1、1数 与 代 数（1）数 的 认 识一、我们学过的数1整数（1）整数的范围：整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、0和负整数组成。（2）整数的意义：像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数统称为整数。2自然数（1）自然数的意义：像0和1，2，3，4，5，6，7，8这些用来表示物体个数的数都是自然数。（2）自然数的基本单位：任何一个非零自然数都是由若干个1组成的，1是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。（3）自然数有“基数”“序数”两种意义。3正数和负数（1）正数的定义：像+4、40、+884443这样的数叫作正数。（2）负数的定义：像-4、-14、-392、-155这样的数叫作负数，
2、“-”叫负号。4分数（1）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数。（2）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫作这个分数的分数单位。5百分数百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数也叫百分率或百分比。百分数通常用百分号“%”表示，例如：54%。6小数（1）小数的意义：像07、045、0025、0107这样，用来表示十分之几、百分之几、千分之几的数，叫作小数。（2）小数的分类。有限小数小数部分的位数是有限的小数叫作有限小数。无限小数小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。无限小数又可以分为无限不循环小数和循环小数两类。循环小数一个无限小
3、数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。循环节一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。循环小数的简便记法写循环小数的时候，为了简便，一般只写出它的第一个循环节，如果循环节只有一位数字，就在这个数字上点一个圆点。如果循环节有一位以上的数字，就在循环节的首位和末尾数字上各点一个小圆点。二、数与数之间的联系1整数可以看作分母是1的分数。2小数可以看作分母是10、100、1000的分数。3百分数是一种特殊的分数。三、数的性质1分数的基本性质。（1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小
4、不变。（2）分数的基本性质是通分和约分的依据。2小数的基本性质。（1）小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。（2）小数的基本性质与分数的基本性质的关系：小数的基本性质和分数的基本性质是一致的。四、数的大小比较1整数大小的比较。比较两个整数的大小，位数多的数比较大；位数相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，最高位上数字大的那个数就大，如果最高位上的数字相同，就比较下一位以此类推，直到比出大小为止。2小数大小的比较。比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大以此类
5、推，直到比出大小为止。3分数的大小比较。（1）分母相同的两个分数，分子大的分数比较大，分子小的分数比较小；分子相同的两个分数，分母小的分数比较大，分母大的分数比较小。（2）分子分母都不相同的两个分数，先通分，化成分母相同的分数再比较。（3）整数部分相同的带分数，分数部分大的就大；整数部分不同的带分数，整数部分大的就大。五、数的改写1把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法：（1）把较大的数改写成用“万”作单位的数，先找到万位，在万位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写“万”字。（2）把较大的数改写成用“亿”作单位的数，先找到亿位，在亿位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写“亿”字。
6、2把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数和省略某一位后面的尾数的方法：3数的省略。（1）省略万位后面的尾数求近似数的方法：先找到万位，再把千位上的数四舍五入，同时在后面加写“万”字。（2）省略亿位后面的尾数求近似数的方法：先找到亿位，再把千万位上的数四舍五入，同时在后面加写“亿”字。（3）“四舍五入法”：求一个数的近似数，要看所省略的尾数的左起第一位上的数是不是满“5”，如果不满“5”，就把尾数都舍去；如果满“5”，把尾数舍去后，要在它的前一位上加“1”，这种求近似数的方法叫作“四舍五入法”。（4）求小数的近似数。求一个小数的近似数，通常用“四舍五入法”。六、因数、倍数；质数、合数；奇数、偶
7、数1因数、倍数的意义。（1）因数和倍数的关系两个非零自然数相乘，两个因数都是积的因数，而积是两个因数的倍数。例如：49=36，我们就说4和9都是36的因数，36是4和9的倍数。在整除的算式中：商和除数都是被除数的因数，被除数是商和除数的倍数。例如：62=3，我们就说2和3都是6的因数，6是2和3的倍数（2）0的特殊性。在自然数中，0乘任何一个数都得0，所以0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。（3）因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个非0的自然数，既是它
8、本身的倍数，又是它本身的因数。1是所有非零自然数的因数，所有非零自然数都是1的倍数。2 2、3、5的倍数特征。（1）2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。如36、48，因为36的个位上是6，所以36是2的倍数；因为48的个位上是8，所以48是2的倍数。（2）5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。如135，因为135的个位上是5，所以135是5的倍数。（3）3的倍数特征：一个数，如果各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如102，因为1+0+2=3，33=1，所以102是3的倍数。（4）既是2的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数，又
9、是5的倍数。3偶数和奇数。自然数按能否被2整除可分为：偶数和奇数（1）偶数：能被2整除的数，叫作偶数。如0，2，4，6，8，10都是偶数。（2）奇数：不能被2整除的数，叫作奇数。如1，3，5，7，9都是奇数。4质数和合数。（1）非零自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。（2）质因数、分解质因数。质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数叫作这个合数的质因数。如6=23（2和3是6的质因数），28=227（2和7是28的质因数），30=23 5（2、3、5是30的质因数）。分解质因数把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。通常采用短除法分解质因数分解质因数时先书写短除
10、符号“”，再把要分解的合数写在短除符号里，再用能整除这个合数的质数去除，通常从最小的质数开始试除。如果商是合数，继续往下除，直到除得的商是质数为止，最后把各除数和最后的商写成连乘的形式。例如：把42分解质因数。5 公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数。（1）公因数和最大公因数的意义。几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。如12和18的公因数有1，2，3，6。几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。如12和18的最大公因数是6。只有公因数1的两个数叫作互质数。如5和7是互质数；7和9是互质数；8和9是互质数。（2）求两个数的最大公因数的方法。短除法一般先用这两个数公有的质数连续去除
11、，一直除到所得的商是互质数为止，再把所有的除数连乘起来。分解质因数法（3）公倍数和最小公倍数的意义。几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。如90，180，270都是12和18的公倍数。几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。如12和18的最小公倍数是90。几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数。求两个数的最小公倍数常用的方法有两种：a：短除法；b：分解质因数法如求18和30的最小公倍数方法一：短除法用短除法求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，再把所有的除数和最后的商连乘起来。18和30的最小公倍数是：23
12、35=90方法二：分解质因数法18和30的最小公倍数：2335=90。（2）数 的 运 算一、运算的意义1整数四则运算。（1）整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫作加法。（2）整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫作减法。例如：186表示已知两个因数的和是18，其中的一个加数是6，求另一个加数。（3）整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫作因数。相同加数的和叫作积。（4）整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫作除法。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任
13、何一个数除以0，均得不到一个确定的商。2小数四则运算。（1）小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。（2）小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。（3）小数乘法。小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。（4）小数除法。小数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。3分数四则运算。（1）分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
14、（2）分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。（3）分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘分数的意义：表示求这个数的几分之几是多少。例如，151/3 表示15的1/3是多少。（4）分数除法。分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。二、整数、小数、分数的加减运算1整数加减法。（1）加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。（2）减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上
15、的数合并在一起，再减。2小数加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。如果被减数的小数末尾位数不够，可以添“0”再减。3分数加减法。（1）同分母分数相加减，只把（分子）相加减，（分母）不变。（2）异分母分数相加减，先（通分），再按照同分母分数加减法的计算法则进行计算。三、整数、小数、分数的乘除运算1整数乘除法计算法则。（1）乘法：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就和哪一位对齐，乘得的数满几十就向前一位进几，再把各次乘得的数加起来。（2）
16、除法：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。2小数乘除法法则。（1）乘法：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，如果位数不够，就用“0”补足。（2）除数是整数的小数除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。（3）除数是小数的除法：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移
17、动几位（位数不够的补“0”），再按照除数是整数的除法法则进行计算。3分数乘法的计算法则。（1）乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（2）除法：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。四、运算律五、数的运算性质1商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，叫作商不变的性质。2减法的性质。从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变。 字母表示：a-b-c=a-（b+c）例如：102.37.7=10（2.37.7）=1010=0 a-b-c=a-（b+c）可以反过来用：a
18、-（b+c）=a-b-c例如：15.6（5.6+3.8）=15.65.63.8=103.8=6.23除法的性质。（1）一个数里连续除以几个数，可以用这个数里除以所有除数的积，结果不变。用字母表示：abc=a（bc）例如：32.542.5=32.5（42.5）=32.510=3.25（2）abc=a（bc）可以反回来用：a（bc）=abc，例如：18.3（1.8350）=18.31.8350=1050=0.2（3）量 与 计 量一、计量单位及进率1质量。（1）常用的质量单位有吨（t）、千克（kg）、克（g）。（2）每相邻两个质量单位间的进率是1000。1吨=1000千克1千克=1000克即1 t
19、=1000 kg1 kg=1000 g2人民币单位。（1）常用的人民币单位有元、角、分。（2）1元=10角1角=10分3时间单位。（1）常用的时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒。（2）它们之间的进率关系如下图：4长度单位。（1）常用的长度单位：千米、米、分米、厘米、毫米。（2）它们之间的进率关系如下图：5面积单位。（1）常用的面积单位有平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。（2）面积单位间的进率：每相邻两个面积单位间的进率是100。6体积单位。（1）常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。（2）它们之间的进率关系如下图：7容积单位。（1）常用的容积单位有升和毫升。（2）进率：1升
20、=1000毫升二、计量单位之间的换算高级单位化成低级单位，乘进率；低级单位化成高级单位，除以进率。（4）比 与 比 例一、比和比例1比。（1）比的意义：两个数相除又叫两个数的比。（2）比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值。（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。2比例。（1）比例的意义：表示两个比相等的式子。（2）比例的基本性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。（3）解比例：求比例中的未知项，叫作解比例。依据比例的基本性质，先把比例转化成方程，再解方程。二、比和分数、除法的关系三、求比值和化简比四、比例尺1比例尺的意义：图上距离和实际距离的比叫作比
21、例尺。图上距离实际距离=比例尺或图上距离/实际距离=比例尺2比例尺的分类：数值比例尺和线段比例尺，数值比例尺和线段比例尺可以互相转化。3求图上距离或实际距离（1）图上距离=实际距离比例尺（2）实际距离=图上距离比例尺（3）根据图上距离/实际距离=比例尺，列方程解答。五、正比例和反比例1正比例：两种相关联的量的比值一定。（1）关系式：y/x=k（一定）（2）正比例的图像：正比例的图像是经过原点的一条直线。绘制图像时，先描点，再连线。2反比例：两种相关联的量的乘积一定。关系式：xy=k（一定）六、比例的应用1按比例分配问题的解法。一般法：把比转化成分数，用分数方法解答。即先求出总份数，再求出各部分
22、量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分量。归一法：把比看作各部分的份数，先求出总份数，再用总量总份数=平均每份的量（归一），最后用平均每份的量各部分量所对应的份数，求出各部分量。用比例知识解答：首先设未知量为x，然后以题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系，列出比例，再解比例求解即可。2用正、反比例解应用题。（1）解题关键正确判断正、反比例是解答比例应用题的关键。（2）解题步骤。分析数量关系，判断成什么比例。找等量关系：如果是成正比例，就按“等比”找等量关系；如果是成反比例，就按“等积”找等量关系。 比例。设未知数为x，并代入等量关系式。 比例。
23、验并作答。（5）式 与 方 程一、用字母表示数1用字母或含字母的式子可以表示数（整数、分数、小数和百分数），也可以简明地表示数量关系和运算律以及公式等。2用字母表示数量关系。例如：S=vt3用字母表示运算律。如，加法交换律：a+b=b+a4用字母表示计算公式。如，正方形的周长：C=4a二、等式与方程1等式：表示相等关系的式子。2方程：含有未知数的等式叫作方程。3等式与方程的关系：所有的方程都是等式，等式不一定都是方程。4方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。5解方程：求方程的解的过程叫作解方程。三、列方程解应用题的步骤1审题。弄清题意，找出未知数并用x表示，也可以间接设某个数
24、量为x，再通过这个量去求未知数。2找出题目中数量间的相等关系，并根据相等关系列出方程。3解方程，求出未知数的值。4检验并作答。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。自然数是整数的一部分。“0”的含义：0是最小的自然数，它通常表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示这个数位上没有计数单位。“0”也表示起点、分界点等。整数与自然数的联系与区别：自然数都是整数，整数不都是自然数，整数还包括负整数。特别提示：最大的分数单位是1/2，没有最小的分数单位。小数各部分的名称，如下图：温馨提示：小数还可以按它的整数部分是否是0分为纯小数和带小数。整数部分是0的小数叫作纯小数；整数部分不是0
25、的小数叫作带小数。循环节从小数点右面第一位开始循环的，叫纯循环小数；循环节不是从小数点右面第一位开始循环的，叫混循环小数。分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。小数的基本性质和分数的基本性质是一致的。温馨提示：比较不同类型的数的大小，通常化为相同类型的数之后再作比较。方法技巧：在比较小数、分数和百分数的大小时，通常把分数和百分数化为小数，把小数的相同数位的数依次比较大小，按最后的排序结果排列原数。小窍门：在比较含有字母的数的大小时，可以让字母取一个具体数值再作比较。特别注意：改写后小数末尾的“0”应去掉。遇到有单位名称时，还要写上单位名称。改写后，如果小数位数比较多，可以根据需要保留前几位小数
26、。改写用“=”，保留用“”。温馨提示：改写与省略的区别：改写是求准确值，省略是用“四舍五入法”求近似值。方法技巧：保留整数，表示精确到个位，先找到个位，再把十分位上的数四舍五入；保留一位小数，表示精确到十分位，先找到十分位，再把百分位上的数四舍五入；保留两位小数，表示精确到百分位，先找到百分位，再把千分位上的数四舍五入；保留三位小数，表示精确到千分位，先找到千分位，再把万分位上的数四舍五入以此类推。特别提示：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数，也不能单独说某个数是倍数。温馨提示：在研究因数和倍数时，我们所说的数，一般是指不包括0的自然数，也就是说在非零自然数的范围内探索因数和倍数。
27、4的倍数特征：一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。9的倍数特征：一个数，如果各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。温馨提示：最小的偶数是0，最小的奇数是1，没有最大的偶数，也没有最大的奇数。特别提示：最小的质数是2，最小的合数是4，没有最大的质数，也没有最大的合数。除了0和2以外，所有的偶数都是合数，2是唯一的偶质数。易错举例：错例：判断：自然数可以分为质数与合数。（）错因分析：这种分类方法漏掉了1，1既不是质数也不是合数。正确答案：100以内的质数有25个，它们是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67
28、、71、73、79、83、89、97。易错提示：用短除法分解质因数，要保证每一步的除数必须是质数，最后得出的商也是质数。温馨提示：用短除法求两个数的最大公因数时不要把商乘进去，因为商表示每个数独有的因数。特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如6和12的最大公因数是6；6和12的最小公倍数是12。两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。如5和7的最大公因数是1；5和7的最小公倍数是57=35。特别提醒：分解质因数法求最大公因数，就是把公有的质因数相乘；求最小公倍数就是把所有的质因数（公有的只乘一次）相乘。小贴士
29、：在乘法里，0和任何数相乘都得0。1和任何数相乘都得任何数。特别提示：验算时，可以根据加法与减法、乘法与除法互为逆运算的关系，相互验算。加减乘除各部分之间的关系：加法：加数+加数=和一个加数=和另一个加数减法：被减数减数=差被减数=差减数减数=被减数差乘法：一个因数另一个因数=积一个因数=积另一个因数除法：被除数除数=商除数=被除数商被除数=商除数验算方法：1加法：用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍；用减法验算：和减去一个加数等于另一个加数。2减法：用加法验算：差+减数=被减数；用减法验算：被减数-差=减数。3乘法：用乘法验算：调换两个因数的位置再乘一遍；用除法验算：积一个因数=另一个因数
30、。4除法：用乘法验算：商除数=被除数，商除数+余数=被除数；用除法验算：被除数商=除数，（被除数-余数）商=除数。巧记整数、小数和分数加减法的相同点，就是把相同计数单位的数相加或相减。易错举例：错例：325=57错因分析：有余数的除法，余数应该小于除数。正解：325=62易错易混：计算小数乘法时，漏点小数点或点错小数点位置。举例：0.80.1=0.8正解：0.80.1=0.08温馨提示：倒数：乘积是1的两个数互为倒数。运用分配律小技巧举例：7.6532+7.6567+7.65=7.65（32+67+1）=7.65100=765易错举例：小技巧：混合运算中包含分数、小数和百分数时，计算时一般先把
31、它们统一成一种形式。分数能化成有限小数时，可以把分数化成小数再计算；当分数不能化成有限小数时，也可以把小数化成分数再计算。温馨提示：不同单位进行换算时，要按照相应的进率变化。平年、闰年的判断方法：公历年份是4的倍数的一般是闰年，但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。例如：1900年是平年，2000年是闰年。易错易混：时、分、秒之间的进率是60，在换算时易出现错误。错例：3.25小时=（3）小时（25）分正确答案：3.25时=（3）时（15）分易错易混：计量体积用体积单位，计量容积一般用容积单位（升或毫升）。注意体积单位与容积单位的换算。计量的结果要用数来表示，并且还要带上单位名称，
32、通常把它们合起来叫作名数。只带一个单位名称的叫单名数，例如：1米、30天等；带有两个或两个以上单位名称的叫作复名数。例如：3吨50千克，1米8厘米等。比和比例的区别： 义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除，只有两个项：比的前项和后项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四个项：两个外项和两个内项。比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。易错易混：求比值的结果是一个数值，化简比的结果是一个比的形式，两者不可混淆。错例：化简比：126=2正确答案：126=21易错易混：图上距离一般用“厘米”作单位，实际距离一般用“米”或“千米”作单位，在计算时注意要先统一单位。正比例、反比例的判断方法
33、：一找、二看、三判断。（1）找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。（2）看定量：分析这两种相关联的量，看它们之间的关系是商一定还是积一定。（3）判断：如果是商一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果商或积都不是定量，就不成比例。正比例和反比例的区别：（1）意义不同：正比例是两种量中相对应的两个数的比值一定，也就是商一定；反比例是两种量中相对应的两个数的积一定。（2）变化方向不同：正比例是一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小）；反比例是一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）。等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式两边仍然相等。等式的性质2：等式的两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式两边仍然相等。18
