1、第二节 空间几何体的表面积和体积一、选择题 (本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30分)1设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )A 9429C.212B36 189D.218解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体， 球的直 径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2，故所求体积为 2 324332 3 2918，故选 D.答案 D2如图是一个几何体的三视图 ( 侧视图中的弧线是半圆 )，则该 几何体的表面积是 ( )B243D244A 203C204解析 由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为 2的正方体下面是半个圆柱，其半径为 1，母线为 2
2、.故 S52212203.答案 A3(2014 唐山市期末 )某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 ( )A 816C8822解析 V224BD12424816，816168选 B.答案 B4一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( )16A. 3 19C. 3 19B.124D.3解析 由三视图可知该几何体是底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱其外接球的球心为上下底面中心连线的中点 R2 1 2193 .2 3 2 193 12，S4R2答案 C5正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC与三棱锥 PGAC体积之比为 ()A 1:1B
3、1:2C 2:1D3:2解析 设棱锥的高为 h，11VDGAC VGDAC3SADC2h，1 1 h VPGAC2VPABCVGABC3SABC2.又 SADC SABC，故 VD GAC VPGAC答案 C6已知球的直径 SC4， A，B 是该球球面上的两点， AB2， ASCBSC45，则棱锥 SABC的体积为 ()A. 33C.4 3C. 3解析 如图，设球心为 O，OSOAOC 得SAC90，又ASC22 45，所以 ASAC 2 SC，同理 BS BC 2 SC，可得 SC面AOB， 则 VSABC31SAOBSC31 34433，故选 C.答案 C二、填空题 （本大题共 3小题，每
4、小题 5 分，共 15分）7若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面， 则该圆锥的体积为 12 2rl 2，rl 2.15又2l22，l2，r1.h l2r2 3，V 31213 33.答案338（2013 福建卷 ）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边 形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 解析 该球为一棱长为 2 的正方体的外接球， 体对角线为球的直 径， 2R 2222222 3，所以该球的表面积为 4R212.答案 129（2013 江苏卷）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC中，D，E，F 分别是 AB，AC，
5、AA1的中点设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1 V2 .解析 设三棱柱 A1B1C1ABC 的高为 h，底面ABC 的面积为 S，1 1 1 1 1 V13141S12h214Sh214V2，所以 V1 V2答案三、解答题 (本大题共 3小题，每小题 10分，共 30 分) 10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解 (1) 由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体 是四棱锥
6、，且四棱锥的底面 ABCD是相邻两边长分别为 6和 8的矩形， 高 HO4，O点是 AC与 BD 的交点，如图所示1该几何体的体积 V3864 64.(2)如图所示，作 OEAB，OFBC，侧面 HAB 中，HE HO2OE2 4232 5，11 SHAB2ABHE28520.侧面 HBC 中，HF HO2OF2 42424 2. SHBC12BC HF 126 4 212 2.该几何体的侧面积 S2(SHAB SHBC)4024 2.11(2014 滨州质检 )一几何体按比例绘制的三视图如图所示 (单 位： m)：(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积 解 (1) 直观图如图所示
7、：(2)方法 1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角， 且该3 几何体的体积是以 A1A，A1D1， A1B1 为棱的长方体的体积的 4，在直角梯形 AA1B1B中，作BEA1B1于E，则 AA1EB是正方形， AA1BE 1 m.在 RtBEB1 中，BE 1 m，EB11 m，BB1 2 m.几何体的表面积SS正方形 AA1D1D2S梯形 AA1B1BS 矩形 BB1C1CS 正方形ABCD S 矩形 A1B1C1D1 1212(12)11 2112 7 2(m2)几何体的体积 V34 12132(m3)3 该几何体的表面积为 (7 2)m2，体积为 32 m3.方法 2：几何体也可
8、以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱，其 表面积求法同方法 1，1V 直四棱柱 D1C1CDA1B1BA Sh2（12）1112如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是直角梯形 ABCD，其 中 AD AB，CDAB，AB 4，CD2，侧面 PAD 是边长为 2 的等 边三角形，且与底面 ABCD 垂直，E 为 PA 的中点(1)求证： DE平面 PBC；(2)求三棱锥 APBC 的体积(1)证明：如图，取 AB 的中点 F，连接 DF ， EF.在直角梯形 ABCD 中，CDAB，且 AB4，CD2，所以 BF 綊CD.所以四边形 BCDF 为平行四边形所以 DF BC.在PAB 中，PEEA，AFFB，所以 EFPB.又因为 DF EFF，PBBCB，所以平面 DEF 平面PBC.因为 DE? 平面 DEF ，所以 DE平面PBC.(2)取 AD 的中点 O，连接 PO.在PAD 中， PAPDAD2，所以 POAD，PO 3.又因为平面 PAD平面ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，所 以 PO平面 ABCD.在直角梯形 ABCD 中，CDAB，且 AB4，AD 2，ABAD，所 11以 SABC 2AB AD2 4 24.11故三棱锥 A PBC 的体积 VA PBC VPABC 3 SABC PO 3
