1、学习必备欢迎下载相似三角形一、 知识概述1. 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3. 相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形4. 相似三角形的基本性质相似三角形的对应边成比例、对应角相等相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比
2、例相似比具有顺序性例如 ABC ABC的对应边的比，即相似比为k ，则 ABCABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出5.相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（ 1）判定三角形相似的几条思路：条件中若有平行，可采用判定定理1；条件中若有一对角相等( 包括隐含的公共角或对顶角) ，可再找一对角相等或找
3、夹边对应成比例；条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2 时，一对对应角相等必学习资料精品学习资料第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载须是成比例两边的夹角对应相等条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（ 2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（ 3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6.位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫
4、做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比注意：（ 1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（ 2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7. 三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、 相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(
5、1) 相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角( 或最小的角 ) 一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2) 相似三角形中，一对最长的边( 或最短的边 ) 一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习资料精品学习资料第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整
6、的判定方法如：(1) “平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2) “相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3) “旋转型”相似三角形，如图若图中1= 2， B= D(或 C= E) ，则 ADE ABC，该图可看成把第一个图中的ADE绕点 A 旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复
7、杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形相似三角形专题分类练习讲解学习资料精品学习资料第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载题型一：线段的比、黄金分割1. 在比例尺1： 10000 的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）A 200cm 200dm 200mD 200kmBC2. 若则下列各式中不正确的是（）ABDCxyxy25xxyyx3y5z ，且6xy2 ，则33. 若，则= ；已知= ；已知6 ，则3y2zyx , y 。0 ，则 x = 。4. 若 5x0 且xyy4 y5.2 和 8 的比例中项是 ；线段 2 与 8 的比例中项为 。6. 已知 a ： b ： c2： 3 ：4，
8、且 2a 3b 2c 10，求 a， b ， c 的值。题型二：相似的性质1. 如果两个相似三角形的面积比为3 4，则它们的周长比为 。2. 已知 ABC DEF，且AB： DE=1：2，则 ABC的面积与DEF 的面积之比为3. 如图 ,DE BC， AD BD=23，则 ADE的面积四边形DBCE的面积 = 。4. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2， DE是它的中位线，则下面四个结论：（ 1） DE=1，（ 2） CDE CAB，（ 3） CDE的面积与 CAB的面积之比为1： 4. 其中正确的有： 个5. 如图，在梯形 ABCD中，AD BC， ADE与 BCE面积之比为4 ：9，那
9、么 ADE与 ABE面积之比为 6. 平行四边形ABCD中， AB=28， E、F 是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交 AB于点 M，MF交 CD于点N，则 CN= 。AADDEEBCBC第 3 题第 4 题第5 题第 6 题7. 如图，已知平行四边形ABCD中， E 是AB边的中点，DE交 AC于点F， AC， DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1， S2， S3，S4学习资料精品学习资料第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1： S2： S3：S4=1： 2：4 ： 5其中正确的结论是（）ABCDS1、 S
10、2S1、 S2 的大小关系是（）8.如图，大正方形中有2 个小正方形，如果它们的面积分别是，那么A S1 S2S1 =S2S1S2S1、 S2 的大小关系不确定B.C.D.9.如图，在正方形中，点E 在 AB 边上，且AE EB 2 1，AF DE 于 G 交BC 于F，则ABCDAEG的面积与四边形的面积之比为（）BEGFA.1 2 4 9 3B.1C.4D.2 49，则AE EC为（）O， SS10.如图，已知DE BC，CD 和 BE 相交于点DOECOBA.2 111. 已知三个边长为 3 9 4B.2C.4D.52， 3， 5 的正方形按图4 排列，则图中阴影部分的面积为 第 7 题
11、第 8 题第 9 题第 10 题AB、AC上， AH BC交第11 题12. 如图在 ABC中，矩形DEFG， G、 F 在 BC上， D、 E 分别在DE于 M， DG DE 1 2， BC 12 cm， AH 8 cm，求矩形的各边长。ADMEBGH2FC变式图DFA 的面积 S1 和四13.已知如图，正方形ABCD 中， AB 2， E 是 BC的中点， DF AE ，F 为垂足，求边形 CDFE 的面积S2 。题型三：相似的有关证明1.已知：如图，梯形于 M 、 N 点ABCD 中， AB DC ，E 是 AB的中点，直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交学习资料精品学习资料第
12、 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载求证： MD ： ME ND ：NENDCMABE2，求证：AEF ACD 2.如图， D 在 AB 上，且 DE BC，交AC 于 E，F在 AD 上，且 ADAFAB3.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 AFE= B（ 1）求证： ADF DEC；（ 2）若 AB=8 ， AD=6， AF=4，求AE 的长题型四：函数与相似1.如图，正方形 ABCD中，AB 1，G为 DC中点，E 为 BC上任一点，（E 点与点 B、点 C 不重合） 设 BE，过 E 作 GA平行线交AB于
13、F，设 AFEC面积为，写出与的函数关系式， 并指出自变量的取值范围。2. 如图， ABCD是矩形， AH 2，HD 4，DE 2，EC 1，F 是BC上任一点 （ F 与点 B、点 C 不重合），过F 作EH的平行线交AB于 G，设 BF为，四边形HGFE面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。学习资料精品学习资料第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载3. 如图，有一块直角梯形铁皮ABCD， AD 3cm， BC 6cm， CD 4cm，现要截出矩形EFCG，（ E 点在 AB 上，与点 A、点 B 不重合），设BE，矩形 EFCG周长为，（ 1）写出与的函数关系式，并指出自变
14、量取值范围；（2）取何值，矩形EFCG面积等于直角梯形ABCD面积的。24. 如图，已知抛物线yx 1 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点C（ 1）求 A、B、C 三点的坐标（ 2）过点 A 作 AP CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M作 MG x 轴于点 G，使以 A、 M、G 三点为顶点的三角形与PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；y否则，请说明理由POBAxCA(-4 ， 0) 、B(1 ，0) 、 C(-2 ， 6) (1) 求经过 A、B、 C三点的抛5. 如图，已知 ABC 的三个顶点坐标分别为物线解析式；(
15、2) 设直线BC交 y 轴于点 E，连接 AE，求证： AE=CE;(3) 设抛物线与y 轴交于点D，连接 AD交 BC于点 F，试问以A、 B、F，为顶点的三角形与 ABC 相似吗？请说明理由学习资料精品学习资料第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载题型五、圆与相似1. （2013?绥化）如图，点A，B， C， D为O 上的四个点，AC平分 BAD，AC交 BD于点E， CE=4， CD=6，则 AE 的长为（）A.4B.5C.6D.72. 如图， AB 为 O 的直径， D 是弧 BC 的中点， DE AC交 AC的延长线于E， O 的切线BF交 AD的延长线于点F。(1) 求证： DE
16、是 O的切线；(2) 若 DE3， O的半径为5，求 BF的长。3. 如图， Rt ABC中， C=90， O为直角边BC上一点，以O 为圆心， OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点 D，与 BC交于另一点EBE O（ 1）求证： AOC AOD；D（ 2）若 BE=1，BD=3,求 O的半径及图中阴影部分的面积SAC4. 如图 O是 ABC外接圆， AB是直径， D 是 AB延长线上一点， AE DC的延长线于点E，且 AC平分 EAB。（ 1）求证 :DE 是 O的切线；若AB=6, AE=4,求 BC和 BD的长(2)学习资料精品学习资料第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载5. （
17、2012 辽宁）如图， AB 是O 的直径，点C在O 上， CAB 的平分线交O于点 D，过点 D 作 AC的垂线交 AC的延长线于点E，连接 BC交 AD于点 F。（ 1）猜想 ED与O的位置关系，并证明你的猜想；（ 2）若 AB 6， AD 5，求 AF的长。6. （2013?十堰） 如图 1，ABC中，CA=CB，点 O在高CH上， ODCA于点 D，OECB于点E，以O为圆心，OD为半径作 O（ 1）求证：O 与 CB相切于点E；（ 2）如图 2，若O 过点 H，且 AC=5，AB=6，连接 EH，求 BHE 的面积题型六、因动点产生的相似问题1 D 是 ABC的 AB边上一点，过A、
18、D 及三角形边上的一点E 的三角形与 ABC相似，画出示意图。D 是Rt ABC的BC边上一点，过C、 D 及三角形边上的一点E 的三角形与ABC相似，画出示意图。AADC第 9 页，共 13 页学习资料精品学习资料BBCD学习必备欢迎下载2已知 Rt OAB在直角坐标系中的位置如图，P（ 3， 4）为 OB的中点，点C为折线 OAB上的动点，线段PC把 Rt OAB分成两部分，问点C 在什么位置时，分割得到的三角形与OAB相似？画出所有符合要求的线段，写出点C 的坐标。yy85BDA7463B5P241PA43o-5-4-3-2-11235x2-1BC1-2-3o-1-1123456 Ax-
19、4F第2 题第 3 题第 4 题3在直角坐标系中有两点A（4， 0）， B（ 0， 2），如果点C 在x 轴上（C 与 A 不重合），当点 C的坐标为时，使得由点B、 O、 C 组成的三角形与AOB相似。4已知：如图， P 是边长为4 的正方形ABCD内一点，且PB=3， BF BP，垂足为 B，请在射线BF上找一点M，使以 B、 M、 C 为顶点的三角形与ABP相似。5.正方形 ABCD边长为 4，M、N分别是 BC、CD上的两个动点， 当 M点在 BC上运动时， 保持 AM和 MN垂直 .（ 1）证明： Rt ABMRt MCN；（ 2）设 BM=x，梯形 ABCN的面积为y，求 y 与
20、x 之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；（ 3）当 M点运动到什么位置时Rt ABMRt AMN，求此时x 的值 .ADNB6.如图，在 ABC中， BAC=90， AD是 BC边上的高， E 是 BC边上的一个动点（不与MCB,C 重合），EFAB,EG AC，垂足分别为F,G（ 1）求证：EGADCGCD；（ 2） FD与 DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；A（ 3）当 AB=AC时， FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由FGBCDE学习资料精品学习资料第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载7. 矩形OABC在平面直
21、角坐标系中位置如图所示，A、 C两点的坐标分别为A（ 6， 0）， C（ 0， 3），直线y34与 BC边相交于D点x （ 1）求点 D的坐标；942（ 2）若抛物线经过点 A，试确定此抛物线的表达式；y axx（ 3）设（ 2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P 为对称轴上一动点，以P、O、 M为顶点的三角形与 OCD相似，求符合条件的点P 的坐标yAO6x- 3BCD3y x 42yx 5 x 2 与 x 轴相交于点128如图，抛物线A、B，与 y 轴相交于点C2（ 1）求证： AOC COB；（ 2）过点 C作 CD x 轴交抛物线于点D若点 P在线段 AB上以每秒1 个单位的速
22、度由A 向B 运动，同时点 Q在线段 CD上也以每秒1 个单位的速度由D向 C运动，则经过几秒后，PQ ACyABPxODCQ学习资料精品学习资料第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载799如图，二次函数的图象经过点D(0，3 ) ，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为 6. 求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD最小，求出点P 的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使 QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由题型三：位似1. 如图所示， 以点 O为位似中心， 将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE. 已知OA
23、10 cm，OA 20 cm ，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是 2. 如图，在68 的网格图中，每个小正方形边长均为1，点 O和 ABC的顶点均为小正方形的顶点.以 O为位似中心，在网格图中作 A BC，使 ABC 和 ABC位似，且位似比为1： 2连接中的 AA，求四边形AACC 的周长 . （结果保留根号）3. 如图， 点 O是等边三角形PQR的中心， P、 Q、R分别是OP、OQ、OR的中点， 则 PQR与 PQR是位似三角形此时，PQR与 PQR的位似比为 。PPOQRRQ第 1 题相似三角形分类题型讲解（答案） 题型一：第2 题第 3 题3. 7 ； - 1
24、 ； 6； 10；534 、 41.C2.C4.4:55.6.a=4b=6 c=855题型二：3 : 2个2. 1:43. 4:214. 35. 2:36.CN=77.A8. A1.154247； DE=4871= 45； S 2= 1159. C10.A11.12. DG=13.S题型三：4.学习资料精品学习资料第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载题型四：2x2x4x2( 02x51543.（1）（2） x1.2. y4. (1)Ayx1)x8(0x6)y12(0x5)44 ， 7 ）（ -1，0）B（ 1，0）C（ 0，1） (2) S=4(3)M 1（ -2，3）M 2（ 4，15
25、）M 3（5.(1)23x4yx39题型五：6.（2）S BHE=3.r=4；S=54-84.（ 2）BC=；BD=65.（ 2）AF=1.B2.BF=题型六：71.C1（ 3， 0） C2（ 6， 4） C3（6，）42. C1（ -1， 0） C2（ -4， 0） C3（ 1， 0）2= 1633.BM 1=3;BM4.24x216 ；（ 2）xx=2 时， S=10；（ 3）x=26.（ 1）D（ 4，-3）（2） y3 2x9x（3）P1（ 3，y843939398 397 390）P2（ 3，4）7.（ 2）t=2.5 或 t=1.58.（ 1） y3 或或22yx1x7x4yxx3 ）（ 3） Q1（10， 33（ 2） P（ 4，3 ）Q2（ -2， 33 ） Q3（ 4，3 ）学习资料精品学习资料第 13 页，共 13 页
