PF+CH
12、证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键5、已知，如图，112，236，348，424. 求的度数【答案与解析】ACD
13、123B5E解：将沿AB翻折，得到，连结CE，则，1512.6048又236，72，BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：【变式】在ABC中，ABAC，BAC80，D为形内一点，且DABDBA10，求ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE ABDACE ADAE, DABEAC10 BAC=80，DAE60，ADE为等边三角形AED60 DABDBA10 ADBDDEEC AEC160， DEC140 DCE20 A
14、CD30类型三、等边三角形的综合应用6、（2014秋辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“”、“”或“=”）（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“”、“”或“=”）；理由如下，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，
15、若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE=DB，理由如下，过点E作EFBC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示
16、，同理可得DBEEFC，由BC+DB求出CD的长即可【答案与解析】解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EFBC，交AC于点F，证明：ABC为等边三角形，AEF为等边三角形，AE=EF，BE=CF，ED=EC，D=ECD，DEB=60D，ECF=60ECD，DEB=ECF，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，则AE=DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得DBEEFC，DB=EF=2，BC=1，则CD=BC+DB=3【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键资料来源于网络 仅供免费交流使用
