1、24已知AD,BE分别是DABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC可用向量a,b表示为_（答：a+b）；（4）已知DABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，CD=rAB+sAC，则r+s的值是_（答：0）精品文档平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量。就是有向线段，为什么？（向量可以平移）如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
2、（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0)；三点A、B、C共线AB、AC共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。（=（,（如下列命题：
3、1）若a=b，则a=b。2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。4）若ABCD是平行四边形，则AB=DC。5）若a=bb=c，则a=c。6）若a/b,b/c，则a/c。其中正确的是_（答：（4）（5）（2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a(x,y)叫
4、做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1l2e2。如（1）若a=(1,1),b=13(1,-1),c=(-1,2)，则c=_（答：a-b）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.2213e=(0,0),e=(1,-2)B.e=(-1,2),e=(5,7)C.e=(3,5),e=(6,10)D.e=(2,-3),e=(,-)（答：B）；（3）1212121224334、实数与向量的积：实数l与向量a的积是一个
5、向量，记作la，它的长度和方向规定如下：(1)la=la,(2)当l0时，la的方向与a的方向相同，当l0是q为锐角的必要非充分条件；当q为钝角时，ab0，且a、不反向，ab0是q为钝角的必要非充分条件；非零向量a，b夹角q的计算公式：cosq=abab；|ab|a|b|。如（1）已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，41（如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_（答：l0且l）；2）已知DOFQ的面积为S，3313pp且OFFQ=1，若S0，用k表示ab；求ab的最k2+11小值，并求此时a与b的夹角q的大小（答：ab=(k0)；最小值为，q=60）4k26、向量的运算：（1）几何运算：
6、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC；向量的减法：用“三角形法则”设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：AB+BC+CD=_；AB-AD-DC=_；(AB-CD)-(AC-BD)=_（答：AD；CB；0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c，则|a+b+c|_（答：22）；（3）若O是ABC所在平面内一点，且
7、满足OB-OC=OB+OC-2OA，则ABC的形状为_（答：直角三角形）；4）若D为DABC的边BC的中点，DABC所在平面内有一点P，满足PA+BP+CP=0，设|AP|PD|；=l，则l的值为_（答：2）（5）若点O是ABC的外A(2,3),B(1,4),且AB=(sinx,cosy)，x,y(-,)，则x+y=（答：或-）；3）已知作用在点A(1,1)实数与向量的积：la=l(x,y)=(lx,ly)。心，且OA+OB+CO=0，则ABC的内角C为_（答：120）；（2）坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则：1122向量的加减法运算：ab=(xx，yy)。如（1）已知点A(2,
8、3),B(5,4)，C(7,10)，若12121（AP=AB+lAC(lR)，则当l_时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；2）已知21pppp（22262的三个力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，则合力F=F+F+F的终点坐标是（答：（9,1）1231231111精品文档精品文档若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐11222121标减去起点坐标。如设A(2,3),B(-1,5)，且AC=1AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别是_（答：311(1,),(-7,9)）；3平面向量数量积：ab=xx+y
9、y。如已知向量a（sinx，cosx）,b（sinx，sinx）,c（1，0）。（1）1212（p3pp11若x，求向量a、c的夹角；2）若x-,，函数f(x)=lab的最大值为，求l的值（答：(1)150;(2)38422或-2-1）；向量的模：|a|=_（答：13）；x2+y2,a2=|a|2=x2+y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|,两点间的距离：若A(xy11,)Bx(y22)，则|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2。如如图，在平面斜坐标系xOy中，()xOy=60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义中e,e分别为与x轴、y轴同方向的单
10、位向量，则P点斜坐标为12标为（2，2），求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2+y2+xy-1=0）；（a7、向量的运算律：1）交换律：+b=b+a，lma=(lm)a，的：若OP=xe+ye，其12(x,y)。（1）若点P的斜坐为半径的圆在斜坐标系ab=ba；(2)结合律：(l+m)a=la+ma,l(a+b)=la+lb，(a+b)c=ac+bc。如下列命题中：a(b-c)=ab-ac；a(bc)=(ab)c；(a-b)2=|a|2a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c)，(la)b=l(ab)=a(lb)；（3）分配律：-2|
11、a|b|+|b|2；若ab=0，则a=0或b=0；若ab=cb,则a=c；a2=a2；aba2=ba；(ab)2=a2b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。其中正确的是_（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向（量不能相除(相约)；2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：a/ba=lb(ab)2=(|a|b|)2xy-yx0。如(1)若向量12122（uv（a=(x,1
12、),b=(4,x)，当x_时a与b共线且方向相同（答：）；2）已知a=(1,1),b=(4,x)，=a+2b，=2a+b，且u/v，则x_（答：4）；3）设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）9、向量垂直的充要条件：abab=0|a+b|=|a-b|xx+yy=0.特别地1212AB+(ABACAC)(ABAB-（AC3)。如(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OAOB，则m=（答：）；2）AC2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，则点B的坐标是_（答：(1,3)或（3，1）；（3）已知n
13、=(a,b),向量nm，且n=m，则m的坐标是_（答：(b,-a)或(-b,a)）10.线段的定比分点：（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数l，使PP=lPP，则121212l叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的以定比为l的定比分点；1212（2）l的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时l0；当P点在线段PP的延长线上1212精品文档13743l1+l（3）线段的定比分点公式：设P(x,y)、P(x,y)，P(x,y)分有向线段PP所成的比为l，则，y+lyy=12y+y。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，特别
14、地，当l1时，就得到线段PP的中点公式点和终点，并根据这些点确定对应的定比l。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP=-MN，则点P的坐标为7111.平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则x=x+h；曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)）；2）函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则a_（答：(-4,1)）精品文档时l1；当P点在线段PP的延长线上时-1l0；若点P分有向线段PP所成的比为l，则点P分有2112向线段PP所成的比为。如若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比为_（答：-）21x+lxx=1
15、21112221221+lx+xx=1212y=122(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分1122-1-3（_（答：(-6,-)）；2）已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=ax与线段AB交于M，且AM=2MB，则a等于32_（答：或）ky=y+（平移得曲线f(x-h,y-k)=0.注意：1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点_（答：（，p（12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图
16、形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；b（2）|a|-|b|ab|a|+|b|，特别地，当a、同向或有0|a+b|=|a|+|b|b|a|-|b|=|a-b|；当a、反向或有0|a-b|=|a+|b|a-|b|a|ba+(这些和实数比较类似).|bbb|a-|b|=|a+|；当a、不共线)，则其重心的坐标为Gx1+x2+x3,y1+y2+y3。如（3）在DABC中，若A(x,y),B(x,y),C(x,y11223333PG=1(PA+PB+PC)G为DABC的重心，特别地PA+PB+PC=0P为DABC的重心；24（若ABC的三边的中点分别为（2，1）、-3，4）、（-1，-1），则A
17、BC的重心的坐标为_（答：(-,)）；333PAPB=PBPC=PCPAP为DABC的垂心；向量l(AB+AC)(l0)所在直线过DABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；|AB|AC|精品文档角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=lOA+lOB,其中l,lR且精品文档|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0PDABC的内心；1212（3）若P分有向线段PP所成的比为l，点M为平面内的任一点，则MP=MP+lMP，特别地P为PP的中121+l1点MP=MP+MP2；2（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数a、b使得PA=aPB+bPC且a+b=1.如平面直1212l+l=1,则点C的轨迹是_（答：直线AB）12精品文档
