1、学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想1圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2.(1)(x0a)2(y0b)2r2点P在圆外(2)(x0a)2(y0b)2r相离；dr相切；dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长(2)几何方法：若弦心距为d
2、，圆半径为r，则弦长为l2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离为2，得k，此时直线l的方程为3x4y200.又当直线l的斜率不
3、存在时，也满足题意，此时方程为x0，所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，则CDPD，所以kCDkPD1，即1，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2y23x0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为，求这个圆的方程解设圆的方程为(x2)2(y1)2r2，即x2y24x2y5r20，所以直线P1P2的方程为x2y5r20.由已知得，解得r26.故所求圆的方程是(x2)2(y1)26.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2y2D1
4、xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练3已知两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为_答案(2，1)解析两圆的圆心坐标分别为O1(1,1)和O2(2，2)，由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，则kPQ1，kPQ1.直线PQ的方程为y2x1，即
5、yx1.由点P(1,2)在圆(x1)2(y1)2r2上，可得r，联立解得或Q(2，1)类型四数形结合思想的应用例4曲线y1与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，)C(， D(，答案D解析首先明确曲线y1表示半圆，由数形结合可得k.反思与感悟数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题跟踪训练4已知实数x、y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答
6、案解析如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则当圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120)1若方程x2y2ax2aya2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa2或a Ba2Ca1 Da1答案D解析由题意知a24a24(a2a1)0，解得a1.2以点(3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A(x3)2(y4)216B(x3)2(y4)216C(x3)2(y4)29D(x3)2(y4)
7、29答案B3过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A030 B060C030 D060答案D解析设l：y1k(x)，即kxyk10，圆心(0,0)到直线l的距离为d1，解得0k，即0tan ，060.4两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线的条数为()A4 B3 C2 D1答案C解析两圆的标准方程分别为(x3)2(y8)2121；(x2)2(y4)264，则两圆的圆心与半径分别为C1(3，8)，r111；C2(2,4)，r28.圆心距为|C1C2|13.r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交，则公切线共2条5已知直线xmy30和圆x
8、2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值解(1)因为圆x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0)因为直线xmy30与圆相切，所以2，解得m2.(2)圆心(3,0)到直线xmy30的距离为d.由2，得22m220m2160，即m29.故m3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在
9、切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角课时作业一、选择题1已知圆C与直线xy0和xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析由圆心在xy0上，可排除C，D.再结合图象，
10、或者验证选项A，B中，圆心到两直线的距离是否等于半径即可2若直线axby1与圆x2y21有公共点，则()Aa2b21 Ba2b21C.1 D.1答案B解析若直线axby1与圆x2y21有公共点，则1，即a2b21.3已知圆O1的方程为x2y24，圆O2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A1，1B3，3C1，1,3，3D5，5,3，3答案C解析两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|1，当两圆外切时，|a|3，实数a的取值集合是1，1,3，3，故选C.4在空间直角坐标系中，以A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(
11、2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形，其中mZ，则m的值为()A4 B4C6或4 D6或4答案A解析如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是以AB为底边的等腰三角形，则|AC|BC|，53(m2)2，mZ，方程无解如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是以AC为底边的等腰三角形，则|AB|BC|，(m10)285，mZ，方程无解如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是以BC为底边的等腰三角形，则|AB|AC|，(m10)232(m2)2，解得m4，故选A.5已知圆心为(2,0)的
12、圆C与直线yx相切，则切点到原点的距离为()A1 B. C2 D.答案B解析如图，设圆心为C，切点为A，圆的半径为r，|OC|2，切点到原点的距离为.故选B.6直线xy20截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为()A30 B45 C60 D90答案C解析过O作OCAB，垂足为点C，由圆的方程x2y24，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r2.圆心到直线xy20的距离为d|OC|，直线被圆截得的弦长为|AB|22，AOB为等边三角形，即AOB60，直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60，故选C.7已知直线l：kxy20(kR)是圆C：x2y26x2y90的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点
13、为B，则线段AB的长为()A2 B2C3 D2答案D解析由圆C：x2y26x2y90，得(x3)2(y1)21，表示以C(3，1)为圆心，1为半径的圆由题意可得直线l：kxy20经过圆C的圆心(3，1)，故有3k120，得k1，则点A(0,1)，即|AC|，则|AB|2，故选D.二、填空题8以正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为_答案(1,1，)解析画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为(1,1，)9若两圆x2(y1)21和(x1)2y2r2相交，则正数r的取值范围是_答案(1，1)解
14、析两圆x2(y1)21和(x1)2y2r2相交，圆x2(y1)21的半径和圆心分别是1，(0，1)，圆(x1)2y2r2的半径和圆心分别是r，(1,0)，两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和，即|r1|r1，r1r1，r(1，1)，即正数r的取值范围是(1，1)10已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线xy10垂直，且l与圆C：x2y22y3交于A，B两点，则OAB的面积为_答案1解析直线l的方程为y(x1)，即xy10.又由圆C：x2y22y3，得x2(y1)24，圆心C(0，1)到l的距离为d，|AB|222，又原点O到l的距离为，SOA
15、B21.11设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_答案(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28解析由题意可设圆心C(a，a)，如图，得22222a2，解得a2，r28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.三、解答题12已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x1截得的弦长为2.(1)求圆N的方程；(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为4，求直线l的斜率解(1)由题意知，圆心到直线的距离为312，圆N被直线x1截得的弦长为2，圆的半径为r3，圆N的方程为(x3)2(y4)29.(2)设直线l的方程为y6k
16、(x3)，即kxy3k60，圆心(3,4)到直线l的距离为d，r3，弦长为4，42，化简得1k24，解得k.13已知圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240相交于A、B两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程解(1)由x2y40.圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240的公共弦AB所在的直线方程为x2y40.(2)由(1)得x2y4，代入x2y22x2y80中，得y22y0，或即A(4,0)，B(0,2)又圆心在直线yx上，设圆心为M(x，x)，则|MA|M
17、B|，|MA|2|MB|2，即(x4)2(x)2x2(x2)2，解得x3.圆心M(3,3)，半径|MA|.圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程为(x3)2(y3)210.(3)由A(4,0)，B(0,2)，得AB的中点坐标为(2,1)，|AB|.经过A、B两点且面积最小的圆的方程为(x2)2(y1)25.四、探究与拓展14当曲线y1与直线kxy2k40有两个相异的交点时，实数k的取值范围是()A(0，) B(，C(， D(，)答案C解析y1可化为x2(y1)24(y1)直线kxy2k40过定点A(2,4)且斜率为k，故设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(2,1)，当直线的斜率k
18、大于直线AD的斜率且小于或等于直线AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点当直线与半圆相切时，有2，解得k，即kAD.又直线AB的斜率kAB，直线的斜率k的取值范围为(，15已知圆C：(x2)2(y3)24，直线l：(m2)x(2m1)y7m8.(1)求证：直线l与圆C恒相交；(2)当m1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围(1)证明直线l的方程可化为m(x2y7)2xy80，故l恒过点A(3,2)(32)2(23)224，即点A在圆C内，直线l与圆C恒相交(2)解由题易知直线l1的方程为x0.又当m1时，l：xy5，联立得交点P(0,5)，|PC|2，|PQ|22,22
