1、专题三几何图形的折叠与动点问题类型一 与特殊图形有关(2018河南)如图，MAN90，点C在边AM上，AC4，点B为边AN上一动点，连接BC，ABC与ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F，连接AE.当AEF为直角三角形时，AB的长为_【分析】 当AEF为直角三角形时，存在两种情况：AEF90，AFE90进行讨论【自主解答】 当AEF为直角三角形时，存在两种情况：当AEF90时，如解图，ABC与ABC关于BC所在直线对称，ACAC4，ACBACB.点D，E分别为AC，BC的中点，D、E是ABC的中位线，DEAB，CDEMAN90，CDEA
2、EF，ACAE，ACBAEC，ACBAEC，ACAE4.在RtACB中，E是斜边BC的中点，BC2AE8，由勾股定理，得AB2BC2AC2，AB4；当AFE90时，如解图，ADFADFB90.ABF90，ABC与ABC关于BC所在直线对称，ABCCBA45，ABC是等腰直角三角形，ABAC4；综上所述，AB的长为4或4.图图1如图，四边形ABCD是菱形，AB2，ABC30，点E是射线DA上一动点，把CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D，连接DB. 若使DBC为等边三角形，则DE_. 2如图，在RtABC中，ACB90，AB5，AC4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将B折叠，使点B恰
3、好落在AC上的D处当ADE恰好为直角三角形时，BE的长为_3(2017河南)如图，在RtABC中，A90，ABAC，BC1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上若MBC为直角三角形，则BM的长为_4(2018新乡一模)菱形ABCD的边长是4，DAB60，点M、N分别在边AD、AB上，且MNAC，垂足为P，把AMN沿MN折叠得到AMN.若ADC恰为等腰三角形，则AP的长为_5(2017三门峡一模)如图，在RtABC中，ACB90，AB5，AC3，点D是BC上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点C，连接CD交AB于点E，连接BC.
4、当BCD是直角三角形时，DE的长为_6(2018盘锦)如图，已知RtABC中，B90，A60，AC24，点M、N分别在线段AC、AB上将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_7(2018乌鲁木齐)如图，在RtABC中，C90，BC2，AC2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F，若ABF为直角三角形，则AE的长为_8(2017洛阳一模)在菱形ABCD中，AB5，AC8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将AEF折叠，使点A落在点A
5、处，当ACD为等腰三角形时，AP的长为_9(2018濮阳一模)如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，点D，E为AC，BC上两个动点若将C沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在AB上，且ADC恰好为直角三角形，则此时CD的长为_类型二 点的位置不确定(2016河南)如图，已知ADBC，ABBC，AB3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B为线段MN的三等分点时，BE的长为_【分析】 根据勾股定理，可得EB，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案【自主解答】 由翻折的性质，得ABAB，
6、BEBE.当MB2，BN1时，设ENx，得BE.由BENABM，即，x2，BEBE；当MB1，BN2时，设ENx，得BE，BENABM，即，解得x2，BEBE，故答案为：或.1如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三等分点，则线段CH的长是_2(2018林州一模)在矩形ABCD中，AB4，BC9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A.若点A到矩形较长两对边的距离之比为13，则AE的长为_3(2015河南)如图，矩形ABCD中，AD5，AB7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在ABC的
7、平分线上时，DE的长为_4(2017商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD5，AB8，点E为射线DC上一个动点，把ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_5如图，在矩形ABCD中，BC6，CD8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把PBC沿PC折叠，当点B的对应点B落在矩形ABCD对角线上时，BP_6(2018河南模拟)如图，ABC中，AB，AC5，tan A2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与PBC的重合部分面积恰好等于BPD面积的一半，则AP的长为_7在矩形ABCD中，AB6，BC12，点E在边BC
8、上，且BE2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C，D，折痕与边AD交于点F，当点B，C，D恰好在同一直线上时，AF的长为_类型三 根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB2，AD3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是_【分析】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A在线段CE上时，AC的长取最小值，根据折叠的性质可知AE1，在RtBCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CEAE即可求出结论例3题解图【自主解答】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上时，
9、AC的长取最小值，如解图所示根据折叠可知：AEAEAB1.在RtBCE中，BEAB1，BC3，B90，CE，AC的最小值CEAE1.故答案为1.1(2019原创)如图，在边长为10的等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将ADE沿DE翻折得到ADE，连接BA，则BA的最小值是_2在矩形ABCD中，AD12，E是AB边上的点，AE5，点P在AD边上，将AEP沿EP折叠，使得点A落在点A的位置，如图，当A与点D的距离最短时，APD的面积为_3如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD.则当BD取得最小
10、值时，tanBEF的值为_4(2017河南模拟)如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_参考答案类型一针对训练1.1或22【解析】(1)当点E在边AD上时，过点E作EFCD于F，如解图，设CFx，第1题解图ABC30，BCD150.BCD是等边三角形，DCD90.由折叠可知，ECDDCE45，EFCFx，在直角三角形DEF中，D30，DE2x，DFx，CDCFDFxx2，解得xx1，DE2x22.(2)当E在DA的延长线上时，如解图.第1
11、题解图过点B作BFDA于点F，根据折叠可知，EDCD30，又三角形BDC是等边三角形，DE垂直平分BC，ADBC.DEAD，ABC30BAF30，又AB2，AF.令DE与BC的交点为G，则易知EFBGBC1，AE1，DE1，综上所述，DE的长度为1或22.2.或【解析】在RtABC中，C90，AB5，AC4，BC3.沿直线EF将B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BEDE，设BEx，则DEx，AE5x，当ADE90时，则DEBC，解得x；当AED90时，则AEDACB，解得x，故所求BE的长度为：或.3.或1【解析】如解图，当BMC90，B与A重合，
12、M是BC的中点，BMBC；如解图，当MBC90，A90，ABAC，C45，CMB是等腰直角三角形，CMMB.沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点为B，BMBM，CMBM.BC1，CMBMBMBM1，BM1，综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为或1.图图第3题解图4.或22【解析】如解图，当ADAC时，ADCACD30，AAD60.又CAD30，ADA90，在RtADA中，AA，由折叠可得APAA；图图第4题解图如解图，当CDCA4时，连接BD交AC于O，则RtCOD中，COCDcos 3042，AC4，AAACAC44，由折叠可得APAA22；故答案为或22.5 .或【解析】如解图所
13、示，点E与点C重合时在RtABC中，BC4.由翻折的性质可知；AEAC3、DCDE，则EB2.设DCEDx，则BD4x.在RtDBE中，DE2BE2DB2，即x222(4x)2.解得x.DE.图图第5题解图如解图所示：EDB90时由翻折的性质可知：ACAC，CACD90.CACDCDC90，四边形ACDC为矩形又ACAC，四边形ACDC为正方形CDAC3.DBBCDC431.DEAC，BDEBCA.，即.解得DE.点D在CB上运动，DBC90，故DBC不可能为直角故答案为：或.6.或【解析】分两种情况：如解图，当CDM90，CDM是直角三角形，在RtABC中，B90，A60，AC24，C30，
14、ABAC2，由折叠可得，MDNA60，BDN30，BNDNAN，BNAB，AN2BN，DNB60，ANMDNM60，ANM60，ANMN.如解图，当CMD90时，CDM是直角三角形，由题可得CDM60，AMDN60，BDN60，BND30，BDDNAN，BNBD，又AB2，AN2，BN，过N作NHAM于H，则ANH30，AHAN1，HN，由折叠可得AMNDMN45，MNH是等腰直角三角形，HMHN，MN，故答案为或.图图第6题解图73或【解析】C90，BC2，AC2，tan B，B30，AB2AC4.点D是BC的中点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F，DBDC，EBE
15、B，DBEB30.设AEx，则BE4x，EB4x，当AFB90时，在RtBDF中，cos B，BFcos 30，EF(4x)x.在RtBEF中，EBF30，EB2EF，则4x2(x)，解得x3，此时AE为3；第7题解图当FBA90时，作EHAB于H，连接AD，如解图，DCDB，ADAD，RtADBRtADC，ABAC2.ABEABFEBF9030120，EBH60.在RtEHB中，BHBE(4x)，EHBH(4x)，在RtAEH中，EH2AH2AE2，(4x)2(4x)22x2，解得x，此时AE为.综上所述，AE的长为3或.8.或【解析】四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD5，DACBAC.
16、EFAA，EPAFPA90，EAPAEP90，FAPAFP90，AEPAFP，AEAF.AEF是由AEF翻折，AEEA，AFFA，AEEAAFFA，四边形AEAF是菱形，APPA.当CDCA时，AAACCA3，APAA.当ACAD时，ACDADCDAC，ACDDAC，AC，AA8，APAA，故答案为或.9.或【解析】如解图，当ADC90时，ADCC，第9题解图DCCB，ADCACB.又AC3，BC4，设CDCDx，则AD3x，解得x，经检验：x是所列方程的解，CD；如解图，当DCA90时，DCB90，第9题解图由折叠可得，CDCE90，CB与CE重合，由CACD90，AA，可得ADCABC，在
17、RtABC中，AB5，设CDCDx，则AD3x，解得x，CD.综上所述，CD的长为或.类型二针对训练14或【解析】设CHx，则DHEH9x，当BEEC21时，BC9，CEBC3.在RtECH中，EH2EC2CH2，即(9x)232x2，解得x4，即CH4.当BEEC12时，CEBC6.在RtECH中，EH2EC2CH2，即(9x)262x2，解得：x，即CH.故CH的长为4或.2.或【解析】如解图，过点A作AMAD于M交BC于N，则四边形ABNM是矩形，ABMN4.若点A到矩形较长两对边的距离之比为13，AM1，AN3或AM3，AN1.当AM1，AN3时，在RtBAN中，BN，AMBN.由AE
18、MBAN，EM，AE；当AM3，AN1时，同理可得AE.,第2题解图)第3题解图3.或【解析】如解图，连接BD，过D作MNAB，交AB于点M，CD于点N，作DPBC交BC于点P.点D的对应点D落在ABC的平分线上，MDPD.设MDx，则PDBMx，AMABBM7x，又由折叠图形可得ADAD5，x2(7x)225，解得x3或4，即MD3或4.在RtEND中，设EDa，当MD3时，AM734，DN532，EN4a，a222(4a)2，解得a，即DE；当MD4时，AM743，DN541，EN3a，a212(3a)2，解得a，即DE.综上所述，DE的长为或.4.或10【解析】分两种情况：如解图，当点F
19、在矩形内部时，点F在AB的垂直平分线MN上，AN4.AFAD5，由勾股定理得FN3，FM2.设DE为x，则EM4x，FEx，在EMF中，由勾股定理，得x2(4x)222，x，即DE的长为；图图第4题解图如解图，当点F在矩形外部时，同的方法可得FN3，FM8，设DE为y，则EMy4，FEy，在EMF中，由勾股定理，得y2(y4)282，y10，即DE的长为10.综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.53或【解析】点A落在矩形对角线BD上，如解图，在矩形ABCD中，AB8，BC6ABC90，ACBD，ACBD10.根据折叠的性质，得PCBB，PBDBCP，BCPABD，
20、即，解得BP；点A落在矩形对角线AC上，如解图，根据折叠的性质，得BPBP，BPBC90，ABA90，APBACB，即，解得BP3，故答案为：3或.图图第5题解图62或5【解析】分两种情况：当点B在AC的下方时，如解图，D是BC中点，SBPDSPDC，SPDFSBPD，SPDFSPDC.F是PC的中点，DF是BPC的中位线，DFBP，BPDPDF，由折叠得：BPDBPD，BPDPDF，PBBD，即PBBD，过B作BEAC于E，在RtABE中，tan A2，AB，AE1，BE2，EC514，由勾股定理，得BC2，D为BC的中点，BD，PBBD，在RtBPE中，PE1，APAEPE112；图图第6
21、题解图当点B在AC的上方时，如解图，连接BC，同理得：F是DC的中点，F是PB的中点，DFFC，PFFB，四边形DPCB是平行四边形，PCBDBD，AP5，综上所述，AP的长为2或5.782或82【解析】由折叠的性质得，ECDC90，CECE.点B、C、D在同一直线上，BCE90，BC12，BE2CE，BE8，CECE4，在RtBCE中，2，CBE30.当点C在BC的上方时，如解图，过E作EGAD于G，延长EC交AD于H，则四边形ABEG是矩形，EGAB6，AGBE8，CBE30，BCE90，BEC60，由折叠的性质得，CEFCEF60.ADBC，HFECEF60，EFH是等边三角形，在RtE
22、FG中，EG6，GF2，AF82；当点C在BC的下方时，如解图，过F作FGAD于G，DF交BE于H，同可得，四边形ABGF是矩形，EFH是等边三角形，AFBG，FGAB6，FEH60，在RtEFG中，GE2.BE8，BG82，AF82.图图第7题解图类型三针对训练155【解析】如解图，连接BE.第1题解图ABBCAC10，C60.ABBC，E是AC的中点，BEAC.BE5.AC10，E是AC边的中点，AE5.由翻折的性质可知AEAE5.BAAEBE，当点B、A、E在一条直线上时，BA有最小值，最小值BEAE55.2.【解析】连接DE，DE13，将AEP沿FP折叠，使得点A落在点A的位置，EAE
23、A5，ADDEEA第2题解图(当且仅当A点在DE上时，取等号)，当A与点D的距离最短时，A点在DE上，DA1358，设PAx，则PAx，PD12x，在RtDPA中，x282(12x)2，解得x，APD的面积8.3.【解析】在RtADE中，DE2，当B在ED上时，BD最小，在ED上截取EBEB2，连接BF，FD，则BDEDEB22，设BFx，则BFx，CF4x，在RtBFD和RtFCD中，利用勾股定理，可得DB2BF2DF2CF2DC2，即(22)2x2(4x)242，解得x1，RtBEF中，tanBEF.第3题解图4.【解析】由题意得：DFDB，第4题解图点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作D; 连接AD交D于点F，此时AF值最小，点D是边BC的中点，CDBD3；而AC4，由勾股定理得：AD2AC2CD2，AD5，而FD3，FA532，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FHBC于H，ACB90，FHAC，DFHDAC，即，HF，DH，BH，BF.
