1、 一元一次不等式的应用【解题秘籍】1一元一次不等式(组)的应用列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案【智慧锦囊】不等式(组)解应用题的步骤大体与列方程(组)解应用题相同， 应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词注意分析题目中的不等量关系，能准确分析 题意，列出不等量关系式，然后根据不等式(组)的解法求解2利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力，考查
2、的热点是与实际生活密切相关的不等式(组)应用题3利用不等式(组)解决实际问题的方法技巧这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式(组)的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式(组)的解集中寻求正确的符合题意的答案4建立不等式(组)模型适合一元一次不等式(组)的问题：(1)存在明显不等关系字眼“至多”、“至少”、“不多于”等；(2)问题中含有上下限，如不足3人，23之间等，是中考的热点考题【易错提醒】1一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要善于挖掘原题中的隐含条件；2不等式的解不是有限个，实际问题的答案往往取特殊解【题型解析
3、】1. 利用一元一次不等式(组)解决商品销售等经济生活问题【例题1】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田20亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润售价成本）由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于8万
4、元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？2.方程组与不等式的综合应用题【例题2】（2019湖南衡阳8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？3.不等式组的应用【例题3】（2018广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案方案一：每台
5、按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围【例题4】（2018济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多
6、少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【同步检测】一、选择题：1. （2018台湾分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（）A112 B121 C134 D1432. （2019江苏无锡3分）某工厂为了要在规定期限内完成
7、2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A10B9C8D73. （2019湖南常德3分）小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜甲说：“至少15元”乙说：“至多12元”丙说：“至多10元”小明说：“你们三个人都说错了”则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A10x12B12x15C10x15D11x144. (2019四川省绵阳市3分)红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件
8、，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A.3种B. 4种C. 5种D. 6种5. （2019黑龙江省绥化市3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量则小明的购买方案有（）A5种B4种C3种D2种二、填空题：6. （2018山西3分） 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 、 宽 、 高 之 和 不 超 过 115cm. 某厂家生产符合该 规 定的
9、行李箱，已知 行 李箱的宽为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8:11， 则 符 合 此 规 定 的行李箱的高的最 大 值为 _cm.7. （2018聊城）若x为实数，则x表示不大于x的最大整数，例如1.6=1，=3，2.82=3等x+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式xxx+1利用这个不等式，求出满足x=2x1的所有解，其所有解为 8. （2018湖南湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：ab=aba+b2例如，25=252+52=ll请根据上述的定义解决问题：若不等式3x2，则不等式的正整数解是 三、解答题9. （2019贵州贵阳10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪
10、念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册10. （2019湖南岳阳8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造
11、的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？11. （2019山东省滨州市 12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用12. （2018郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校
12、拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【参考答案】【考点整理：1.平行,相等，相等，平分；2.相等，相等，互相平分，相等； 3. 相等.【题型解析】1. 利用一元一次不等式(组)解决商品销售等经济生活 问题【例题1】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田20亩，去年开始实施“
13、虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润售价成本）由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可【解答】解：（1）
14、设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得：2010030+202.5z2060080000，解得：z640；答：稻谷的亩产量至少会达到640千克2.方程组与不等式的综合应用题【例题2】（2019湖南衡阳8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购
15、买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量总价单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+
16、10）元，依题意，得：，解得：x5，经检验，x5是原方程的解，且符合题意，x+1015答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，依题意，得：，解得：15m16m为整数，m15或16商店有2种购买方案，方案：购进A商品65个、B商品15个；方案：购进A商品64个、B商品16个3.不等式组的应用【例题3】（2018广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售某公司一次
17、性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，（1）当x=8时，方案一：w=90%a8=7.2a，方案二：w=5a+（85）a80%=7.4a，当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；（2）若该公司采用方案二购买更合算，x5，
18、方案一：w=90%ax=0.9ax，方案二：当x5时，w=5a+（x5）a80%=5a+0.8ax4a=a+0.8ax，则0.9axa+0.8ax，x10，x的取值范围是x10【例题4】（2018济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网
19、箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【分析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之可得；（2）设m人清理养鱼网箱，则（40m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得解析：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据题意，得：，解得：，答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；（2）设m人清理养鱼网箱，则（40m）人清理
20、捕鱼网箱，根据题意，得：，解得：18m20，m为整数，m=18或m=19，则分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱【同步检测】一、选择题：1. （2018台湾分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（）A112 B121 C134 D143【分析】设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入成本结合利润超过成本
21、的2成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论【解答】解：设妮娜需印x张卡片，根据题意得：15x10005x0.2（1000+5x），解得：x133，x为整数，x134答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成故选：C2. （2019江苏无锡3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A10B9C8D7【分析】根据15名工人的前期工作量+1
22、2名工人的后期工作量2160列出不等式并解答【解答】解：设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，则15an2160，得到an144所以15ax+12（a+2）（nx）2160整理，得4x+4an+8n8x720an144将其代入化简，得ax+8n8x144，即ax+8n8xan，整理，得8（nx）a（nx）nx，nx0，a8a至少为9故选：B3. （2019湖南常德3分）小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜甲说：“至少15元”乙说：“至多12元”丙说：“至多10元”小明说：“你们三个人都说错了”则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A10x12B12x15C10x15
23、D11x14【分析】根据题意得出不等式组解答即可【解答】解：根据题意可得：，可得：12x15，12x15故选：B4. (2019四川省绵阳市3分)红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A.3种B. 4种C. 5种D. 6种【答案】C【分析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案【解
24、析】解：设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据题意，得：，解得：20x25，x为整数，x=20、21、22、23、24，该店进货方案有5种，故选：C5. （2019黑龙江省绥化市3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量则小明的购买方案有（）A5种B4种C3种D2种答案：C考点：二元一次方程，不等式。解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y，则，即，满足条件：x1，y1，xy，当x2时，y4，不符合；当x4时，y3，符合；当x6时，y2，符合；当x8时，y1，符合；共3
25、种购买方案。二、填空题：6. （2018山西3分） 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 、 宽 、 高 之 和 不 超 过 115cm. 某厂家生产符合该 规 定的行李箱，已知 行 李箱的宽为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8:11， 则 符 合 此 规 定 的行李箱的高的最 大 值为 _cm.【答案】 55【考点】 一 元 一 次 不 等 式 的 实 际 应 用【解析】 解 ： 设 行 李 箱 的 长 为 8xcm， 宽 为 11xcm20 + 8x +11x 115解得 x 5高的最大值为 11 5 = 55
26、cm7. （2018聊城）若x为实数，则x表示不大于x的最大整数，例如1.6=1，=3，2.82=3等x+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式xxx+1利用这个不等式，求出满足x=2x1的所有解，其所有解为 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决【解答】解：对任意的实数x都满足不等式xxx+1，x=2x1，2x1x2x1+1，解得，0x1，2x1是整数，x=0.5或x=1，故答案为：x=0.5或x=18. （2018湖南湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：ab=aba+b2例如，25=252+52=ll请根据上述的定义解决问题：若不等式3
27、x2，则不等式的正整数解是 【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论【解答】解：3x=3x3+x22，x，x为正整数，x=1故答案为：1三、解答题9. （2019贵州贵阳10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册【分析】（1）直接利用第一周A款销售数量是
28、15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程求出答案；（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案【解答】解：（1）设A款毕业纪念册的销售为x元，B款毕业纪念册的销售为y元，根据题意可得：，解得：，答：A款毕业纪念册的销售为10元，B款毕业纪念册的销售为8元；（2）设能够买a本A款毕业纪念册，则购买B款毕业纪念册（60a）本，根据题意可得：10a+8（60a）529，解得：a24.5，则最多能够买24本A款毕业纪念册10. （2019湖南岳阳8分）岳阳市整治农村“空心房”新
29、模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？【分析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩根据“复耕土地面积+改造土地面积1200亩”列出方程并解答；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出
30、不等式并解答【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得x+（600+x）1200解得x300则600+x900答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300y）亩，由题意，得y（300y）解得 y75故休闲小广场总面积最多为75亩答：休闲小广场总面积最多为75亩11. （2019山东省滨州市 12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240
31、名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用【分析】（1）可设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，根据等量关系2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人，列出方程组求解即可；（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可【解答】解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，解得：，答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；（2）设租用甲种客车x辆，依题意有：，解得：6x
32、4，因为x取整数，所以x4或5，当x4时，租车费用最低，为4400+2280216012. （2018郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100a）件，根据总价=单价购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100a）件，根据题意得：16a+4（100a）900，解得：aa为整数，a41答：A种奖品最多购买41件
